自动控制原理第三章习题解答

1、胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-1 设随动系统的微分方程为： uKxxT 200 = + & & & u)( 1f xtrK= T 0 xxx fff =+& 其中 T,Tf, K2为正常数。如果在外作用 r(t)=1+t 的情况下，使对 r(t)的稳态误差不大于正 常数 0 x 0 ,试问 k1 应满足什么条件？ 见习题 3-20 解答 3-2 设系统的微分方程式如下： （1） )(2)(2 . 0trtc=& （2） 0)()()(24. 0)(04.trtctctc=+& & 试求系统的单位脉冲响应 k(t)和单位阶跃响应 h(t)。已知全部初始条件为零。 解： （1） 因为 )(

2、2)(2 . 0sRssC= 单位脉冲响应：C ss/10)(=010)(=ttk 单位阶跃响应 h(t) C 2 /10)(ss=010)(=ttth （2）( )()() 124 . 0 04 . 0 2 sRsCss=+ 124. 004. 0 )( )( 2 + = ss sR sC 单位脉冲响应： 124. 004. 0 1 )( 2 + = ss sC tetk t 4sin 3 25 )( 3 = 单位阶跃响应 h(t) 16) 3( 61 16)3( 25 )( 22 + + = + = s s sss sC teteth tt 4sin 4 3 4cos1)( 33 = 3-

3、3 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数（） 。 （1） t etk 25. 1 0125. 0)( = （2） )454sin(105)( 0 +=tttk （3） )1 ( 1 . 0)( 3/t etk = 解： （1） 25. 1 0125. 0 )( + = s s 1 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 （2） 00 45sin4cos1045cos4sin105)(ttttk+= 16 4 25 5 16 25 16 4 25 5 )( 22222 + + += + + + += s s ss s ss s （3） 3/1 1 . 01 . 0 )( + = ss s 3-4

4、 已知二阶系统的单位阶跃响应为 h )1 .536 . 1sin(5 .1210)( 2 . 1ot tet+= 试求系统的超调量、峰值时间p 和调节时间s。 解：)1sin( 1 1 1)( 2 2 + = tet n t n h arccos= 2 1/ % = e n p t 2 1 = n s t 5 . 3 = 6 . 01 .53coscos 0 = %5 . 9% 222 6 . 01/6 . 06 . 01/6 . 01/ = eee )(96. 1 6 . 1 1 2 st n p = = )(92. 2 2 . 1 5 . 35 . 3 st n s = 3-5 设单位反馈

5、系统的开环传递函数为 )6 . 0( 14 . 0 )( + + = ss s sG 试求系统在单位阶跃输入下的动态性能。 解：闭环传递函数 1 14 . 0 )6 . 0( 14 . 0 1 )6 . 0( 14 . 0 )(1 )( )( 2 + + = + + + + + = + = ss s ss s ss s sG sG sGB 1 6 . 01 1 11 1 4 . 0 ) 1( 1 1 4 . 0 1 14 . 01 )()()( 222 222 + + = + + + + = + + + = + + = ss s sss s sss sssssss s s sRsGsC B 2

6、 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 )3 .55 2 3 sin(22. 11 2 3 sin 3 6 . 02 2 3 cos1)( 05 . 0 5 . 05 . 0 += = te tetetc t tt )1sin( 1 1 1)( 2 2 + = teth n t n arccos= 2 1/ % = e n p t 2 1 = n s t 5 . 3 = 569. 03 .55coscos 0 = %37.11% 2 1/ = e st n p 63. 3 3 2 1 2 = = = st n s 7 5 . 0 5 . 35 . 3 = 3-6 已知控制系统的单位阶跃响应为 h

7、tt eet 1060 2 . 12 . 01)( += 试确定系统的阻尼比和自然频率。 解： 求拉氏变换得 )2()60070( 600 )10)(60( 600 )10)(60( )60(2 . 1 )10)(60( )10(2 . 0 )10)(60( )10)(60( 10 2 . 1 60 2 . 01 )( 22 2 2 nn n sssssssss sss ss sss ss sss ss sss sH + = + = + = + + + + + + + = + + += 显然闭环传递函数为 )2( 22 2 nn n ss + 其中 600 2 = n 610= n 702=

8、n 62 7 = 根据（3-17） 1/1/ 1)( 21 / 12 / 121 + += TT e TT e th TtTt 解：根据公式（3-17） 3 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 1/1/ 1)( 2112 21 + += TT e TT e th T t T t )1( 1 2 1 = n T )1( 1 2 2 + = n T 显然： 10 1 1 =T 60 1 2 =T 2 2 2 2 2 1 1 11 1 11 6 1 1 + = + = T T 解方程得 62 7 = 由 10 1 )1( 1 2 1 = = n T 得到10)1( 2 =n 所以610 2 6210

9、1 24 49 62 7 10 1 10 2 = = = = n 3-7 设图 3-42 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数 K和 Kt，使系统、 。 图 3-42 飞行控制系统 解：系统开环传递函数 )2()258 . 0( 25 25)8 . 0( 25 )8 . 0( 25 1 )8 . 0( 25 )( 2 1 1 1 1 1 1 0 n n t t t ssKKss K sKKss K sK ss K ss K sG + = + = + = + + + = 1 2 2536K n = 25 36 1 =K 4 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 12258 . 02 1 =+= t

10、n KK 所以 45 14 = t K 3-8 试分别求出图 3-43 各系统的自然频率和阻尼比，并列表比较其动态性能。 1 S2 r(t) c(t) 1 S2 r(t) c(t) 1+s 1 S2 r(t)c(t) S (c) (b) (a) - - - + + 图 3-43 控制系统 解： （a）01=n 系统临界稳定。 （b） 1 1 )( 2 + + = ss s s 5 . 01=n %8 .29% = ts s 51. 7= （c） 1 1 )( 2 + + = ss s s 5 . 01=n %3 .16% = sts08. 8= 3-9 设控制系统如图 3-44 所示。要求：

11、图 3-44 控制系统 (1) 取1，2.，计算测速反馈校正系统的超调量、调节时间和速度误差； (2) 取1.，计算比例-微分校正系统的超调量、调节时间和速度误差。 解： （1）系统开环传递函数 )2()2( 10 10) 1( )1 (10 ) 1( 10 1 ) 1( 10 )1 ()( 2 2 1 2 10 n n sssssss s ss s ss ssG + = + = + + = + + + += 10 2 = n 10= n 22= n 10 1 = %1 .35% 2 1/ = e 5 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 st n s 5 . 3 5 . 3 = 5= V K （

12、2） 3-10 图 3-45 所示控制系统有（a）和（b）两种不同的结构方案，其中 T0 不可变。要求： （1） 在这两种方案中，应如何调整，和，才能使系统获得较好的动态性能。 1 K 2 K 3 K 比较说明两种结构方案的特点。 解： 3-11 已知系统特征方程为 3 02510 234 =+ssss 试用劳思稳定判据和赫尔维茨判据确定系统的稳定性。 解： 列劳思表如下： 2 0 47 1530 2 10 47 110 253 0 1 2 3 4 s s s s s 由劳思表可以得到该系统不稳定。 3-12 已知系统特征方程如下，试求系统在 s 右半平面的根数及虚根值。 （1） 048322

13、4123 2345 =+sssss （2） 0108-7-444 23456 =+ssssss （3） 0253520123 2345 =+sssss 解： （1）列劳思表如下： 0 1 2 3 4 5 4812 164 48243 32121 s s s s s s 有一对虚根，系统不稳定 （2）列劳思表如下： 6 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 0 1 2 3 4 5 6 1055 844 10741 s s s s s s s 系统不稳定 （3）列劳思表如下： 25 10 255 3 80 3 16 25203 35121 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 有一对虚根，系

14、统不稳定 3-13 已知单位反馈系统的开环传递函数 ) 15 . 0)(1( ) 15 . 0( )( 2 + + = ssss sK sG 试确定系统稳定时的 K 值范围。 解：系统特征方程为 0) 15 . 0() 15 . 0)(1( 2 =+sKssss 将上述方程化简得到： 0)5 . 01 (25 . 15 . 0 234 =+KsKsss 劳思表如下： Ks K KK s K K s Ks Ks 0 2 1 2 3 4 25. 05 . 2 125. 025. 15 . 2 5 . 1 25. 05 . 2 5 . 015 . 1 25 . 0 + 3-14 已知系统结构图如图

15、3-46 所示。 试用劳思稳定判据确定能使系统稳定反馈参数的取 值范围。 7 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 解：系统开环传递函数为 23 0 )101 ( 1010 10) 1( 101 ) 1( 10 1 ) 1( 10 ) 1 1 ()( ss s ssss s ss s ss s sG + + = + + = + + + += 系统特征方程为： 01010)101 ( 23 =+sss 劳思表如下： 10 101 10 10101 101 0 1 2 3 s s s s + + 所以能使系统稳定反馈参数的取值范围为0 3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数 （1） )5)(11 .

16、 0( 100 )( + = ss sG （） )5)(11 . 0( 50 )( + = sss sG （） )1006( ) 12(10 )( 22 + + = sss s sG 试求输入分别为 和 时，系统的稳态误差。 ttr2)(= 2 22)(tttr+= 解： （1）因为是二阶系统，且系数大于零，所以系统稳定。 20)(lim 0 = sGK s p 0)(lim 0 = ssGK s V 0)(lim 2 0 = sGsK s a 所以当时 ttr2)(= V ss K R e 2 当 2 22)(tttr+=+ + = aVp ss K R K R K R 321 1 e 8

17、胡寿松自动控制原理习题解答第三章 （2）应先检查系统的稳定性。 = )(lim 0 sGK s p 10)(lim 0 = ssGK s V 0)(lim 2 0 = sGsK s a 所以当时 ttr2)(=2 . 0 2 = V ss K R e 当 2 22)(tttr+=+ + = aVp ss K R K R K R 321 1 e （3）应先检查系统的稳定性。 = )(lim 0 sGK s p = )(lim 0 ssGK s V 1 . 0)(lim 2 0 = sGsK s a 所以当时 ttr2)(=0 2 = V ss K R e 当 2 22)(tttr+=20 1 3

18、21 =+ + = aVp ss K R K R K R e 3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数 (1) ) 12)(11 . 0( 50 )( + = ss sG （） )2004( )( 2 + = sss K sG （） )102( ) 14)(12(10 )( 22 + + = sss ss sG 试求位置误差系数 K，速度误差系数 K，加速度误差系数 K。 解： （1）应先检查系统的稳定性。 50)(lim 0 = sGK s p 0)(lim 0 = ssGK s V 0)(lim 2 0 = sGsK s a (2) 应先检查系统的稳定性。 = )(lim 0 sGK s

19、p 200 )(lim 0 K ssGK s V = 0)(lim 2 0 = sGsK s a (3) 应先检查系统的稳定性。 = )(lim 0 sGK s p = )(lim 0 ssGK s V 1)(lim 2 0 = sGsK s a 3-17 设单位反馈系统的开环传递函数为GTss/1)(=。 试用动态误差系统法求出当输入信 号分别为r和时，系统的稳态误差。 2/)( 2 tt =ttr2sin)(= 9 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 3-18 设控制系统如图 3-47 所示。其中 s K KsG p +=)( Js sF 1 )(= 输入r以及扰动n和均为单位阶跃函数。试求

20、： )(t)( 1 t)( 2 tn （1） 在作用下系统的稳态误差 )(tr （2） 在作用下系统的稳态误差 )( 1 tn （3） 在和同时作用下系统的稳态误差 )( 1 tn)( 2 tn 解： （1） 在作用下系统的稳态误差 )(tr 这时系统的开环传递函数为： 2 0 )()()( Js KsK sFsGsG p + = 系统位置误差系数为= )(lim 0 sGK s P 在作用下系统的稳态误差)(tr0 1 1 = + = p ssr K R e （2） 在作用下系统的稳态误差 )( 1 tn 这时系统的开环传递函数为： 2 0 )()()( Js KsK sFsGsG p +

21、= 系统位置误差系数为= )(lim 0 sGK s P 在作用下系统的稳态误差)( 1 tn0 1 1 1 = + = p ssn K R e （3） 在和同时作用下系统的稳态误差 )( 1 tn)( 2 tn 10 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 )( 2 tn作用下系统的稳态误差 这时系统的开环传递函数为： 2 0 )()()( Js KsK sFsGsG p + = 系统位置误差系数为= )(lim 0 sGK s P 在作用下系统的稳态误差)( 2 tn0 1 1 2 = + = p ssn K R e 所以在在和同时作用下系统的稳态误差为 )( 1 tn)( 2 tn 000 2

22、1 =+=+= ssnssnssn eee 3-19 设闭环传递函数的一般形式为 01 1 1 01 1 1 )()(1 )( )( asasas bsbsbsb sHsG sG s n n n m m m m + + = + = L L 误差定义取。试证： )()()(tctrte= （1） 系统在阶跃信号输入下， 稳态误差为零的充分条件是：b), 2 , 1(0, 00 miba i L= （2） 系 统 在 斜 坡 信 号 输 入 下 ， 稳 态 误 差 为 零 的 充 分 条 件 是 ： ), 3 , 2(0, 1100 mibabab i L= 解：(1) 系统在阶跃信号输入下这时

23、s sR 1 )(= 01 1 1 01 1 1 1 )()()( asasas bsbsbsb s ssRsC n n n m m m m + + = L L 01 1 1 001 1 11 1 1 01 1 1 01 1 101 1 1 01 1 1 01 1 1 01 1 1 01 1 1 )()()(1 )()(1 1 1 11 )()()( asasas basbsbsbsasas s asasas bsbsbsbasasas s asasas bsbsbsb s asasas bsbsbsb ss sCsRsE n n n m m m m n n n n n n m m m m n

24、 n n n n n m m m m n n n m m m m + + = + + = + + = + + = L LL L LL L L L L )(lim)(lim 0 ssEtee st ss = 11 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 01 1 1 001 1 11 1 1 0 )()()( lim asasas basbsbsbsasas n n n m m m m n n n s + + = L LL 如果e 则a0= ss00 b= 且0 0 a （2）系统在斜坡信号输入下这时 2 1 )( s sR= 01 1 1 01 1 1 2 1 )()()( asasas bsbsb

25、sb s ssRsC n n n m m m m + + = L L 01 1 1 0011 2 2 1 1 2 2 1 1 2 01 1 1 01 1 101 1 1 2 01 1 1 01 1 1 2 01 1 1 01 1 1 22 )()()()(1 )()(1 1 1 11 )()()( asasas basbasbsbsbsasas s asasas bsbsbsbasasas s asasas bsbsbsb s asasas bsbsbsb ss sCsRsE n n n m m m m n n n n n n m m m m n n n n n n m m m m n n n

26、 m m m m + + = + + = + + = + + = L LL L LL L L L L )(lim)(lim 0 ssEtee st ss = 01 1 1 0011 2 2 1 1 2 2 1 1 0 )()()()(1 lim asasas basbasbsbsbsasas s n n n m m m m n n n s + + = L LL 如果e 则a0= ss00 b= 且 11 ba=0 0 a 3-20 设随动系统的微分方程为 )( )()( 2 2 2 1 tuK dt tdc dt tcd =+T )()()( 1 tbtrKtu= )()( )( 2 tctb dt tdb T=+ 其中，T、和 K为正常数。若要求 r(t)=1+ t 时，c(t)对 r(t)的稳态误差不大于正常 数，试问 K应满足什么条件?已知全部初始条件为零。 解： 由上述方程得到拉氏变换如下： )()()( 2 2 1 sUKsCssT=+ )()( 2 1 2 sU ssT K sC + = )()()( 1 sBsRKsU= 12 胡寿松自动控制原理习题解答第三章 )()() 1( 2 sCsBsT=+ )( 1 1 )( 2 sC sT sB + = 由此得到系统结构图如下： K1 K2 s(T1s+1) U(s) C(s) B(s)