复习第三章求解导热问题的有限差分法.ppt

1、1,铸造过程计算机模拟讲义,冒国兵,复习-求解导热问题的有限差分法,2,内容,1、差分格式,2、直接差分法,（1）显式差分格式 （2）完整隐式差分格式 （3）六点差分格式,（1）内节点法 （2）外节点法,3,第一节 差分格式,一 . 概述,差分格式,实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组成的代数方程组。又称为差分格式。,2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤）,4,第一节 差分格式,区域离散化的具体处理方法： 有两种，一种是将求解区域划上网格线，如图11所示。网格线的交点即为节

2、点。 另一种是将区域划分成若干单元，以单元体内的一点作为节点，如图11c所示。 无论何种方法，单元与节点总是一一对应的。将图11b与图11c重叠在一起（见图11d），一般称落在区域内的节点为内节点，在边界上的节点为边界节点。, 将物体或计算所涉及的区域进行离散化。,图1-1 区域离散化,6,第一节 差分格式, 将初始条件与边界条件亦以相应的差分形式来表示，并与内节点一起组成完整的差分格式。方程与节点数恰好对应。, 选用适当的数值计算方法求解线性代数方程组，将求解过程编制成计算机程序，上机运行得到温度场。, 在所有内节点（内单元）上建立差分方程。,建立差分方程的方法：差商代替微商；直接差分法或单

3、元热平衡法。,7,第一节 差分格式,记为i， 记为n。而 在 时刻的温度 则记为 。,3. 区域和时间的离散表示方法,（1）,x距离步长,t时间步长,图1-2 区域与时间的离散及其表示方法,9,第一节 差分格式,（2）不同差分格式的讨论,为简化设计，下面讨论不同的差分格式时以一维非稳导热方程为例，其中所包含的边值条件则以一组最简单的情况为代表。,令一维区域的长度为L，材料的各项热物性值均为常数且已知，初始条件已知为T0，边界条件则为边界上的温度固定并已知为Tw。这样就构成了下面的方程组：,10,第一节 差分格式,导热方程：,初始条件：,边界条件：,式,式,式,目标是求,11,第一节 差分格式,

4、二. 显式差分格式,右边用中心差商近似：,左边用向前差商近似：,12,第一节 差分格式,二. 显式差分格式,即显式差分方程。 式,由式离散得：,式,13,第一节 差分格式,注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。,由式所示的边界条件在离散区域内表示为给定边界节点在时刻t0，1，2，的温度值，即：,（n0，1，2，） 式,14,第一节 差分格式,将，式联立，得完整差分格式： 式,（n1，2，；i2，3，m1）,式中，,15,第一节 差分格式,求解式步骤：,a. 设过程开始时各节点温度为Ti0（i1，2，m），则T10与Tm0由边界条件提供，其余的Ti0 （i2，3m1）由初始条件提供，

5、这样第0排上温度即可全部求得。,b. 利用方程中的第1式，可计算第1排上所有内节点的温度Ti1（i2，3，m-1），再利用第3式即边界条件得到Ti1与Tim ，这样第1排的温度又可全部求得。,c. 依次类推，直至求得所有的Tin值。,每个节点均可单独求解。这种格式称为“显式差分格式”。,16,第一节 差分格式,三. 完整隐式差分格式,将式应用于节点i时，在tn+1 时刻 ，则：,左边按温度对时间的一阶向后差商近似，右边为 中心差商，则：,17,第一节 差分格式,右边用中心差商近似：,18,第一节 差分格式,同样：,(8)式,19,第一节 差分格式,该方程截断误差为O（t，x2），对t有一阶精度

6、。,由于（8）式不能直接独立求解，必须通过求解线性方程组才能得到各节点在n+1时刻的温度值。因而，这种差分格式称为隐式差分格式。,图3 隐式差分格式示意图,21,第一节 差分格式,四、 六点差分格式（C-N格式）, 将方程,应用于节点i时还可采用如下的形式（物理意义）：,（1）式, 将（1）式的左边用中心差商来近似，则：,22,第一节 差分格式, 等号右边，则用与以前相同的处理方法，便有：,（3）式,（2）式,23,第一节 差分格式, 将（2）和（3）式加以调整并结合初始条件和边 界条件，就得到了另一种新的差分格式：,（n1，2，；i2，3，m1）,24,第一节 差分格式,此式说明了（n+1）

7、排上相邻三点的温度值与前一时刻的对应节点之间的关系，见图4。,由于该公式中含有6个节点的值，故称为“六点差分格式”，又称CrankNicolson差分格式，或简称C-N格式。,该格式特点是截断误差0（t2，x2）小，稳定性好，实际计算中也经常被采用。,图3 六点差分格式示意图,26,第一节 差分格式,五、三种差分格式的稳定性,对于前述三种差分格式，可推倒出一个统一的稳定 性判据为：,27,第一节 差分格式,（1）显式差分格式稳定性,此时0，可得稳定性条件为：,01-2f 1 或 0 f 1/2,(在二维条件下应为f 1/4，三维条件下应为f 1/6）,28,第一节 差分格式, 该条件也可由物理

8、意义分析由得到：,则：Tin项系数（1-2f）必须不小于零，否则就会成为负值，它意味着i节点在n时刻的温度Tin越高，,显示格式为：,则下一时刻的温度Tin+1将越低，这样必然导致计算结果的上下振荡，甚至忽正忽负，这显然不符合实际情况。,29,第一节 差分格式,可见，此时f 取任意值都能满足上式条件。即对步长t与x的选取是无条件的，因而这种格式又称为无条件稳定格式。,（2）完全隐式差分格式的稳定性,30,第一节 差分格式,此时，0.5，代入判据公式，得稳定性条件为：,（3）六点差分格式稳定性,可见六点差分格式也是有条件稳定的。,31,第二节 直接差分法,前述差分格式的建立以差分代替微分为基础，

9、直接差分法（DFDM）则是将传热的基本定律应用于经网格割分后的单元体，通过能量平衡直接得到可供计算机进行计算的差分方程。又称能量平衡法（或单元热平衡法）。,该法优点： 它不涉及偏微分方程等较为复杂的数学概念及其处理，物理意义清晰；,32,第二节 直接差分法, 根据不同单元的热物性值即可处理不同材料组成的系统问题。, 它能灵活的处理复杂的几何形状，在网格剖分中可以根据需要分成三角形，四边形或多边网格（三维条件下则是四、六面体单元）。,33,第二节 直接差分法,条件： 单元的各顶点共圆， 圆心就是单元节点，而单元本身即为节点领域。（如图21所示） 目的是保证任何节点与相邻单元节点的连线均与单元的边

10、相垂直，否则会造成热流方向不与单元边界垂直而产生较大的误差。,（一） 内节点法 1. 划分单元，确定节点（需满足的条件）,图21 内节点法网格剖分示意图,35,第二节 直接差分法,条件： 各单元的节点此时即为单元体的外心，它应尽量在单元重心附近，目的在于以节点温度代替单元温度时造成的误差最小。 据此，应避免钝三角形（外心位于单元之外）和小角度三角形（因为三角形三条边比例相差大，误差较大。）,2. 建立热平衡法差分方程,讨论i单元（即i节点领域）的热平衡。 （如图22所示）,图22 内节点法中单元热平衡的计算,37,第二节 直接差分法, 在tn到tn+1时刻内，由相邻单元j（j1，2，m， 在此

11、m5）向单元i传入的热量为：,38,第二节 直接差分法, 在同一时刻内单元i的内能增量即由于热量传入而导致其温度变化为：, 据能量守恒可得，内节点法的差分计算格式为：,39,第二节 直接差分法,这时的稳定性条件为：,40,第二节 直接差分法,（二） 外节点法 外节点法中的单元、节点及节点领域。 外节点法中单元剖分条件与内节点法相同。 外节点法剖分单元的顶点为节点，由各单元各边的垂直平分线构的新领域为节点领域。 （如图23所示）,以节点i为例，讨论其节点领域内的热平衡。 （如图24所示） 在tn到tn+1时间内，由周围各节点j（j1，2，m，在此m7）向节点i传入的热量为：,图23 外节点法中网格剖分示意