二项式系数的性质及应用

1、1.3.2 二项式系数的性质及应用,二项式定理,(a+b)n=,cn0an+cn1an-1b1+cnkan-kbk+cnnbn,展形式的第k+1项为,tk+1=,cnkan-kbk,1,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1, ,对称,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,杨辉三角,九章算术,杨辉,详解九章算法中记载的表,杨辉三角,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角.在书中，还说明了表里“一”以外的每

2、一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,最大值,二项式系数的性质,各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,例1.证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二

3、项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,特值法,1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( ) (a)第6项 (b)第7项 （c）第8项 (d)第9项,2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ） (a)20 (b)219 （c）220 (d)220 1,c,d,练习,4或5,例2,例2,例2,-2,-1094,1093,练习:,小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解,例3:在(3x -2y)20的展开式中，求系数最大的项;,杨辉三角的其它规律,第0行1

4、,1、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行1,1, , ,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数（质数的积）,第0行1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,第5行 1 5 10 10 5 1,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行1,1, , ,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,2、杨辉三角中若第p行除去1外，p整除其余的所有数，则行数p是,质数(素数),思考1求证:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得： 再由 得,思考2求证：,证明：,倒序相加法,试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法.,思考1:,略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得： 再由 得,求证:,思考