01变化率与导数的概念 （共34张PPT）.ppt

1、高中数学人教A版选修22第一章,四川省成都市新都一中 肖宏,No.1 middle school ，my love ！,单元结构,No.1 middle school ，my love ！,第一章 导数及其应用,我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不一定能够反映他们在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,预学1:函数的平均变化率 对一般的函数yf(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1

2、)变为f(x2)，它的平均变化率为 ( )( ) . 自变量的变化x2x1称作自变量的改变量，记作x，函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变量，记作y，这样函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 ( )( ) .,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,我们用它来刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢. 议一议:根据问题情境，设运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么: (1)在t0，0.

3、5这段时间里，运动员的平均速度为多少? (2)在t1，2这段时间里，运动员的平均速度为多少?,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,【解析】(1)平均速度为 (.)() . 4.05 m/s. (2)平均速度为 ()() 8.2 m/s.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,预学2:函数的瞬时变化率 对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的

4、平均变化率是 ( )( ) ( )( ) . 而当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,议一议:根据问题情境，设运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10，求当t2 s时运动员的瞬时速度. 【解析】在t2，2t这段时间里，运动员的平均速度为 ()() 13.14.9t m/s，当t无限趋近于0时，v ()() 13.14.9t趋近于13.1. 故当t2 s时，运动员的瞬时速度为13.1

5、 m/s.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,预学3:平均变化率与瞬时变化率的区别与联系 (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点x0处的变化的快慢. (2)联系:当x趋于0时，平均变化率 就趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,议一议:设质点作直线运动，已知路程s是时间t的函数，s3t22t1. (1)求从t2到t2t的平均速度，并求当t1，t0.1与t0.01时的平均速度;

6、 (2)求当t2时的瞬时速度.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,【解析】(1)因为s3(2t)22(2t)1(322221)14t3t2， 所以从t2到t2t的平均速度为 143t. 当t1时，平均速度为17; 当t0.1时，平均速度为14.3; 当t0.01时，平均速度为14.03. (2)当t2，t趋于0时，瞬时速度为 14.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,预学4:导数的概念 函数f(x)在xx0处的瞬时变化率的定义:一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ( )( )

7、 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y | ，即f(x0) ( )( ) .,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,想一想: (x22x1). 【解析】当x0时，x22x1x21， (x22x1)x21. 【答案】x21,1.平均变化率 例1、已知函数f(x)x2x，分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率. 【方法指导】解决函数平均变化率的计算问题，要紧扣定义:函数f(x)当自变量x从x1变到x2时，函数值的平均变化为 ( )( ) .此外，要保证计算过程的准确性.,No.1 middle sc

8、hool ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,【解析】自变量x从1变到3时，函数f(x)的平均变化率为 ()() ( ) 5，自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为 ()() ( ) 4.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,变式训练1、已知函数f(x)2x23x5. (1)求当x14且x1时，函数增量y和平均变化率 ; (2)求当x14且x0.1时，函数增量y和平均变化率 .,No.1 middle school ，my love

9、 ！,第1课时变化率与导数的概念,【解析】因为f(x)2x23x5， 所以yf(x1x)f(x1) 2(x1x)23(x1x)5(2 3x15) 2(x)22xx13x2(x)2(4x13)x. (1)当x14，x1时，y212(443)121，所以 21. (2)当x14，x0.1时，y20.12(443)0.11.92，所以 . . 19.2.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,2.瞬时变化率 例2、设质点按函数s160t15t2所表示的规律运动，求质点在t3时的瞬时速度.(其中s表示在时刻t的位移，时间单位:s，位移单位:m) 【方法

10、指导】求平均速度，当t无限趋近于0时，平均速度趋近于瞬时速度.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,【解析】从t03到t0t3t这段时间内， 物体的位移ss(3t)s(3)160t15t(6t)70t15t2. 那么位移的改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度，即 7015t. 当t无限趋近于0时， 7015t趋近于70， 故质点在t3时的瞬时速度为70 m/s.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,变式训练2、质点M按规律s(t)at21作直线运动(位移s的单位:m，时间t

11、的单位:s).问:是否存在常数a，使质点M在t2时的瞬时速度为8 m/s? 【解析】假设存在常数a，则ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以 ( ) 4aat. 当t趋于0时，4aat趋于4a，4a8，解得a2. 所以存在常数a2，使质点M在t2时的瞬时速度为8 m/s.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,3.利用导数的概念计算导数 例3、已知函数f(x)2x23x1，试求f(2). 【方法指导】有两种方法:一是先求y，然后求 ，再求 ;二是先求f(x)，再求f(3).,No.1 middle school ，my

12、 love ！,第1课时变化率与导数的概念,【解析】(法一) 因为yf(2x)f(2) 2(2x)23(2x)1(222321) 2(x)211x， 所以 ( ) 2x11， 所以f(2) (2x11)11.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,(法二)f(x) ()() ( ) ()( ) ( ) () 2x(4x3) 4x3， 所以f(2)24311.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,变式训练3、已知函数yf(x)ax22x1，若f(3)10，试求a的值. 【解析】因为yf(3x)f

13、(3)a(3x)22(3x)1(9a5)a(x)2(6a2)x， 所以 ( ) () ax(6a2)， 所以f(3) 6a210，解得a2.,1.求函数yf(x)在区间x1，x2上的平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1); (2)再计算自变量的改变量xx2x1; (3)最后得到平均变化率 ( )( ) .,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,2.求函数yf(x)在点x0处的瞬时变化率的步骤 (1)先求函数yf(x)在区间x0，x0 x上的平均变化率 ( )( ) ; (2)再求当x趋于0时， ( )( ) 的值.,

14、No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,3.利用导数的定义计算导数，要注意定义的特点，一方面可以先求出y， ，再计算 ;另一方面可以先求出f(x)的函数式，再计算特殊值的导数.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,若一物体运动方程如下:s ()， ( ) () (位移单位:m，时间单位:s)，求: (1)物体在t3，5内的平均速度; (2)物体的初速度; (3)物体在t1时的瞬时速度.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,【解析】(1)因为物体

15、在t3，5内的时间变化量为t532， 物体在t3，5内的位移变化量为s3522(3322)48， 所以物体在t3，5内的平均速度为 24(m/s).,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,(2)求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度. 因为物体在t0附近的平均变化率为 ()() () ( ) 3t18， 所以当t趋于0时， 趋于18， 所以物体在t0时的瞬时变化率为18， 即物体的初速度为18 m/s.,No.1 middle school ，my love ！,第1课时变化率与导数的概念,(3)物体在t1时的瞬时速度，即为函数在t1时的瞬时变化率. 因为物体在t1附近的平均变化率为 ()() () ( ) 3t12， 所以当t趋