哈工大大学物理第14章

1、1 第第14章章 振动振动 作业（大物作业（大物 2） 一、一、书后作业书后作业 1. 14-1 已知简谐振动方程为0.10cos(104)xt ,求： （1）该简谐振动的振幅、周期、 频率、角频率和初相； （2）最大速度和最大加速度。 分析分析 将已知的简谐振动方程与简谐振动方程的一般形式 o tAxcos作比较， 即 可求出各特征量。速度和加速度的计算与质点运动学的计算方法相同。 解解 （1）将0.10cos(104)xt 与 o tAxcos相比较后可得 该简谐振动的振幅0.10mA， 角频率10s-1， 初相4 o ， 则周期20.2sT , 频率15HzT （2）位移 0.10 co

2、s 104xt 速度 s i n (1 04)t v -1 max m sv 加速度 2 10cos 104at 2-2 max 10m sa 2. 14-2 一物体做简谐振动，振幅为 10 cm，周期为 4 s。t = 0 时，位移为5 cm，且向 x 轴 负方向运动。试求： （1）此简谐振动的运动方程； （2）在 x = -5 cm 处，且向 x 轴正方向运 动时的速度和加速度； （3）从问题（2）中的位置回到平衡位置的最短时间。 分析分析 简谐振动的振幅A、角频率、初相 o 是简谐振动的运动方程的三个特征量。 求简谐振动的运动方程就是要设法确定这三个物理量。角频率可以通过2T 确定。初

3、相 o 的确定有两种方法： （1）解析法，由振动表达式出发，根据初相条件0t时 oo Axcos， o Asin o v来确定 o 。 （2） 利用旋转矢量法， 将初始位置 o x与速度 o v 方向与旋转矢量图相对应来确定 o 。一般采用旋转矢量法比较直观、方便。而求振动在某 一状态的速度和加速度找到相应的相位就可获得。求从问题（2）中的位置回到平衡位置的 最短时间，仍可采用旋转矢量法或者解析法。 解解 （1）由已知可得简谐振动的的振幅0.10Am，角频率20.5T s-1， 振动表达式为 0.10cos 0.5 o xt t = 0 时， 05. 0cos10. 0 o x，0.05 si

4、n0 o v 2 有旋转矢量法得 23 o 振动方程 0.1 cos 0.523xt （2）由旋转矢量法得在 x = -5 cm 处，且向 x 轴 正方向运动时的相位为43 此时振动的速度 1 0.05 sin 430.136m sv 振动的加速度 22 0.025cos 430.123m sa （3）从问题（2）中的位置回到平衡位置的最短时间为 243 =1.33s 0.5 t 3. 14-4 有一简谐振动，其振动曲线如图所示。试求： （1）该振动的角频率和初相； （2）振 动表达式。 分析分析 由有振动曲线求运动方程是振动中常见的问题。这类题目的思路就是根据振动曲 线确定振动的三个特征量A

5、、 o ，从而写出振动表达式)cos( o tAx。曲线的 最大幅值即为振幅 A。初相 o 通过解析法或者旋转矢量法求得。通过t 确定。 一般采用旋转矢量法比较直观、方便。 解解（1）由图可知0.1mA，且0t时 05. 0cos1 . 0 oo x，故21cos o 又因为0t时 0sin1 . 0 o o v，由旋转矢量法得 2 o 故23 o 从图中可知1t时 0 x，0v，由旋转矢量法得 1 32 t 由旋转矢量图可知 1 32235 16 to tt （2）振动表达式为 52 0.1cos 63 xt 0.10 O t=0 -0.05 x=-0.05, 题 14-2 图 x /cm

6、10 -10 -5 1 t /s 0.1 x O 0.05 t =0 t =1 题 14-4 图 3 4. 14-8 一弹簧振子作简谐振动， 振幅 A = 0.10m ,弹簧的劲度系数 k = 2.0N/m ,物体的质量 m = 0.50 kg,试求： （1）动能和势能相等时，物体的位移是多少？ （2）设 t = 0 时,物体在正最大位移处，则在一个周期内，达到动能和势能相等所需的时间 是多少？ 分析分析 根据简谐振动的总能量 222 2 1 2 1 2 1 kAmkxEv可得动能和势能相等时，物体 的位移 x。 要求从 t = 0 时刻到达动能和势能相等时所需的时间，关键是获得两时刻时的相

7、位差。 解解（1）动能和势能相等时，满足 222 2 1 2 1 2 1 2 1 kAmkxv 可求得 2 0.071m 2 xA 或 2 0.071m 2 xA （2）角频率为 -1 2.0rad s k m 0t 时,物体在正最大位移处， 相位为 0， 动能和势能相等时相位可以为4、34、54 或74，在一个周期内，达到动能和势能相等所需的时间为 1 1 4 0.39s 2.0 t 或 2 34 1.18s 2.0 t 3 54 1.96s 2.0 t 4 74 2.75s 2.0 t 即在一个周期内，达到动能和势能相等所需的时间 0.39s、1.18s、1.96s、2.75s。 5. 1

8、4-10 劲度系数为 k = 2Nm-1的轻弹簧， 下面悬挂一质量为 80 g 的小球构成竖直方向的弹 簧振子。现将小球由平衡位置向下拉开 1.0 cm 后，给予向上的 5.0 cms-1的初速度。试求振 动的周期和振动的表达式。 分析分析 求振动的周期和振动的表达式，也就是要确定振动的三个特征量。其中振动的周 期、角频率由弹簧振子系统的固有性质（振子质量和弹簧劲度系数）决定，即k m， 2Tm k 。振幅 A 和初相 o 需由初始条件确定。 解解 取小球的平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向。 系统简谐振动的角频率 -1 2 0.085rad sk m 周期 21.26s m T k 由

9、初始条件 t=0 时， 0 cos0.01mxA ， -1 0 sin0.05m sAv 4 振幅 222 2 10 m m Ax k v 由旋转矢量法得初相位 0 4 则振动的表达式为 2 2 10 cos 54xt 6. 14-13 一匀质细杆质量为 m，长为 l，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直 平面内转动，下端与一劲度系数为 k 的轻弹簧相联，如图所示，当细杆处 于铅直位置时，弹簧不发生形变。试求细杆作微小振动时的频率。 分析分析 要求细杆微小振动的频率，首先要通过细杆的受力情况列出其 微分动力学方程，确定细杆简谐振动的角频率，然后给出相应的频率。 解解 取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面

10、向外为正方向，当细杆偏 离，分析杆受到的恢复力矩，建立系统的动力学方程 22 2 d (sin )(sincos ) 23d gF mglml MMMkll t 当偏角很小时，上式可变为 2 2 22 d3 0 d2 mgl kl tml 细杆作微小振动时的频率 136 22 mgkl v ml 7. 14-16 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为 2d，两 轮的转速相同而转向相反。现将质量为 m 的一块匀质 木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为。 若木板的质心偏离对称位置后， 试证木板将作简谐振动， 并求其振动周期 分析分析 要证明木板作简谐振动，需要分析木板在平 衡位置附近左右运动

11、时，受到的合外力F与位移x的 关系是否满足kxF，如果满足木板将作简谐振动。 通过kxF即可求出振动周期 22Tm k 。 解解 如图所示，以两轮位置的中点（对称位置）为坐标原点建立坐标轴，设木板的质心 位置坐标为x，对木板进行受力分析，根据刚体平衡 以 A 处为轴有 2() B dNmg dx 得 () 2 B mg dx N d NB fA 题 14-16 图 2d 0 x NA A B fB C x mg O 题 14-13 用图 5 以 B 处为轴有 2() A dNmg dx 得 () 2 A mg dx N d ABAB mg FffNNx d 合 即 2 2 d xmg mx d

12、td 故木板作简谐振动。 g d ， 2 2 d T g 8. 14-24 三 个 同 方 向 的 简 谐 振 动 分 别 为x1 = 0.3cos( 8t+3/4 ) , x2 = 0.4cos( 8t+/4 ) , x3 = 0.3cos( 8t+3 ) 。试求： （1）用旋转矢量法求出 x1和 x2 合振动的振幅 x12和初相位12 ； （2）欲使 x1和 x3合成 振幅为最大，则3应取何值？（3）欲使 x2和 x3合成振 幅为最小，则3应取何值？ 分析分析 可采用解析法或旋转矢量法求解。 解解 (1) 由题可知 x1和 x2是两个振动方向、频率都 相同的简谐振动，其合振动也是简谐振动，

13、角频率与分振动的角频率相同。利用旋转矢量图 可知合振动的振幅 22 12 3 0.30.42 0.3 0.4cos0.5 44 x 12 3 0.4sin0.3sin 44 tan7 3 0.4cos0.3cos 44 Xx Ox 12 arctan7 , 12 0 2 (2) 当 31 20,1,2kk， 即x1和x3相位相同时， x1和x3合成振幅为最大， 由于 1 3 4 ， 故 3 3 20,1,2 4 kk （3）当 32 (21)0,1,2kk，即 x2和 x3相位相反时，x2和 x3合成振幅 为最小，由于 2 4 ， 故 3 5 20,1,2 4 kk 9. 14-25 示波管中

14、的电子束受到两个相互垂直的电场作用， 电子在这两个方向上的位移分别 为 x = Acos t 和 y =Acos( t+ )。试求在 = 0、 = /6 及 = /2 这三种情况下，电子在 荧光屏上的轨迹方程。 解解 由题可知电子的轨迹是两个同频率，振动方向互相垂直简谐振动的合成 x 3/4 /4 x1 x2 X x 题 14-24 图 6 当0时，电子的轨迹为 22 222 2 0 xyxy AAA , 即 xy电子的轨迹为一条沿一、三 象限方向的直线。 当 6 时 ， 电 子 的 轨 迹 为 22 2 222 2 cos()sin 66 xyxy AAA ， 即 2 22 3 4 A xy

15、xy电子的轨迹为一椭圆。 当 2 时， 电子的轨迹为 22 2 222 2 cos()sin 22 xyxy AAA ， 即 222 xyA电子的轨 迹为一个圆。 二、二、补充习题补充习题 10. 有两相同的弹簧，其劲度系数均为 k， (1) 把它们串联起来， 下面挂一个质量为 m 的重物， 此系统作简谐振动的周期为2 2/m k； (2) 把它们并联起来， 下面挂一个质量为 m 的重物， 此系统作简谐振动的周期为2/ 2mk。 11. 一个长度为 l， 劲度系数为 k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为 l1和 l2的两部分,且 l1=n l2， n 为整数，则相应的劲度系数 k1= (1)k n

16、 n 和 k2=(1)k n。 12. 一质量为 m 的滑块，两边分别与倔强系数为 k1和 k2的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端 分别固定在墙上。滑块 m 可在光滑的水平面上作微小的振动，则系统的振动频率为 12 1 / 2 kkm。 13. 分别敲击某待测音叉和标准音叉， 使它们同时发音， 听到时强时弱的拍音。 若测得在 20s 内拍的次数为 180 次，标准音叉频率 300Hz，则待测音叉频率为 291Hz 或 309Hz。 14. 两个同方向同频率的简谐振动。其合振动的振幅为 20cm，与第一个简谐振动的相位差 为 -1=/6。 若第一个简谐振动的振幅为10 3cm=17.3cm， 则第二个简谐振动的振幅为 10cm。 m k1 k2 O 7 第一、二两个简谐振动的相位差 1-2为 -/2 。 15. 图为两个互相垂直的简谐振动合成运动的轨迹， 若图为两个互相垂直的谐振动合成运动 的轨迹，若 x=Acost，且动点运动方向如图所示，则 y= cos(2) 2 At。 16. 一单摆的悬线长