第九节-定积分的经济应用2节课

1、,第九节,一、 由边际函数求总函数,二、 由边际函数求函数的极值,定积分在经济学上的应用,第五章,三、 资本现值与投资问题,四、 资本形成,五、 收入预测,一、由边际函数求总函数,则产量为x时的总成本为：,固定成本为,总成本的改变量为：,（一）已知边际成本，求总成本,已知边际成本,产量由 增加到 时，,例5.49 已知生产某产品的边际成本为,平均成本为：,求：产量由2吨增加到5吨时总成本的该变量及平均成本。,解：由题意可知,（百元/吨）,（百元）,（百元/吨）,例1 已知某产品的边际成本函数为 ， 固定成本为1 000元，求总成本函数 。,解：,例5.52 设某产品的平均边际成本为：,解：平均

2、边际成本为：,平均成本为：,故有,（元/个），已知生产10,个产品，其平均成本为274.05，求总成本和固定成本。,已知,总成本为：,（元）,则,故平均成本为：,固定成本为：,（元）,例2 已知某产品的边际成本函数为 固定成本为500元，求总成本函数 。,解：,（二）已知边际收入,求总收入,总收入的该变量为：,销量由 增加到 时，,则销量为x时的总收入为：,已知边际收入,例3 已知生产某产品Q单位时， 求(1)总收入函数R(Q)及平均收入函数， (2)生产100个单位产品的总收入， (3)从生产100个单位产品到200个单位产品的总收入。,解:(1),(2),=19 975(元),(3) 从生

3、产100个单位产品到200个单位产品的 总收入为：,=19 925(元),例4 已知生产某产品Q单位时， 求(1)生产Q单位时的总收入及平均单位收入， (2)生产100个单位产品的总收入， (3)从生产100个单位产品到200个单位产品的总收入。,解:(1),(2),(元),(3) 从生产100个单位产品到200个单位产品的 总收入为：,=19 700(元),例5 已知生产某产品Q单位时， 求(1)生产40个单位产品的总收入， (2)从生产40个单位产品到60个单位产品的总收入。,解:(1)生产40个单位产品的总收入为：,(2)生产40个单位产品后再生产20个单位产品的总收入为：,（三）已知边

4、际利润,求总利润,总利润的该变量为：,销量由 增加到 时，,则销量为x时的总利润为：,已知边际利润,例6 已知生产某产品的边际成本为,时的总利润。,解：由题意可知,（万元/千台）,（万元）,边际收入为,（万元/千台），其中x为产量,（千台），固定成本为C(0)=10万元，求当x=5（千台）,本节课结束,二、由边际函数求总函数的极值,令,已知边际收入为 ，边际成本为 ，固,方法：,定成本为 ，求最大利润。,解出,则当,时利润最大。,且最大利润为：,例7 某种产品每天生产Q单位时的固定成本为 边际成本为 ，边际收 入 ，求： （1）每天生产多少单位时利润最大？最大利润 是多少？ （2）从利润最大时

5、的产量又生产了10个单位的产 品利润的变化情况怎样？,解：（1）利润最大时,即,最大利润为：,即，从最大利润时的产量30个单位，再生产10个单位产品利润会减少30元。,例8 已知某产品的边际成本为,（2）总利润最大时，总收入是多少元？,解：（1）利润最大时,（元/件）,（元）,边际收入为,（元/件），其中x为产量（件）,求：（1）生产多少件时，总利润最大？,（3）当产量由利润最大时，再增加100件时，,利润的变化情况怎样？,（件）,（2）,即,例8 已知某产品的边际成本为,（2）总利润最大时，总收入是多少元？,（元/件）,边际收入为,（元/件），其中x为产量（件）,求：（1）生产多少件时，总利

6、润最大？,（3）当产量由利润最大时，再增加100件时，,利润的变化情况怎样？,解：（3）产量由利润最大点，再增加100件时，利润,（元）,的变化情况为,例5.50 已知生产某产品的边际成本为,在最大利润的基础上再生产30件产品，利润的该变量为,30件产品，利润会发生什么变化？,解：边际利润为,（万元/件）,令,边际收入为,若在最大利润的基础上再生产,得唯一驻点：,故产量为250件时，利润最大。,即：在最大利润的基础上再生产30件产品，利润会减少,27万元。,例5.51 已知某产品生产x单位时，总费用的变化率是,则利润为：,如果这种产品的销售单价是20元，求总利润L(x)，,解：总费用为：,销售

7、x单位商品得到的总收入为：,令,（元/单位），,求总费用F(x)；,并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？,得唯一驻点：,故最大利润为：,（元）,本次课结束,三、资本现值与投资问题,若现有a元货币，按年利率为r做连续复利计算，则t年后,若收入率,续复利计算，现应有,称此为收入率，若按年利率为r的连续复利计算，则,在0,T内的总收入为,若果年利率r也为常数，则总收入的现值为,的价值为,反过来，若t年后有货币a元，则按连,设在时间区间0,T内t时刻的单位时间的收入为,若在t=0时，一次投入的资金为a，则在0,T内的纯收入,元；,元，这就称为资本现值。,（A为常数），称此为均匀收入率，,若在t=0

8、时，一次投入的资金为a，则在0,T内的纯收入,的贴现值（也称投资效益）为,即：,纯收入的贴现值=总收入现值-总投资,例5.53 若连续3年内保持收入率每年7500元不变，且利率,即现值为20150元。,为7.5%，问其现值时多少？,解：因均匀收入率A=7500元，r=7.5%，所以现值为,（元）,例5.54 现对某企业给予一笔投资a，经测算，该企业在,从而投资获得的纯收入的贴现值为,T年中可以按每年A的均匀收入率获得收入，若按年利率,为r，试求：,（1）该投资的纯收入贴现值；,（2）收回该笔投资的时间。,解：（1）投资后T年中获总收入的现值为,例5.54 现对某企业给予一笔投资a，经测算，该企

9、业在,由此解得收回投资的时间,T年中可以按每年A的均匀收入率获得收入，若按年利率,为r，试求：,（2）收回该笔投资的时间。,解：（2）收回投资，即总收入的现值等于投资，故有,如果回收期为无限时期，则纯收入的贴现值为,显然， 的值越大，投资效益越好，除国家允许外，,都应避免 的情况出现。,例5.55 若某企业投资a=800万元，年利率为r=5%，设在,20年内的均匀收入率200万元/年，试求：,（1）该投资的纯收入贴现值；,（2）收回该笔投资的时间为多少？,万元,收回投资的时间为,解：总收入的现值为,从而投资所得纯收入为,万元,年,例5.56 有一个大型投资项目，投资成本为a=10000（万元）

10、,投资年利率为r=5%，每年的均匀收入率A=2000（万元）,求该投资为无限时期的纯收入贴现值。,万元,解：由已知条件收入率A=2000（万元），年利率r=5%，,从而投资为无限时期的纯收入的贴现值为,万元,故无限时期的投资的总收入的贴现值为,例5.57 某工厂生产某种产品的购置设备成本费用为50万,元，在10年中每年可收回20万元，如果年利率为r=9%，,并且假定购置的设备在10年中完全失去价值，求其投资,万元,效益。,解：由题意知，收入率A=20（万元），年利率为r=9%，,投资a=50（万元），故投资效益为,例5.57 某工厂生产某种产品的购置设备成本费用为50万,元，在10年中每年可收

11、回20万元，如果年利率为r=9%，,并且假定购置的设备在10年中完全失去价值，求其投资,万元,效益。,如果购置的设备不失去价值，每年的收入率仍为20万元，,则投资效益为,四、资本形成,资本形成就是增加一定资本总量的过程，若此过程视为,由导数与不定积分的关系，有,Z=Z(t),则资本形成率（资本形成的速度）为资本Z对,的净投资，记为I(t)，即,此时，资本形成率也称为在时间t处,设初始时刻,时间的连续过程，资本总量函数为时间t的连续可导函数,时间t的导数,资本函数可表示为：,时的资本,由积分上限函数的性质知，,上式表明，在任意时刻t，资本总量Z(t)等于初始资本,资本数量。根据上式求出在时间间隔,上资本形成的总量。,即,（或 ）加上从,时刻起到t时刻止所增加的,例5.58 设净投资函数 （单位：万元/年），求：,（2）若原始资本Z(0)为100万元，问从开始到第8年末,的总资本时多少？,（2）第8年末总资本为,（1）第1年期间资本积累的总量；,解：（1）第1年期间所积累的资本为,（万元）,（万元）,五、收入预测,例5.59 中国人的收入正在逐年提高。据统计，深圳2002,解：因为