极坐标与参数方程数学讲义

1、。极坐标和参数方程一、教学大纲要求1.理解参数方程的概念，理解一些常用参数方程中参数的几何或物理意义，掌握参数方程与普通方程的相互转换方法。将根据给定的参数和条件建立参数方程。2.理解极坐标的概念。它将正确地转换点的极坐标和直角坐标。它将极坐标方程正确地转化为直角坐标方程，并根据给定的条件建立直线和二次曲线的极坐标方程。二、知识结构1.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意点的坐标是某个变量的函数，并且对于每个允许值，由该方程确定的点都在该曲线上，则该方程称为该曲线的参数方程，与变量相关的变量称为参数。与参数方程相比，直接给出点坐标关系的方程称为常方程。公共曲线的参数方程2.直线的参

2、数方程(1)标准公式通过点Po(x0，y0)，倾角为的直线的参数方程为(T是一个参数，它的几何意义是粒子数)(2)通式直线通过定点P0(x0，y0)且斜率k=tg=的参数方程为(t是一个参数)，3.二次曲线的参数方程(1)圆心在(a，b)且半径为r的圆的参数方程是(是参数)(2)椭圆( 0)的参数方程是(是一个参数)椭圆( 0)的参数方程为 (为参数)(3)抛物线抛物线的参数方程是4.极地极坐标系统在平面上取一个固定点O，从O引出一条光线Ox，并选择单位长度和计算角度的正方向(通常以逆时针方向为正方向)，从而建立一个极坐标系统，O点称为极点，光线Ox称为极轴。(1)电杆；极轴；长度单位；角度单

3、位及其正方向构成极坐标系统的四个要素，缺一不可。在点的极坐标中，假设M点是平面上的任意点，用表示线段om的长度，用表示光线Ox到OM的角度，那么称为M点的极径，称为M点的极角，有序数对(，)称为M点的极坐标。注：点和点关于磁极中心对称；点和点是同一个点；如果指定，平面上的点只能用极坐标表示，不能用极点表示(即一一对应)；同时，由极坐标表示的点也是唯一确定的。极坐标和直角坐标的区别在于，在直角坐标系中，点和坐标一一对应，而在极坐标系统中，点和坐标不止一次对应。也就是说，一个点的极坐标不是唯一的。p(，)的所有坐标(除了极点)都是(，)或(，z)。极点的极径是0，极角是任意的。圆的极坐标方程(1)

4、以极点为中心和半径的圆的极坐标方程为：(2)具有中心和半径的圆的极坐标方程是：(3)具有中心和半径的圆的极坐标方程为：直线极坐标方程(1)穿过极点的直线的极坐标方程是和。通过一点并垂直于极轴的直线L的极坐标方程为。它被转换成直角坐标方程。通过一点并平行于极轴的直线L的极坐标方程为。它被转换成直角坐标方程。极坐标和直角坐标的相互转换(1)相互转化的前提(1)极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合在两个坐标系中取相同的长度单位。(2)倒数公式的象限由点(x，y)所在的象限决定第三，课前预习1.直线的参数方程是()(t是参数)b5.在直角坐标系xoy中，以原点为极点，X轴的

5、正半轴为极轴建立极坐标系，设定点A和B分别在曲线上(作为参数)和曲线上，则最小值为()甲、乙、丙、丁、丁答：答6.由参数方程表示的曲线是()A.一条直线b，两条直线c，一条射线d和两条射线答：d .7.()甲、乙、丙、丁、答：答8.极坐标方程转化为直角坐标方程是()甲、乙、c、D、答：答9.曲线之间的位置关系是()a、相交于中心b、相交于c、相切于d并相互分离答：d .10.如果曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线为()线段b，双曲线c，圆d，光线答：d .11.在极坐标系统中，圆上的点到直线的距离的最小值是。回答：12.从圆心c (为参数)到直线(t为参数)的距离为。回答：13.已知两条曲线

6、的参数方程分别为和，其交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _。回答：14.以直角坐标系的原点为极点，以坐标轴的正半轴为极轴，曲线和曲线的极坐标方程分别称为，曲线的参数方程为(作为参数，和)，则曲线、和所包围的闭合图形的面积为。回答：四、典型案例分析测试极坐标系统、曲线的极坐标方程以及极坐标和直角坐标的相互转换相关知识点：极点与原点重合，极轴与X轴的正半轴重合，长度单位相同。倒数公式：或例1 (1)点m的极坐标是，转换成直角坐标，它们是，(2)点M的直角坐标是，如果转换成极坐标，它们是，例2在极坐标系统中，通过圆心并垂直于极轴的直线的极坐标方程为。分析：你明白了。因此，中心坐标穿过圆心的直

7、线的直角坐标方程是。直线的极坐标方程是。变量1在极坐标系统中，圆心在极点并与之相交的圆的方程是(B)甲、乙、丙、丁、分析：圆的直接中心指的是圆在直角坐标系中的直角坐标方程：圆的极坐标方程是变体2如果曲线的极坐标方程分别被称为()，则曲线和交点的极坐标为_ _ _ _ _。求解曲线：的直角坐标方程分别是两条曲线的交点直角坐标是(3，)。因此，交点的极坐标为变量3在极坐标系统中，如果点(1)和(1)已知，它们之间的距离为。解决方案：如图所示。在OAB，复习：检查极坐标和三角形面积公式，数字和形状的组合是关键。测试方向两条曲线的参数方程，参数方程与常微分方程的相互转换示例3 (1)曲线C:(作为参数

8、)的一般方程为(c)甲、乙、c、D、(2)由参数方程表示的曲线是()a，椭圆b，双曲线c，抛物线d，圆答：乙变式1众所周知，抛物线的参数方程是(作为参数)。如果斜率为1的直线通过抛物线的焦点并与圆相切，那么=_ _ _ _ _ _ _。回答：解：抛物线的标准方程是，它的焦点坐标是，所以直线的方程是，圆心到直线的距离是变式2如果直线和圆之间没有公共点(作为参数)，实数的范围是。变体3被圆切割的直线的弦长是()甲、乙、丙、丁、分析：得到圆心到直线的距离，弦长=示例4已知点是圆上的移动点，并且获得了值范围。解决方法：假设圆的参数方程是，概要：让移动点的坐标以参数方程的形式出现；(2)用参数代替坐标的

9、代数表达式或距离公式；利用三角性质和变换公式求解最大值。变体5在平面直角坐标系中，一个点是椭圆上的移动点，并且获得最大值。解决方法：因为椭圆的参数方程是，移动点的坐标可以设置为，其中。因此，如果是，取最大值2。1.将参数方程转化为常微分方程的基本思想是消去参数，为了保证消去参数的等价性，常用的消去参数的方法有代换消去法、加减消去法和恒等式(三角或代数)消去法。2.将常微分方程转化为参数方程的基本思想是引入参数，即选择合适的参数t，首先确定一个关系x=f(t)(或y=j(t)，然后将其代入常微分方程F(x，y)=0，得到另一个关系y=j(t)(或x=f(t)。通常，经常选择的参数是角度、有向线段

10、的数量、斜率和某一点的横坐标(或纵坐标)。在建立曲线的参数方程时，需要指出参数及其取值范围。3.在参数方程和常微分方程的相互转换中，取值范围必须一致。课后巩固练习1.椭圆()甲、(-3，5)、(-3，-3)乙、(3，3)、(3，-5)c、(1，1)、(-7，1) D、(7，-1)、(-1，-1)解：当转换成普通方程时，a2=25,b2=9，C2=16，C=4。 F (X-3，Y 1)=F (0，4)，在xOy坐标系中，两个焦点的坐标是(3，3)和2.参数方程()A.双曲线的一个分支，通过点(1)，b。抛物线的一部分，通过点(1，)C.双曲线的一个分支，它穿过(-1)，d。抛物线的一部分，它穿过

11、(-1，)解决方案：根据参数公式x2=1sin=2y (x 0)，即y=x2 (x 0)。应该选择 b。3.由等式(是参数)表示的曲线中点的坐标是()甲、(2，-7)乙、()、丙、()、丁、(1，0)解：y=cos2=1-2sin2=1-2x2，代入x=得到y=。应该选择c .4.曲线的极坐标方程=4 sin 转化为直角坐标方程()a、x2(y-2)2=4b、x2 (y-2)2=4 C(x-2)2 y2=4 D、(x-2)2 y2=4解决方法：将=，sin=代入=4sin，我们得到x2 y2=4y，即x2 (y-2)2=4。b .5.如果已知圆的极坐标方程=2sin()，则圆的极坐标和圆心半径

12、分别为()a、(1)、r=2 B、(1)、r=1C、(1)、r=1 D、(1-)、r=2回答：c。6.在极坐标系统中，与圆=4sin相切的直线方程是()a、sin=2 B、cos=2 C、cos=-2 D、cos=-4解：如果点P(，)是l上的任意一点，那么就有cos=，结果cos=2，应该是b .7.所表示的曲线是()a，圆b，椭圆c，双曲线分支d，抛物线解：4sin2=54将=cos=x代入上述公式，得到2=2x-5。y2=-5x，代表抛物线。d .8.极坐标方程4 S2=3表示曲线为()a，两条光线b，两条相交线c，圆d和抛物线解：从4 S2=3，4=3，即y2=3 x2，y=，表示两条

13、相交线。b .9.直线3x-4y-9=0与圆的位置关系为()a，相切b，距 C的距离，穿过中心d的直线，相交但穿过中心d的直线。回答：D10.在极坐标系统中，从一点到圆心的距离是()甲、乙、丙、丁、解决方法：将它们转换成直角坐标进行计算。将它们转换成直角坐标。圆的直角坐标方程是，圆心的坐标是，所以距离是。答：d .11.穿过点m (1，5)且以从固定点m到移动点p的位移t为参数的直线的参数方程为()甲、乙、c、D、答：答12.如果直线(t)是一个参数)与圆x2 y2-4x 1=0相切，则直线的倾斜角为()a、b、c或d，或回答：c。13.设定的最小值是(c)甲、乙、丙、三维、14.如果直线的参数方程为(t是一个参数)，则通过点(4，-1)的直线与平行线之间在y轴上的截距为。回答：-415.直线的倾斜角(t是参数)是：直线上点P(