高考数学复习中档解答题规范训练(一)

1、 中档解答题规范训练(一)中档解答题规范训练(一) 三角函数及解三角形三角函数及解三角形 (建议用时:60 分钟)(建议用时:60 分钟) 1.(2014惠州模拟)已知函数 f(x)=Asin(x+)的部 分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间. (2)ABC 的内角分别是 A,B,C.若 f(A)=1,cosB= ,求 sinC 的值. 【解析】(1)由图象最高点得 A=1, 由 T=- = ,所以 T=,所以=2. 当 x= 时,f(x)=1,可得 sin=1, 因为| ,所以= . 所以 f(x)=sin. 由图象可得 f(x)的单调减区间为,kZ

2、. (2)由(1)可知,f(A)=sin=1, 因为 0A,所以 2A+ , 所以 2A+ = ,A= . 因为 0B,所以 sinB= . 所以 sinC=sin(-A-B)=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB. = + =. 2.(2014合肥模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,向量 m=(2sinB,2cosB),n=(cosB,-cosB),且 mn=1. (1)求角 B. (2)若 a,b,c 成等差数列,且 b=2,求ABC 的面积. 【解析】(1)因为 mn=1,所以 2sinBcosB-2cos2B=1,sin2B-cos2B=

3、2,sin=1, 又 0B,所以- 2B- , 所以 2B- = ,所以 B= . (2)因为 b=2,2b=a+c,所以 a+c=4. 又 b2=a2+c2-2accosB, 所以 4=a2+c2-2accos ,即 4=a2+c2-ac, 将 a+c=4 代入得 a2-4a+4=0,得 a=2,从而 c=2,三角形为等边三角形,所以 SABC= acsinB=. 3.(2014重庆高考)已知函数 f(x)=sin(x+)的 图象关于直线 x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值. (2)若 f=,求 cos的值. 【解析】(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离

4、为,所以 f(x)的最小正周 期 T=,从而=2. 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 所以 2 +=k+ ,kZ. 由- ,得 k=0, 所以= -=- . (2)由(1)得 f=sin=, 所以 sin= . 由 得 0- , 所以 cos=. 因此 cos=sin=sin =sincos +cossin = + =. 【加固训练】(2014西安模拟)将函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,再纵 坐标不变,横坐标伸长到原来的 倍,然后再向上平移 1 个单位,得到函数 y= sinx 的图象. (1)求 y=f(x)的最小正周期和单调递增区间. (2)若函数 y=g(x)与

5、 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求当 x0,1时,函数 y=g(x)的最小值和最大值. 【解析】(1)函数 y=sinx 的图象向下平移 1 个单位得 y=sinx-1 的图象,再 将其图象横坐标缩短到原来的 倍得 y=sin x-1 的图象,然后将其图象向右移 1 个单位得 y=sin-1 的图象, 所以函数 y=f(x)的最小正周期为 T=6, 由 2k- x- 2k+ ,kZ6k- x6k+ ,kZ. 所以 y=f(x)的递增区间是,kZ. (2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称, 所以当 x0,1时,y=g(x)的最值即为 x3,4时,y=

6、f(x)的最值. 因为 x3,4时, x- , 所以 sin, 所以 f(x), 所以 y=g(x)的最小值是-1,最大值为 . 4.(2014宜宾模拟)已知向量 m=(sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx),设函数 f(x)=mn-3. (1)求 f(x)的单调增区间. (2)在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f(A)=1,a=,且 b+c=3,求 ABC 的面积. 【解析】(1)因为向量 m=(sin2x+2,cosx),n=(1,2cosx), 所以函数 f(x)=mn-3=sin2x+2+2cos2x-3=sin2x+cos2x=2sin. 由 2

7、k- 2x+ 2k+ ,kZ, 得到:k- xk+ ,kZ, 所以 f(x)的单调增区间为(kZ). (2)由 f(A)=1 得,2sin=1, 因为 0A0)的最大值为 2. (1)求函数 f(x)在0,上的单调递减区间. (2)ABC 中,f+f=4sinAsinB,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 C=60,c=3,求ABC 的面积. 【解析】(1)由题意,f(x)的最大值为, 所以=2. 而 m0,于是 m=,f(x)=2sin. 2k+ x+ 2k+(kZ), 即 2k+ x2k+(kZ). 所以 f(x)在0,上的单调递减区间为. (2)设ABC 的外接圆半径为 R,

8、由题意,得 2R=2. 化简 f+f=4sinAsinB, 得 sinA+sinB=2sinAsinB. 由正弦定理,得 2R(a+b)=2ab,a+b=ab. 由余弦定理,得 a2+b2-ab=9, 即(a+b)2-3ab-9=0. 将式代入,得 2(ab)2-3ab-9=0. 解得 ab=3 或 ab=- (舍去). SABC= absinC=. 5.(2014长沙模拟)已知 A,B 分别在射线 CM,CN(不含端点 C)上运动,MCN= ,在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. (1)若 a,b,c 依次成等差数列,且公差为 2.求 c 的值. (2)若 c=,ABC

9、=,试用表示ABC 的周长,并求周长的最大值. 【解析】(1)因为 a,b,c 成等差数列,且公差为 2, 所以 a=c-4,b=c-2. 又因为MCN= ,cosC=- , 所以=- , 所以=- , 恒等变形得 c2-9c+14=0, 解得 c=7 或 c=2. 又因为 c4,所以 c=7. (2)在ABC 中,=, 所以=2,AC=2sin, BC sin- 3 （） BC=2sin. 所以ABC 的周长 f()=AC+BC+AB=2sin+2sin+ =2+=2sin+, 又因为,所以 + 0,若函数 f(x)=mn,且 f(x)的对称中心到 f(x) 对称轴的最近距离不小于 . (1

10、)求的取值范围. (2)在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 a=1,b+c=2,当取最大值 时,f(A)=1,求ABC 的面积. 【解析】(1)f(x)=mn=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+ sin2x=2sin, 因为0,所以函数 f(x)的周期 T= . 由题意知 ,即 1, 又0,所以 01. 故的取值范围是|01. (2)由(1)知的最大值为 1, 所以 f(x)=2sin. 因为 f(A)=1,所以 sin= . 而 2A+ , 所以 2A+ = ,所以 A= . 由余弦定理可知:cosA= , 所以 b2+c2-bc=1,又 b+c

11、=2, 联立解得: 所以 SABC= bcsinA=. 【加固训练】(2014济南模拟)若向量 a=(sinx,cosx),b=(cosx,-cosx),函 数 f(x)=ab+m(xR)的图象过点 M. (1)求函数 f(x)的单调递增区间. (2)将函数 f(x)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,然后将 得到的图象上的各点向左平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象.若当 x=n 时,g(x)取得最大值,求正实数 n 的最小值. 【解析】(1)由题意知 f(x)=sinxcosx-cos2x+m =sin2x- (1+cos2x)+m =sin+m- . 因为点 M在函数 f(x)的图象上, 所以 sin+m- =0, 解得 m= ,所以 f(x)=sin. 由 2k- 2x- 2k+ (kZ), 得 k- xk+ (kZ), 所以函数 f(x)的单调