高三数学总复习学案51

1、学案学案 51椭圆椭圆 导学目标导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质 自主梳理 1椭圆的概念 在平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 _这两定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫_ 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数： (1)若_，则集合 P 为椭圆； (2)若_，则集合 P 为线段； (3)若_，则集合 P 为空集 2椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 (ab0)

2、 1 y2 a2 x2 b2 (ab0) 图形 范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率e (0,1) c a 性 质 a，b，c 的关系 c2a2b2 自我检测 1已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 x2 3 另外一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是() A2 B6 C4 D1233 2

3、(2011揭阳调研)“mn0”是方程“mx2ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的() A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知椭圆 x2sin y2cos 1 (0b0)的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 x2 a2 y2 b2 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，ABOM. (1)求椭圆的离心率 e； (2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求F1QF2的取值范围 方程思想的应用 例 (12 分)(2011北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率 为 ，且经过

4、点 M(1， )，过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B. 1 2 3 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在直线 l，满足 2？若存在，求出直线 l 的方程 ； 若不存在，请说明 PA PB PM 理由 【答题模板】 解(1)设椭圆 C 的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 由题意得Error!解得 a24，b23.故椭圆 C 的方程为 1.4 分 x2 4 y2 3 (2)若存在直线 l 满足条件，由题意可设直线 l 的方程为 yk(x2)1，由Error! 得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.6 分 因为直线 l 与椭圆 C

5、 相交于不同的两点 A，B， 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 所以 8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0. 整理得 32(6k3)0，解得 k .7 分 1 2 又 x1x2，x1x2， 8k2k1 34k2 16k216k8 34k2 且 2， PA PB PM 即(x12)(x22)(y11)(y21) ， 5 4 所以(x12)(x22)(1k2) ， 5 4 即x1x22(x1x2)4(1k2) .9 分 5 4 所以24(1k2) ， 16k216k8 34k2 8k2k1 34k2 44k2 34k2 5 4 解得 k .11 分 1

6、2 所以 k .于是存在直线 l 满足条件， 1 2 其方程为 y x.12 分 1 2 【突破思维障碍】 直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、 相交弦问题及其他综合问题 反映在代数 上， 就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题， 它体现了方程思 想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大 于零这一隐含条件， 它可以用来检验所求参数的值是否有意义， 也可通过该不等式来求 参数的范围 对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解， 与向量相结合的 题目， 大都与共线、 垂直和夹角有关， 若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能， 所以在复习过程中要格外重

7、视 1求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定 参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 1 (m0， x2 m y2 n n0 且 mn)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 Ax2By21 (A0，B0 且 AB)，这种形式在解题中更简便 2椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、 短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标 等第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应 改变 3直线与椭圆的位置关系问题它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最

8、值的求法 和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数 形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决 (满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2011温州模拟)若ABC 的两个顶点坐标分别为 A(4,0)、B(4,0)，ABC 的周长 为 18，则顶点 C 的轨迹方程为() A. 1 (y0) B. 1 (y0) x2 25 y2 9 y2 25 x2 9 C. 1 (y0) D. 1 (y0) x2 16 y2 9 y2 16 x2 9 2已知椭圆1，长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于() x2 10m y2 m2

9、 A4 B5 C7 D8 3 已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点， 过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点， 若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是() A. B. C.1 D. 3 2 2 2 22 4(2011天门期末)已知圆(x2)2y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，N(2,0)， 线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是() A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 5椭圆 1 上一点 M 到焦点 F1的距离为 2，N 是 MF1的中点，则|ON|等于() x2 25 y2 9 A2 B4 C8 D.3 2 二、填空题(每小题 4

10、分，共 12 分) 6已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为，且 G 上一点到 G 的 3 2 两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为_ 7(2011唐山调研)椭圆 1 的焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上若|PF1|4，则|PF2| x2 9 y2 2 _；F1PF2的大小为_ 8. 如图，已知点 P 是以 F1、F2为焦点的椭圆1 (ab0)上一点，若 PF1PF2，tan x2 a2 y2 b2 PF1F2 ，则此椭圆的离心率是_ 1 2 三、解答题(共 38 分) 9(12 分)已知方向向量为 v(1，)的直线 l 过点(0，2)和椭圆 C：33 x2

11、a2 y2 b2 1(ab0)的右焦点，且椭圆的离心率为. 6 3 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若已知点 D(3,0)，点 M，N 是椭圆 C 上不重合的两点，且，求实数 的取DM DN 值范围 10(12 分)(2011烟台模拟)椭圆 ax2by21 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2，OC 的斜率为，求椭圆的方程2 2 2 11(14 分)(2010福建)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其 右焦点 (1)求椭圆 C 的方程 (2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，

12、且直线 OA 与 l 的距 离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 学案学案 51椭圆椭圆 自主梳理 1椭圆焦点焦距(1)ac(2)ac(3)a|AB|4. 点 M 的轨迹是以点 B(2,0)、A(2,0)为焦点、线段 AB 中点(0,0)为中心的椭圆 a3，c2，b . 5 所求轨迹方程为1. x2 9 y2 5 例 2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位 置)和两个定形条件(即确定 a， b 的大小) 当焦点的位置不确定时， 应设椭圆的标准方程为x 2 a2 1 (ab0)或1 (ab0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为 m

13、x2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 ny21 (m0，n0，且 mn) 解(1)若椭圆的焦点在 x 轴上， 设方程为1 (ab0) x2 a2 y2 b2 椭圆过点 A(3,0)， 1， 9 a2 a3，又 2a32b，b1，方程为y21. x2 9 若椭圆的焦点在 y 轴上，设方程为1 (ab0) y2 a2 x2 b2 椭圆过点 A(3,0)，1， 9 b2 b3，又 2a32b， a9，方程为1. y2 81 x2 9 综上可知椭圆的方程为y21 或1. x2 9 y2 81 x2 9 (2)设经过两点 A(0,2)，B的椭圆标准方程为 mx2ny21，将 A，B 坐标代入方 (

14、1 2， 3) 程得Error!Error!，所求椭圆方程为 x21. y2 4 变式迁移 2解(1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，a3， ，c，从而 b2a2 c a 6 3 6 c2963， 椭圆的标准方程为1. x2 9 y2 3 当椭圆的焦点在 y 轴上时， b3， ，a227. c a 6 3 a2b2 a 6 3 椭圆的标准方程为1. x2 9 y2 27 所求椭圆的标准方程为1 或1. x2 9 y2 3 x2 9 y2 27 (2)设椭圆方程为 mx2ny21 (m0，n0 且 mn) 椭圆经过 P1、P2点，P1、P2点坐标适合椭圆方程， 则Error! 两式联立，解得Erro

15、r! 所求椭圆方程为1. x2 9 y2 3 例 3 解题导引(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与 焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到 a、c 的关 系 (2)对F1PF2的处理方法Error! Error! (1)解设椭圆方程为1 (ab0)， x2 a2 y2 b2 |PF1|m，|PF2|n. 在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2m2n22mncos 60. mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn. 4c24a23mn，即 3mn4a24c2. 又 mn 2a2(当且仅当 mn 时取等号)， ( mn 2

16、 ) 4a24c23a2. ，即 e . c2 a2 1 4 1 2 e 的取值范围是. 1 2，1) (2)证明由(1)知 mn b2，SPF1F2 mnsin 60b2， 4 3 1 2 3 3 即PF1F2的面积只与短轴长有关 变式迁移 3解(1)F1(c,0)，则 xMc，yM， b2 a kOM.kAB ，OMAB， b2 ac b a ，bc，故 e . b2 ac b a c a 2 2 (2)设|F1Q|r1，|F2Q|r2，F1QF2， r1r22a，|F1F2|2c， cos r2 1r2 24c2 2r1r2 r 1r222r1r24c2 2r1r2 110， a2 r1

17、r2 a2 r 1r2 2 2 当且仅当 r1r2时，cos 0，0， 2 课后练习区 1A2.D3.C4.B5.B 6.17.21208. x2 36 y2 9 5 3 9解(1)直线 l 的方向向量为 v(1，)，3 直线 l 的斜率为 k . 3 又直线 l 过点(0，2)，3 直线 l 的方程为 y2x.33 ab，椭圆的焦点为直线 l 与 x 轴的交点 c2.又e ，a.b2a2c22. c a 6 3 6 椭圆方程为 1.(6 分) x2 6 y2 2 (2)若直线 MNy 轴，则 M、N 是椭圆的左、右顶点， 或 ，即 52或 52. 3 6 3 6 3 6 3 6 66 若 M

18、N 与 y 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 xmy3(m0)由Error!得(m23)y2 6my30. 设 M、N 坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1y2， 6m m23 y1y2， 3 m23 36m212(m23)24m2360，m2 . 3 2 (x13，y1)，(x23，y2)，显然 0，且 1，DM DN DM DN (x13，y1)(x23，y2)y1y2. 代入，得 210. 1 12m2 m23 36 m23 m2 ，得 2 10，即Error! 3 2 1 解得 52b0)，且可知其左焦点 x2 a2 y2 b2 为 F(2,0) 从而有Error! 解得Error!又 a2b2c2，所以 b212， 故椭圆 C 的方程为1.(5 分) x2 16 y2 12 (2)假设存在符合题意的直线 l，设其方程为 y xt.