高三数学总复习练习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入

1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节平面向量的概念及其线性运算 基础盘查一向量的有关概念 (一)循纲忆知 1了解向量的实际背景； 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3理解向量的几何表示 (二)小题查验 1判断正误 (1)向量与向量是相等向量() AB BA (2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小() (3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量() (4)|a|与|b|是否相等与 a，b 的方向无关() 答案：(1)(2)(3)(4) 2.(人教 A 版教材例题改编)如图， 设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心， 分 别写出图中与，相等的向量

2、OA OB OC 解：； OA CB DO ； OB DC EO . OC AB ED FO 基础盘查二向量的线性运算 (一)循纲忆知 1掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 2掌握向量数乘的运算及其几何意义； 3了解向量线性运算的性质及其几何意义 (二)小题查验 1判断正误 (1)两个向量的差仍是一个向量() (2) () BA OA OB (3)向量 ab 与 ba 是相反向量() (4)两个向量相加就是两个向量的模相加() 答案：(1)(2)(3)(4) 2(人教 A 版教材习题改编)化简： (1)()_. AB MB BO OM (2)_. NQ QP MN MP 答案：(1)

3、(2)0 AB 基础盘查三共线向量定理 (一)循纲忆知 理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用 (二)小题查验 1判断正误 (1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同() (2)若 ab，bc，则 ac() (3)向量与向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上() AB CD (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 ba，反之成立() 答案：(1)(2)(3)(4) 2已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 ab 与(b3a)共线，则 _. 答案：1 3 |(基础送分型考点自主练透)考点一 向量的有关概念 必备知识 (1)向量：既有大小，又有方向的

4、量叫向量；向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 题组练透 1给出下列命题： 若|a|b|，则 ab； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 AB DC 条件； 若 ab，bc，则 ac； ab 的充要条件是|a|b|且 ab； 若 ab，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是() AB C D 解析：选 A不正确

5、两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确，|且， AB DC AB DC AB DC 又 A，B，C，D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则且|，因此，. AB DC AB DC AB DC 正确ab，a，b 的长度相等且方向相同， 又 bc，b，c 的长度相等且方向相同， a，c 的长度相等且方向相同，故 ac. 不正确当 ab 且方向相反时，既使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑 b0 这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是.故选 A. 2设 a0

6、为单位向量，下列命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.假命题的个数是() A0 B1 C2 D3 解析：选 D向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同， 故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3. 类题通法 平面向量有关概念的核心 (1)向量定义的核心是方向和长度 (2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的核心是方向相同且长度相

7、等 (4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度 (5)零向量的核心是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线 |(重点保分型考点师生共研)考点二 向量的线性运算 必备知识 1向量的加法 定义：求两个向量和的运算 运算法则(几何意义)：如图 运算律：(1)交换律：abba； (2)结合律：(ab)ca(bc) 2向量的减法 定义：向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差，即 a(b)ab.求两个向量 差的运算叫做向量的减法 运算法则(几何意义)：如图 3向量的数乘 定义：实数 与向量 a 的积运算，即 a. 运算法则(几何意义)：如图，a 的长度与方向

8、规定如下： (1)|a|a|. (2)当 0 时，a 与 a 的方向相同； 当 0 时，a 与 a 的方向相反； 当 0 时，a0. 运算律：(a)()a； ()aaa； (ab)ab. 提醒(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差； (2)0 或 a0a0. 典题例析 1(2014新课标全国卷)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB () FC A B. AD 1 2 AD C D. BC 1 2 BC 解析：选 A () () EB FC 1 2 AB CB 1 2 AC BC ()，故选 A. 1 2 AB AC AD 2(2013江苏高考)设 D，E

9、 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD AB，BE BC. 1 2 2 3 若12 (1，2为实数)，则 12的值为_ DE AB AC 解析： ()，所以 1 DE DB BE 1 2 AB 2 3 BC 1 2 AB 2 3 BA AC 1 6 AB 2 3 AC ，2 ，即 12 . 1 6 2 3 1 2 答案：1 2 类题通法 1向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法 则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则 (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形 或三角形

10、中求解 2两个结论 (1)P 为线段 AB 的中点 ()； OP 1 2 OA OB (2)G 为ABC 的重心0. GA GB GC 演练冲关 1(2015聊城二模)在ABC 中，c，b.若点 D 满足2，则 AB AC BD DC AD () A. b cB. c b 2 3 1 3 5 3 2 3 C. b c D. b c 2 3 1 3 1 3 2 3 解析 ： 选 A如图，可知 ()c AD AB BD AB 2 3 AC AB 2 3 (bc) b c.故选 A. 2 3 1 3 2若典例 2 条件变为：若2，则 AD DB CD 1 3 CA CB _. 解析：， CD CA

11、AD CD CB BD 2. CD CA CB AD BD 又2， AD DB 2 CD CA CB 1 3 AB () CA CB 1 3 CB CA . 2 3 CA 4 3 CB ，即 . CD 1 3 CA 2 3 CB 2 3 答案：2 3 |(题点多变型考点全面发掘)考点三 共线向量定理的应用 必备知识 共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 ba. 提醒限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性 一题多变 典型母题 设两个非零向量 e1和 e2不共线 如果e1e2，2e13e2，3e1ke2， 且 AB BC AF A，C，F 三点共线，

12、求 k 的值 解e1e2，2e13e2， AB BC 3e12e2. AC AB BC A，C，F 三点共线， ，从而存在实数 ，使得. AC AF AC AF 3e12e23e1ke2， 又 e1，e2是不共线的非零向量， Error!因此 k2.实数 k 的值为 2. 题点发散 1在本例条件下，试确定实数 k，使 ke1e2与 e1ke2共线 解：ke1e2与 e1ke2共线， 存在实数 ，使 ke1e2(e1ke2)， 即 ke1e2e1ke2， Error!解得 k1. 题点发散 2在本例条件下，如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求 AB BC CD 证：A，C，D 三点共线

13、证明：e1e2，3e12e2， AB BC 4e1e2，又8e12e2， AC AB BC CD 2，与共线 CD AC AC CD 又与有公共点 C，A，C，D 三点共线 AC CD 类题通法 1共线向量定理及其应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值 (2)若 a，b 不共线，则 ab0 的充要条件是 0，这一结论结合待定系数法应用 非常广泛 2证明三点共线的方法 若，则 A，B，C 三点共线 AB AC 一、选择题 1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a0( 为实数)，则 必为零 ， 为实数

14、，若 ab，则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为() A1B2 C3 D4 解析：选 C错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点 正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数， 故可以比较大小 错误，当 a0 时，不论 为何值，a0. 错误，当 0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量故选 C. 2已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但 ab 与 c 共线，且 bc 与 a 共线，则向 量 abc() AaBb Cc D0 解析 ： 选 D依题意，设 abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即 ac mcna.又 a 与 c 不共线

15、，于是有 m1，n1，abc，abc0，选 D. 3(2015福建四地六校联考)已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点， 且 22，则() OP OA BA A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C点 P 在线段 AB 的延长线上 D点 P 不在直线 AB 上 解析：选 B因为 22，所以 2，所以点 P 在线段 AB 的反向延 OP OA BA AP BA 长线上，故选 B. 4设 D，E，F 分别是ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且2， DC BD CE 2，2，则与 () EA AF FB AD BE CF BC A反向平行

16、B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直 解析：选 A由题意得， AD AB BD AB 1 3 BC ， BE BA AE BA 1 3 AC ， CF CB BF CB 1 3 BA 因此 () AD BE CF CB 1 3 BC AC AB ， CB 2 3 BC 1 3 BC 故与反向平行 AD BE CF BC 5 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 是 AD 的中点， BE 与 AC 相交于点 F， 若m EF AB n (m，nR)，则 的值为() AD m n A2 B1 2 C2 D.1 2 解析：选 A设a，b，则manb， ba，由向量 AB AD EF BE AE

17、 AB 1 2 与共线可知存在实数 ，使得，即 manb ba，又 a 与 b 不共线， EF BE EF BE 1 2 则Error!，所以 2. m n 6设 O 在ABC 的内部，D 为 AB 的中点，且20，则ABC 的面积 OA OB OC 与AOC 的面积的比值为() A3 B4 C5 D6 解析：选 BD 为 AB 的中点， 则 ()， OD 1 2 OA OB 又20， OA OB OC ，O 为 CD 的中点， OD OC 又D 为 AB 中点， SAOC SADC SABC， 1 2 1 4 则4. S ABC S AOC 二、填空题 7设点 M 是线段 BC 的中点，点

18、A 在直线 BC 外， 216，| | BC AB AC AB AC |，则|_. AM 解析：由|可知， AB AC AB AC AB AC 则 AM 为 RtABC 斜边 BC 上的中线， 因此，| |2. AM 1 2 BC 答案：2 8(2015江门模拟)已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足0， PA BP CP ，则实数 的值为_ AP PD 解析：如图所示，由且0，则 P 为以 AP PD PA BP CP AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2，则 AP PD 2. 答案：2 9 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点， 且向量，满足等式

19、OA OB OC OD OA ，则四边形 ABCD 的形状为_ OC OB OD 解析：， OA OC OB OD OA OB OD OC ，BA 綊 CD，四边形 ABCD 为平行四边形 BA CD 答案：平行四边形 10已知 D，E，F 分别为ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且a，b，给出 BC CA 下列命题： ab； AD 1 2 BE a b； a b；0. 1 2 CF 1 2 1 2 AD BE CF 其中正确命题的个数为_ 解析：a，b， ab，故错； BC CA AD 1 2 CB AC 1 2 a b， BE BC 1 2 CA 1 2 故正确； () (ab) a

20、 b， CF 1 2 CB CA 1 2 1 2 1 2 故正确； b aa b b a0. AD BE CF 1 2 1 2 1 2 1 2 正确命题为. 答案：3 三、解答题 11已知 a，b 不共线，a，b，c，d，OEe，设 tR，如 OA OB OC OD 果 3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出 实数 t 的值，若不存在，请说明理由 解：由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E 三点在一条直 CD CE 线上的充要条件是存在实数 k，使得k，即(t3)atb3ka2kb， CE CD 整理得(t33k)a(2k

21、t)b. 因为 a，b 不共线，所以有Error! 解之得 t . 6 5 故存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上 6 5 12.如图所示，在ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， AE ，a，b. 2 3 AD AB AC (1)用 a，b 表示向量，； AD AE AF BE BF (2)求证：B，E，F 三点共线 解：(1)延长 AD 到 G，使， AD 1 2 AG 连接 BG，CG，得到平行四边形 ABGC， 所以ab， AG (ab)， AD 1 2 AG 1 2 (ab)， AE 2 3 AD 1 3 b， AF 1 2 AC 1 2 (ab)a (b2a)，

22、 BE AE AB 1 3 1 3 ba (b2a) BF AF AB 1 2 1 2 (2)证明：由(1)可知， BE 2 3 BF 又因为，有公共点 B， BE BF 所以 B，E，F 三点共线 第二节平面向量的基本定理及坐标表示 基础盘查一平面向量基本定理 (一)循纲忆知 了解平面向量的基本定理及其意义 (二)小题查验 1判断正误 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底() (2)在ABC 中，向量，的夹角为ABC() AB BC (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的() (4)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2满足 1a1b2a2b，则 1 2，12()

23、答案：(1)(2)(3)(4) 2 (人教 A 版教材复习题改编)设 M 是ABCD 的对角线的交点， O 为任意一点， 则 OA _. OB OC OD OM 答案：4 基础盘查二平面向量的坐标运算 (一)循纲忆知 1掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (二)小题查验 1判断正误 (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同() (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标() (3)已知点 A(2,1)，B(1,3)，则(3,2)() AB 答案：(1)(2)(3) 2(人教 A 版教材例题改编)已知 a(2,1)，b

24、(3,4)，则 3a4b_. 答案：(6,19)基础盘查三平面向量共线的坐标表示 (一)循纲忆知 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 (二)小题查验 1判断正误 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成 () x1 x2 y1 y2 (2)已知向量 a(4，x)，b(4,4)，若 ab，则 x 的值为4() 答案：(1)(2) 2O 是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，当 k_时，A，B， OA OB OC C 三点共线？ 答案：2 或 11 |(基础送分型考点自主练透)考点一 平面向量基本定理及其应用 必备知识 平面向量基本定理 如果 e1，

25、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且 只有一对实数 1，2，使 a1e12e2. 其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 题组练透 1如果 e1，e2是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所 有向量的一组基底的是() Ae1与 e1e2Be12e2与 e12e2 Ce1e2与 e1e2 De13e2与 6e22e1 解析：选 D选项 A 中，设 e1e2e1，则Error!无解； 选项 B 中，设 e12e2(e12e2)，则Error!无解； 选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则Error!无解；

26、选项 D 中，e13e2 (6e22e1)，所以两向量是共线向量 1 2 2如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，且 AD BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中 1 3 点设a，b，试用 a，b 为基底表示向量，. BA BC EF DF CD 解： ba b ba， EF EA AB BF 1 6 1 2 1 3 b ba， DF DE EF 1 6 ( 1 3ba) 1 6 ba b. CD CF FD 1 2 ( 1 6ba) 2 3 类题通法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向 量的加、减或数乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一

27、般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结 论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 |(基础送分型考点自主练透)考点二 平面向量的坐标运算 必备知识 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2); (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)； AB (3)若 a(x，y)，则 a(x，y)；|a|.x2y2 题组练透 1已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量 a b() 1 2 3 2 A(2，1)B(2,1) C(1,0) D(1,2) 解析：选 D a， b， 1 2 ( 1 2， 1 2 ) 3 2 ( 3

28、2， 3 2) 故 a b(1,2) 1 2 3 2 2(2015昆明一中摸底)已知点 M(5，6)和向量 a(1，2)，若3a，则点 N MN 的坐标为() A(2,0)B(3,6) C(6,2) D(2,0) 解析：选 A3a3(1，2)(3,6)， MN 设 N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)， MN 所以Error!即Error!选 A. 3已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且 AB BC CA CM 3c，2b， CN (1)求 3ab3c； (2)求满足 ambnc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量的坐标 MN 解：由已知得 a(5，

29、5)，b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) (2)mbnc(6mn，3m8n)， Error!解得Error! (3)设 O 为坐标原点，3c， CM OM OC 3c(3,24)(3，4)(0,20) OM OC M(0,20) 又2b， CN ON OC 2b(12,6)(3，4)(9,2)， ON OC N(9,2)，(9，18) MN 类题通法 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向 线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标 (2)解题过程中，常

30、利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解 |(题点多变型考点全面发掘)考点三 平面向量共线的坐标表示 必备知识 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.则 abx1y2x2y10. 一题多变 典型母题 平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1) (1)求满足 ambnc 的实数 m，n； (2)若(akc)(2ba)，求实数 k. 解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)， 所以Error!得Error! (2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)， 由题意得 2(34k)(5)(2k)0. k. 16 13 题点发散 1在本例条

31、件下，若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|，求 d.5 解：设 d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)， 由题意得Error! 得Error!或Error! d(3，1)或 d(5,3) 题点发散 2在本例条件下，若 manb 与 a2b 共线，求 的值 m n 解：manb(3mn,2m2n)，a2b(5，2)， 由题意得2(3mn)5(2m2n)0. . m n 1 2 题点发散 3若本例条件变为：已知 A(3,2)，B(1,2)，C(4,1)，判断 A，B，C 三点能 否共线 解：(4,0)，(1，1)， AB AC 4(1)010，不共线 AB AC A，B，C 三点不共

32、线 类题通法 1向量共线的两种表示形式 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)：abab(b0)；abx1y2x2y10.至于使用哪 种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用. 2两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条 件可以列出方程(组)，求出未知数的值 一、选择题 1.如图， 在平行四边形 ABCD 中， E 为 DC 边的中点， 且a， AB AD b， 则() BE Ab aBb a 1 2 1 2 Ca b Da b 1 2 1 2 解析：选 Aab ab a. BE BA AD DE 1 2 1 2

33、2已知平行四边形 ABCD 中，(3,7)，(2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O， AD AB 则的坐标为() CO A.B. ( 1 2，5) ( 1 2，5 ) C. D. ( 1 2，5) ( 1 2，5) 解析：选 D(2,3)(3,7)(1,10) AC AB AD . OC 1 2 AC ( 1 2，5 ) .故选 D. CO ( 1 2，5) 3在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 的边 ABDC，ADBC.已知 A(2,0)， B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的坐标为() A(0，2) B(4,2) C(16,14) D(0,2) 解析：选 A设 D(

34、x，y)，由题意知， BD BA BC 即(x6，y8)(8，8)(2，2)(6，10)， Error!Error!故选 A. 4设向量 a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量 4a,4b2c,2(ac)，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d() A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6) 解析 ： 选 D设 d(x，y)，由题意知 4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4， 2)，又 4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解 得 x2，y6，所以 d(2，6) 5已知向量(1，3)，(2，1)

35、，(k1，k2)，若 A，B，C 三点不 OA OB OC 能构成三角形，则实数 k 应满足的条件是() Ak2 Bk1 2 Ck1 Dk1 解析：选 C若点 A，B，C 不能构成三角形， 则向量，共线， AB AC (2，1)(1，3)(1,2)， AB OB OA (k1，k2)(1，3)(k，k1)， AC OC OA 1(k1)2k0，解得 k1. 6(2015山西四校联考)在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且3，点 O BC CD 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若x(1x)，则 x 的取值范围是() AO AB AC A. B. ( 0，1 2 )( 0，1

36、 3 ) C. D. ( 1 2，0) ( 1 3，0) 解析 ： 选 D依题意，设，其中 1 ，则有 BO BC 4 3 AO AB BO AB BC ()(1). AB AC AB AB AC 又x(1x)，且，不共线，于是有 x1，即 x 的取 AO AB AC AB AC ( 1 3，0) 值范围是. ( 1 3，0) 二、填空题 7设 e1，e2是平面内一组基向量，且 ae12e2，be1e2，则向量 e1e2可以表示 为另一组基向量 a，b 的线性组合，即 e1e2_a_b. 解析：由题意，设 e1e2manb. 因为 ae12e2，be1e2， 所以 e1e2m(e12e2)n(

37、e1e2)(mn)e1(2mn)e2. 由平面向量基本定理，得Error! 所以Error! 答案： 2 3 1 3 8已知两点 A(1,0)，B(1,1)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且AOC135，设 OC (R)，则 的值为_ OA OB 解析：由AOC135知，点 C 在射线 yx(x0)上，设点 C 的坐标为(a，a)，a0， 则有(a，a)(1，)，得 a1，a，消掉 a 得 . 1 2 答案：1 2 9在ABC 中，点 P 在 BC 上，且2，点 Q 是 AC 的中点，若(4,3)， BP PC PA PQ (1,5)，则_. BC 解析：(3,2)， AQ PQ PA

38、2(6,4) AC AQ (2,7)， PC PA AC 3(6,21) BC PC 答案：(6,21) 10(2015九江模拟)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，n R是两个向量集合，则 PQ 等于_ 解析：P 中，a(1m,12m)， Q 中，b(12n，23n) 则Error!得Error! 此时 ab(13，23) 答案：13，23 三、解答题 11已知 a(1,0)，b(2,1)求： (1)|a3b|； (2)当 k 为何实数时，kab 与 a3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为 a(1,0)，b(2,1)，所以 a3b(7,3)

39、， 故|a3b|.723258 (2)kab(k2，1)，a3b(7,3)， 因为 kab 与 a3b 平行， 所以 3(k2)70，即 k . 1 3 此时 kab(k2，1)， ( 7 3，1) a3b(7,3)，则 a3b3(kab)， 即此时向量 a3b 与 kab 方向相反 12已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2. OM OA AB (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t11 时，不论 t2为何实数，A，B，M 三点共线 解 ： (1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2) 当点 M 在第二或第三象限时， OM

40、 OA AB 有Error! 故所求的充要条件为 t20 且 t12t20. (2)证明：当 t11 时，由(1)知(4t2,4t22) OM (4,4)， AB OB OA (4t2,4t2)t2(4,4)t2， AM OM OA AB A，B，M 三点共线 第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 基础盘查一平面向量的数量积 (一)循纲忆知 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 (二)小题查验 1判断正误 (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量() (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量() (3)

41、两个向量的夹角的范围是() 0， 2 答案：(1)(2)(3) 2 (人教 A 版教材例题改编)已知|a|5， |b|4， a 与 b 的夹角 120， 则 ab_ 答案：10 基础盘查二平面向量数量积的性质及其坐标表示 (一)循纲忆知 1掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 2能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 (二)小题查验 1判断正误 (1)由 ab0，可得 a0 或 b0() (2)两向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20() (3)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和 b 的夹角为钝角()

42、 答案：(1)(2)(3) 2(人教 A 版教材复习题改编)已知|a|，|b|2，a 与 b 的夹角为 30，则|ab|3 _. 答案：1 3已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，则实数 x 等于_ 答案：9 基础盘查三平面向量数量积的运算律 (一)循纲忆知 掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算 (二)小题查验 1判断正误 (1)(ab)ca(bc)() (2)abac(a0)，则 bc() 答案：(1)(2) 2 (人教 A 版教材习题改编)已知单位向量 e1， e2的夹角为 60， 则向量 a2e1e2与 b 2e23e1的夹角为_ 答案：150 |(基础送分型考

43、点自主练透)考点一 平面向量的数量积的运算 必备知识 1平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，把数量|a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积(或内 积)，记作 ab.即 ab|a|b|cos ，规定 0a0. 2向量数量积的运算律 (1)abba. (2)(a)b(ab)a(b) (3)(ab)cacbc. 3平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的模|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 提醒投影和两向量的数量积都是数量， 不是向量 题组练透 1(2015云南统一检测)设向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量 a2b 与 2

44、ab 平行， 那么 a 与 b 的数量积等于() A B 7 2 1 2 C. D. 3 2 5 2 解析：选 Da2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得 3(12m)4(2 m)0，则 m ， 1 2 所以 ab121 . ( 1 2 ) 5 2 2.(2013湖北高考)已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向 AB CD 上的投影为() A. B. 3 2 2 3 15 2 C D 3 2 2 3 15 2 解 析 ： 选 A (2,1) ， (5,5) ， 由 定 义 知在方 向 上 的 投 影 为 AB CD AB CD . AB CD |

45、CD | 15 5 2 3 2 2 3(2014重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60，且 a(2，6)，|b|，则 ab10 _. 解析：因为 a(2，6)， 所以|a|2，226210 又|b|，向量 a 与 b 的夹角为 60，10 所以 ab|a|b|cos 602 10.1010 1 2 答案：10 4(2015东北三校联考)已知正方形 ABCD 的边长为 2，2， ( DE EC DF 1 2 DC )，则_. DB BE DF 解析：如图，以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴建 立平面直角坐标系 则 B(0,0) ，E，D(2,2) 由 ()

46、 知 F 为 BC 的中 ( 2，2 3 ) DF 1 2 DC DB 点，故，(1，2)， BE ( 2，2 3 ) DF 2 . BE DF 4 3 10 3 答案：10 3 类题通法 向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 ab|a|b|cos a，b (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2 y1y2. 提醒(1)在向量数量积的运算中，若 abac(a0)，则不一定得到 bc. (2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c 不 一定等于 a(bc)

47、|(常考常新型考点多角探明)考点二 平面向量数量积的性质 必备知识 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)： 结论几何表示坐标表示 模|a| aa|a| x2 1y2 1 夹角cos ab |a|b| cos x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 ab 的充要条件ab0 x1x2y1y20 多角探明 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容， 题型多为选择题、 填空题， 难度适中， 属中档题归纳起来常见的命题角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模 1已知平面向量 a，b 的夹角为 ，且|a|，|b|2，在

48、ABC 中，2a2b， 6 3 AB AC 2a6b，D 为 BC 中点，则|等于() AD A2B4 C6 D8 解析 ： 选 A因为 () (2a2b2a6b)2a2b，所以|24(a AD 1 2 AB AC 1 2 AD b)24(a22bab2)44，则|2. ( 32 2 3 cos 64) AD 2(2014北京高考)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2,1)，且 ab0(R)，则| _. 解析：|a|1，可令 a(cos ，sin )， ab0. Error!即Error! 由 sin2cos21 得 25，得| . 5 答案： 5 角度二：平面向量的夹角 3向量 a，b 均

49、为非零向量，(a2b)a，(b2a)b，则 a，b 的夹角为() A. B. 6 3 C. D. 2 3 5 6 解析 ： 选 B(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a| |b|，故|a|22ab|a|22|a|2cos a，b0，可得 cosa，b ，又因为 0a，b 1 2 ，所以a，b . 3 4(2014江西高考)已知单位向量 e1与 e2的夹角为 ，且 cos ，向量 a3e12e2与 1 3 b3e1e2的夹角为 ，则 cos _. 解析 ： 因为 a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29 2

50、31cos 18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e 9e1e22e 92 2 12 2 911 28，所以 cos . 1 3 ab |a|b| 8 3 2 2 2 2 3 答案： 2 2 3 角度三：平面向量的垂直 5(2014重庆高考)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数 k () A B0 9 2 C3 D.15 2 解析 ： 选 C因为 2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)6 0，解得 k3，选 C. 6 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 已 知 (2,3) ， (1 ， k) ， 则

51、k 的 值 为 AB AC _ 解析：当 A90时， ，0. AB AC AB AC 213k0，解得 k . 2 3 当 B90时， AB BC 又(1，k)(2,3)(1，k3)， BC AC AB 2(1)3(k3)0， AB BC 解得 k. 11 3 当 C90时， ，1(1)k(k3)0， AC BC 即 k23k10.k. 3 13 2 答案： 或或. 2 3 11 3 3 13 2 类题通法 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角：cos ，要注意 0， ab |a|b| (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|. (3)求向量的

52、模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： a2aa|a|2或|a|.aa |ab|.a b2a2 2abb2 若 a(x，y)，则|a|.x2y2 |(重点保分型考点师生共研)考点三 平面向量与三角函数的综合 典题例析 (2013江苏高考)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0. (1)若|ab|，求证：ab；2 (2)设 c(0,1)，若 abc，求 ， 的值 解：(1)证明：由题意得|ab|22， 即(ab)2a22abb22. 又因为 a2b2|a|2|b|21， 所以 22ab2，即 ab0，故 ab. (2)因为 ab(cos cos ，sin sin )(

53、0,1)， 所以Error! 由此得，cos cos ()， 由 0，得 0. 又 0， 1 2 所以 ， . 5 6 6 类题通法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式， 运用向量共线或垂直或等式成立等， 得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 演练冲关 已知向量 a，b，c(，1)，其中 xR， ( cos 3x 2 ，sin 3x 2 )( cos x 2，sin x 2) 3 (1)当 ab 时，

54、求 x 的取值集合； 1 2 (2)设函数 f(x)(ac)2，求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间 解：(1)abcos cos sin sin cos x ，x2k (kZ) 3x 2 x 2 3x 2 x 2 1 2 3 所求 x 的取值集合为 xx2k ，kZ. 3 (2)ac， ( cos 3x 2 3，sin 3x 2 1) f(x)(ac)2 22 ( cos 3x 2 3 )( sin 3x 2 1) 52cos 2sin 543 3x 2 3x 2 ( 1 2sin 3x 2 3 2 cos 3x 2 ) 54sin. ( 3x 2 3) 最小正周期为 T. 2 3 2

55、4 3 由 2k 2k (kZ)， 2 3x 2 3 2 得 x(kZ) 4k 3 9 4k 3 5 9 单调递增区间是(kZ) 4k 3 9， 4k 3 5 9 一、选择题 1(2015惠州调研)已知向量 p(2，3)，q(x,6)，且 pq，则|pq|的值为() A.B.513 C5 D13 解析 ： 选 B由题意得 263x0 x4|pq|(2， 3)(4,6)|(2,3)|.13 2(2015长春调研)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若 为实数，(ba)c， 则 的值为() A B 3 11 11 3 C. D. 1 2 3 5 解析：选 Aba(1,0)(1,2)(1，2)，c(3,4)，又(ba)c，(ba)c 0，即(1，2)(3,4)3380，解得 ，故选 A. 3 11 3已知向量 a，b 满足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，则 a 与 b 的夹角 为() A. B. 3 4 4 C. D. 3 2 3 解析：选 C因为(a2b)(5a4b)0，|a|b