高三数学（理数）总复习练习专题五 导数及其应用

1、(2015陕西，15，易)设曲线 yex在点(0，1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 1 x 的坐标为_ 【解析】设 P(x0，y0)(x00)， 由 yex，得 yex， y|x01. 由 y ，得 y， 1 x 1 x2 1， 1 x x01 或 x01(舍去)， y0 1， 1 1 点 P 的坐标为(1，1) 【答案】(1，1) 1(2011江西，4，易)若 f(x)x22x4ln x，则 f(x)0 的解集为() A(0，) B(1，0)(2，) C(2，) D(1，0) 【答案】Cf(x)的定义域为(0，)， 又由 f (x)2x24 x 0， 2（x2）

2、（x1） x 解得1x2， 所以 f(x)0 的解集为(2，) 2(2011大纲全国，8，中)曲线 ye2x1 在点(0，2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形 的面积为() A. B. C. D1 1 3 1 2 2 3 【答案】Ay2e2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率 k2，切线方程为 y2x2， 该直线与直线 y0 和 yx 围成的三角形如图所示， 其中直线 y2x2 与 yx 的交点 A，所以三角形面积 S 1 ，故选 A. ( 2 3， 2 3) 1 2 2 3 1 3 3(2012广东，12，易)曲线 yx3x3 在点(1，3)处的切线方程为_ 【解析】y3x21，

3、y 在点(1， 3)处的切线斜率 k2， 由点斜式方程， 得切线方程为 y32(x 1)，即 2xy10. 【答案】2xy10 4(2014广东，10，易)曲线 ye5x2 在点(0，3)处的切线方程为_ 【解析】y5e5x，ky|x05，故所求切线方程为 y35x，即 5xy30. 【答案】5xy30 5(2014江苏，11，中)在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 yax2 (a，b 为常数)过点 P(2，5)， b x 且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_ 【解析】因为曲线 yax2 过点 P(2，5)，所以 4a 5. b x b 2 又 y2ax，

4、且曲线在点 P(2，5)处的切线与直线 7x2y30 平行，所以 4a . b x2 b 4 7 2 由解得所以 ab3. a 1， b2. ) 【答案】3 6(2013北京，18，13 分，中)设 L 为曲线 C：y在点(1，0)处的切线 ln x x (1)求 L 的方程； (2)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方 解：(1)设 f(x)，则 f (x). ln x x 1ln x x2 所以切线的斜率 kf (1)1，所以 L 的方程为 yx1. (2)证明：令 g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)0(x0，x 1) g(

5、x)满足 g(1)0，且 g(x)1f(x). x21ln x x2 当 0 x1 时，x210，ln x0， 所以 g(x)0，故 g(x)单调递减； 当 x1 时，x210，ln x0， 所以 g(x)0，故 g(x)单调递增 所以，g(x)g(1)0(x0，x1) 所以除切点之外，曲线 C 在直线 L 的下方 考向 1导数的运算 1基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)C(C 为常数)f(x)0 f(x)x(Q*)f(x)x1 f(x)sin xf(x)cos x f(x)cos xf(x)sin x f(x)axf(x)axln a(a0) f(x)exf(x)ex f(x)l

6、ogaxf(x)(a0，且 a1) 1 xln a f(x)ln xf(x)1 x 2.运算法则 (1)导数的运算法则 f(x)g(x)f(x)g(x)； f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (g(x)0) f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g（x）2 (2)复合函数的求导法则 yf(u(x)的导数为 yxyuux. (1)分析清楚复合函数的复合关系， 确定出内函数与外函数， 适当选定中间变量， 由外向内逐层求导， 做到不重不漏 (2)特别要注意的是中间变量的系数，避免出现(cos 2x)sin 2x 的错误 (1)(2014大纲全国，7)曲线 yxex1在

7、点(1，1)处切线的斜率等于() A2e Be C2 D1 (2)(2015浙江温州高三月考， 5)已知函数 f(x)的导函数 f(x)， 且满足 f(x)2xf(1)ln x， 则 f(1)() Ae B1 C1 De (3)(2013江西，13)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_ 【解析】(1)yxex1x(ex1)(1x)ex1， 曲线在点(1，1)处的切线斜率为 y|x12.故选 C. (2)f(x)2xf(1)ln x， f(x)2xf(1)(ln x)2f(1) ， 1 x f(1)2f(1)1，即 f(1)1. (3)令 tex，故 xln t

8、，f(t)ln tt，即 f(x)ln xx，f(x) 1，f(1)2. 1 x 【答案】(1)C(2)B(3)2 【点拨】解题(2)时注意弄清 f(1)为常数而非变量；解题(3)时先换元求解析式，然后再求导 导数运算的原则和方法 (1)原则：先化简解析式，再求导 (2)方法： 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； 对数形式：先化为和、差的形式，再求导； 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； 复合函数：由外向内，层层求导 要牢记导数公式和导数的四则

9、运算法则，切忌记混公式法则 (2015江西九江月考，15)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f(x)存在，且导数 f(x)在 D 上也可导， 则称 f(x)在 D 上存在二阶导数， 记为 f(x)f(x)， 若 f(x)0 在 D 上恒成立， 则称 f(x)在 D 上为凸函数以下四个函数在上是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上) (0， 2) f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x； f(x)x32x1；f(x)xex. 【解析】由知，f(x)cos xsin x， 则 f(x)sin xcos x sin0)， 则 f(x)0 在区间 2 (x 4) (0， 2)

10、 1 x 1 x2 (0， 2) 上恒成立；由知，f(x)3x22，则 f(x)6x0 在区间上恒成立，故中的函数不是凸 (0， 2) 函数 【答案】 考向 2导数的几何意义及其应用 导数的几何意义 函数 f(x)在 xx0处的导数 f (x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率(瞬时速 度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为 yf(x0)f (x0)(xx0) “过某点” 与“在某点” 的区别：曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线” 与“过点 P(x0，y0)的切线” 的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x

11、0，y0)不一定为切点 (1)(2014课标， 8)设曲线 yaxln(x1)在点(0， 0)处的切线方程为 y2x， 则 a() A0 B1 C2 D3 (2)(2015山东威海质检，7)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切， 则直线 l 的方程为() Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 (3)(2014江西，13)若曲线 yex上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是 _ (4)(2015河南郑州模拟，12)已知点 P 在曲线 y上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 4 ex1 的取值范围是_ 【解析】(1

12、)ya，由题意得 y|x02，即 a12，a3. 1 x1 (2)点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上， 设切点为(x0，y0) 又f(x)1ln x，y 0 x0ln x0， y01（1ln x0）x0，) 解得 x01，y00. 切点为(1，0)，f(1)1ln 11. 直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选 B. (3)设 P(x0，y0)，yex，yex， 点 P 处的切线斜率为 kex02， x0ln 2，x0ln 2， y0eln 22，点 P 的坐标为(ln 2，2) (4)y， 4 ex1 y. 4ex （ex1）2 4ex e2x2ex1 4 ex 1 ex

13、2 ex0，ex2， 1 ex y1，0)，tan 1，0) 又 0，)，. 3 4 ，) 【答案】(1)D(2)B(3)(ln 2，2)(4)3 4 ，) 【点拨】解题(1)时注意弄清点(0，0)在曲线上；解题(2)时注意弄清过曲线“在某点” 和“过某点” 的曲线的切线的区别；解题(3)的关键是弄清曲线在点 P 处的导数与直线斜率之间的关系；解题(4)时注意 正切函数在的图象与其正切值之间的对应关系 0， 2) ( 2，) 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题 策略 (1)已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为： 求出函数 yf(x)在点 xx0处的导数，即曲线 yf(x)在点 P(x0，

14、f(x0)处切线的斜率； 由点斜式求得切线方程为 yy0f(x0)(xx0) (2)已知斜率求切点：已知斜率 k，求切点(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k. (3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函 数的单调性解决 (2015河北石家庄一模，14)已知点 P 为曲线 C：yx22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为，则点 P 横坐标的取值范围是_ 0， 4 【解析】设 P(x0，y0)，P 点处切线倾斜角为 ，则 0tan 1， 由 f(x)x22x3，得 f(x)2x2， 令 02x021，得1x0 . 1 2

15、 【答案】1，1 2 1(2015江西赣州高三期末，5)已知 t 为实数，f(x)(x24)(xt)且 f(1)0，则 t 等于() A0 B1 C. D2 1 2 【答案】C依题意得，f(x)2x(xt)(x24)3x22tx4，f(1)32t40，即 t . 1 2 2(2014河南平顶山模拟，8)点 P 是曲线 x2yln x0 上的任意一点，则点 P 到直线 yx2 的 最小距离为() A1 B. C. D. 3 2 5 2 2 【答案】D将 x2yln x0 变形为 yx2ln x(x0)，则 y2x .令 y1，则 x1 或 x 1 x 1 2 (舍)， 可知函数 yx2ln x

16、的斜率为 1 的切线的切点横坐标为 x1， 纵坐标为 y1.故切线方程为 xy 0.则点 P 到直线 yx2 的最小距离即切线方程 xy0 与 yx2 的两平行线间的距离，d |02| 2 . 2 方法点拨：解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离 3(2015云南昆明一中调研，9)若曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点(0，m)处有公切 线，则 ab() A1 B0 C1 D2 【答案】C依题意得，f(x)asin x，g(x)2xb，于是有 f(0)g(0)，即asin 020 b，故 b0，又有 mf(0)g(0)，则 ma1，因此 ab1，选

17、 C. 4(2015山西大同质检，7)已知 a 为常数，若曲线 yax23xln x 存在与直线 xy10 垂直的 切线，则实数 a 的取值范围是() A. B. 1 2，) (， 1 2 C1，) D(，1 【答案】A由题意知曲线上存在某点的导数为 1， 所以 y2ax3 1 有正根， 即 2ax22x 1 x 10 有正根当 a0 时，显然满足题意；当 a0 时，需满足 0，解得 a0)上任意一点处的切线斜率为 k，若 k 的最小值为 4，则此时该切点的坐标为() A(1，1) B(2，3) C(3，1) D(1，4) 【答案】Ayx2aln x 的定义域为(0， )， 由导数的几何意义知

18、 y2x 24， 即 a a x 2a 2，当且仅当 x1 时等号成立，代入曲线方程得 y1，故所求的切点坐标是(1，1) 6(2015河南新乡质检，12)过点 A(2，1)作曲线 f(x)x33x 的切线最多有() A3 条 B2 条 C1 条 D0 条 【答案】A由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x 3x0)，那么切线的斜率为 k3x 3， 3 02 0 利用点斜式方程可知切线方程为 y(x 3x0)(3x 3)(xx0)， 将点 A(2， 1)代入可得关于 x0的一元三次 3 02 0 方程 2x 6x 50.令 y2x 6x 5，则 y6x 12x0.由 y0 得 x00 或

19、 x02.当 x00 时，y 3 02 03 02 02 0 50；x02 时，y30.所以方程 2x 6x 50 有 3 个解故过点 A(2，1)作曲线 f(x)x33x 的切 3 02 0 线最多有 3 条，故选 A. 方法点拨：曲线 yf(x)过点(x0，y0)(点不在曲线 yf(x)上)的切线方程的求解步骤： (1)设出切点坐标 P(x1，f(x1)； (2)写出过 P(x1，f(x1)的切线方程为 yf(x1)f(x1)(xx1)； (3)将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出 x1； (4)将 x1的值代入方程 yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点 P(x0，y0)的

20、切线方程 7(2015广东惠州质检，11)曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程为_ 【解析】由 y5ex3 得， y5ex， 所以切线的斜率 ky|x05， 所以切线方程为 y2 5(x0)，即 5xy20. 【答案】5xy20 8 (2014湖北武汉三模， 14)已知曲线 f(x)xn1(nN*)与直线 x1 交于点 P， 设曲线 yf(x)在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn，则 log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014的值为_ 【解析】f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点 P(1，1)处的切线方程为 y1(n1)(x1)，令 y 0，得

21、 x1，即 xn， 1 n1 n n1 n n1 x1x2x2 014 ， 1 2 2 3 3 4 2 013 2 014 2 014 2 015 1 2 015 则 log2 015x1log2 015x2log2 015x2 014log2 015(x1x2x2 014)log2 0151. 1 2 015 【答案】1 9(2015河北唐山一中月考，20，12 分)已知函数 f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12 和直 线 m：ykx9，且 f(1)0. (1)求 a 的值； (2)是否存在 k， 使直线 m 既是曲线 yf(x)的切线， 又是曲线 yg(x)的切线？如果存

22、在， 求出 k 的值 ； 如果不存在，请说明理由 解：(1)由已知得 f (x)3ax26x6a， f(1)0，3a66a0，a2. (2)存在由已知得，直线 m 恒过定点(0，9)，若直线 m 是曲线 yg(x)的切线，则设切点为(x0，3x20 6x012) g(x0)6x06， 切线方程为 y(3x 6x012)(6x06)(xx0)， 20 将(0，9)代入切线方程，解得 x01. 当 x01 时，切线方程为 y9； 当 x01 时，切线方程为 y12x9. 由(1)知 f(x)2x33x212x11， 由 f(x)0 得6x26x120，解得 x1 或 x2. 在 x1 处，yf(x

23、)的切线方程为 y18； 在 x2 处，yf(x)的切线方程为 y9， yf(x)与 yg(x)的公切线是 y9. 由 f (x)12 得6x26x1212， 解得 x0 或 x1. 在 x0 处，yf(x)的切线方程为 y12x11； 在 x1 处，yf(x)的切线方程为 y12x10， yf(x)与 yg(x)的公切线不是 y12x9. 综上所述，yf(x)与 yg(x)的公切线是 y9，此时 k0. 1(2015课标，12，难)设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x) f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是() A(，1)

24、(0，1) B(1，0)(1，) C(，1)(1，0) D(0，1)(1，) 【答案】A设 h(x).f(x)是奇函数， f（x） x f(x)f(x)， h(x)h(x) f（x） x f（x） x h(x)是偶函数 xf(x)f(x)0， h(x)0. ( f（x） x ) xf（x）f（x） x2 h(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数，且 h(1)0，如图所示， 可知满足 f(x)0 的 x 的取值范围是(，1)(0，1) 思路点拨：构造函数 h(x)，并判断其奇偶性和单调性，最后数形结合求解不等式 f（x） x 2(2015课标，12，难)设函数 f(x)ex(2x1)a

25、xa，其中 a1，若存在唯一的整数 x0使得 f(x0)0，f(x)0 成立，求 a 的取值范围 解：(1)由题意知，函数 f(x)的定义域为(1，)，f(x)a(2x1)， 1 x1 2ax2axa1 x1 令 g(x)2ax2axa1，x(1，) (i)当 a0 时，g(x)1，此时 f(x)0，函数 f(x)在(1，)单调递增，无极值点； (ii)当 a0 时，a28a(1a)a(9a8) 当 0a 时，0，g(x)0， 8 9 f(x)0，函数 f(x)在(1，)单调递增，无极值点； 当 a 时，0， 8 9 设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x1x2)， 因为 x1x

26、2 ， 1 2 所以 x1 ，x2 ， 1 4 1 4 由 g(1)10，可得1x1 . 1 4 所以当 x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减； 当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增 所以函数有两个极值点 (iii)当 a0 时，0， 由 g(1)10，可得 x11， 当 x(1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减 所以函数有一个极值点 综上所述， 当 a0 时，函数 f(

27、x)有一个极值点； 当 0a 时，函数 f(x)无极值点； 8 9 当 a 时，函数 f(x)有两个极值点 8 9 (2)由(1)知， ()当 0a 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增因为 f(0)0， 8 9 所以 x(0，)时，f(x)0，符合题意； ()当 a1 时，由 g(0)0，得 x20， 8 9 所以函数 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(0)0，所以 x(0，)时，f(x)0，符合题意； ()当 a1 时，由 g(0)0，可得 x20. 所以 x(0，x2)时，函数 f(x)单调递减； 因为 f(0)0， 所以 x(0，x2)时，f(x)0，不合题意； ()当 a0 时

28、，设 h(x)xln(x1) 因为 x(0，)时，h(x)10， 1 x1 x x1 所以 h(x)在(0，)上单调递增 因此当 x(0，)时，h(x)h(0)0， 即 ln(x1)x. 可得 f(x)xa(x2x)ax2(1a)x. 当 x1 时，ax2(1a)x0. 1 a 此时 f(x)0，不合题意 综上所述，a 的取值范围是0，1 4(2015课标，21，12 分，难)设函数 f(x)emxx2mx. (1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增； (2)若对于任意 x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求 m 的取值范围 解：(1)证明：f(x)m(emx

29、1)2x. 若 m0，则当 x(，0)时，emx10，f(x)0. 若 m0，f(x)0； 当 x(0，)时，emx10. 所以，f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增 (2)由(1)知，对任意的 m，f(x)在1，0单调递减，在0，1单调递增，故 f(x)在 x0 处取得最小 值所以对于任意 x1，x21，1，|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是f（1）f（0） e1， f（1）f（0） e1，) 即 e mm e1， emm e1.) 设函数 g(t)ette1， 则 g(t)et1. 当 t0 时，g(t)0 时，g(t)0. 故 g(t)在(，0)单调递减，在(0，)单调

30、递增 又 g(1)0，g(1)e12e1 时，由 g(t)的单调性得，g(m)0，即 emme1； 当 m0，即 emme1. 综上，m 的取值范围是1，1 5(2015课标，21，12 分，难)已知函数 f(x)x3ax ，g(x)ln x. 1 4 (1)当 a 为何值时，x 轴为曲线 yf(x)的切线； (2)用 min(m，n)表示 m，n 中的最小值，设函数 h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论 h(x)零点的个数 解 ： (1)f (x)3x2a.设曲线 yf(x)与 x 轴相切于点(x0， 0)， 则 f(x0)0， f(x0)0， 即xax 01 40， 3xa0.

31、) 解得 x0 ，a . 1 2 3 4 因此，当 a 时，x 轴为曲线 yf(x)的切线 3 4 (2)当 x(1，)时，g(x)ln x0，从而 h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故 h(x)在(1，)无零 点 当 x1 时，若 a ，则 f(1)a 0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故 x1 是 h(x)的零 5 4 5 4 点若 a ，则 f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0.所以只需考虑 f(x)在(0，1)的零点个数 ()若 a3 或 a0，则 f(x)3x2a 在(0，1)无零点，故 f(x)在(0，1)单调而 f(0) ，f(1)a 1

32、 4 ，所以当 a3 时，f(x)在(0，1)有一个零点；当 a0 时，f(x)在(0，1)没有零点 5 4 ()若3a0，即 a0，f(x)在(0，1)无零点； ( a 3) 3 4 若 f 0，即 a ，则 f(x)在(0，1)有唯一零点； ( a 3) 3 4 若 f 0，即3a ，由于 f(0) ，f(1)a ，所以当 a 时，f(x)在(0，1)有两 ( a 3) 3 4 1 4 5 4 5 4 3 4 个零点；当3 或 a 时，h(x)有一个零点 ； 当 a 或 a 时，h(x)有两个零点 ； 当 a 3 4 5 4 3 4 5 4 5 4 时，h(x)有三个零点 3 4 6(20

33、15安徽，21，13 分，难)设函数 f(x)x2axb. (1)讨论函数 f(sin x)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； ( 2 ， 2) (2)记 f0(x)x2a0 xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值 D； 2 ， 2 (3)在(2)中，取 a0b00，求 zb满足条件 D1 时的最大值 a2 4 解：(1)f(sin x)sin2xasin xb sin x(sin xa)b， x . 2 2 f(sin x)(2sin xa)cos x， x . 2 2 因为 x ，所以 cos x0，22sin x2. 2 2 当 a2，bR 时，函数

34、 f(sin x)在内单调递增，无极值； ( 2， 2) 当 a2，bR 时，函数 f(sin x)在内单调递减，无极值； ( 2， 2) 对于2a2，在内存在唯一的 x0，使得 2sin x0a， ( 2， 2) 当 xx0时，函数 f(sin x)单调递减； 2 当 x0 x 时，函数 f(sin x)单调递增， 2 因此，2a2，bR 时，函数 f(sin x)在 x0处有极小值 f(sin x0)f b. ( a 2 ) a2 4 (2)当 x 时， 2 2 |f(sin x)f0(sin x)| |(a0a)sin xbb0| |aa0|bb0|， 当(a0a)(bb0)0 时，取

35、x ，等号成立； 2 当(a0a)(bb0)0 时，取 x ，等号成立 2 由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值为 D|aa0|bb0|. 2， 2 (3)D1 即为|a|b|1，此时 0a21，1b1，从而 zb1. a2 4 取 a0，b1，则|a|b|1，并且 zb1. a2 4 由此可知，zb满足条件 D1 的最大值为 1. a2 4 1(2013浙江，8，中)已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则() A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值 C当 k2 时，f(x

36、)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值 【答案】C当 k1 时，f(x)(ex1)(x1)，f(x)xex1，f(1)0，故 A，B 错 ； 当 k2 时， f(x)(ex1)(x1)2，f(x)(x21)ex2x2(x1)(x1)ex2，故 f(x)0 有一根为 x11，另一根 x2(0，1)当 x(x2，1)时，f(x)0，f(x)递减 ； 当 x(1，)时，f(x)0，f(x)递增，f(x)在 x 1 处取得极小值，故选 C. 2(2012重庆，8，中)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象 如图所示，则下

37、列结论中一定成立的是() A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 【答案】D当 x0. (1x)f(x)0， f(x)0，即 f(x)在(，2)上是增函数 当2x0. (1x)f(x)0， f(x)0，即 f(x)在(2，1)上是减函数 当 1x2 时，1x0，f(x)2 时，1x0. (1x)f(x)0，即 f(x)在(2，)上是增函数 综上，f(2)为极大值，f(2)为极小值 3(2014陕西，10，中)如图，某飞行

38、器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 A 的水平距离 10 千米 处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为() Ayx3 x Byx3 x 1 125 3 5 2 125 4 5 Cyx3x Dyx3 x 3 125 3 125 1 5 【答案】A根据题意，知所求函数在(5，5)上单调递减对于 A，yx3 x，yx2 1 125 3 5 3 125 (x225)，x(5，5)，y0，则 a 的 取值范围是() A(2，) B(1，) C(，2) D(，1) 【答案】C方法一：由已知可知 a0.f(x)3ax26x，令 f(x)0，得 x0 或 x . 2 a

39、当 a0 时，函数 f(x)在(，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且 (0， 2 a)( 2 a，) f(0)10，故 f(x)有小于 0 的零点，不合题意 当 a0 且唯一，只需 f 0，即 a24，a0；x时，f(x)0，注意 f(0)1， f (0， 2 3) ( 2 3，) 0，则 f(x)的大致图象如图所示 ( 2 3) 5 9 不符合题意，排除 A，B. 当 a 时，f(x)4x26x 4 3 2x(2x3)， 则当 x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意 f(0) (， 3 2) ( 3 2，0) 1，f ，则 f(x)的大致图象如图所示 ( 3 2) 5

40、4 不符合题意，排除 D. 5(2014课标，12，难)设函数 f(x)sin.若存在 f(x)的极值点 x0满足 x f(x0)2m2，则 m3 x m 2 0 的取值范围是() A(，6)(6，) B(，4)(4，) C(，2)(2，) D(，1)(1，) 【答案】Cf (x)cos，3 m x m 由题意知，存在 f(x)的极值点 x0， 则有 f (x0)cos0，3 m x0 m 即k，kZ. x0 m 2 则 x0 km，kZ. m 2 又 x0满足 x f(x0)2m2， 2 0 即m2，kZ， ( m 2 km) 2 ( 3sin x0 m) 2 m2，kZ， (mk m 2)

41、 2 3sin(k 2) 2 即 m23m2，kZ. (k 1 2) 2 m0，kZ. (k 1 2) 2 m23 m2 又存在 x0满足 x f(x0)2，m23， m23 m2 ( 1 2) 2 m2 4 m24，m2 或 m0)， 1 2 f(x)x5 . 6 x （x2）（x3） x 令 f(x)0，解得 x12，x23. 当 0x3 时，f(x)0，故 f(x)在(0，2)，(3，)上为增函数；当 2x3 时，f(x)0， 所以当 x(0，2)时，f(x)0，函数 yf(x)单调递增 所以 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，) (2)由(1)知，k0 时，函数

42、f(x)在(0，2)内单调递减， 故 f(x)在(0，2)内不存在极值点； 当 k0 时，设函数 g(x)exkx，x0，) 因为 g(x)exkexeln k， 当 00，yg(x)单调递增 故 f(x)在(0，2)内不存在两个极值点 当 k1 时， 得 x(0，ln k)时，g(x)0，函数 yg(x)单调递增 所以函数 yg(x)的最小值为 g(ln k)k(1ln k) 函数 f(x)在(0，2)内存在两个极值点， 当且仅当 g（0） 0， g（ln k） 0， 0 ln k 2. ) 解得 ek0 时，g(x)0，求 b 的最大值； (3)已知 1.414 20，g(x)0. 当 b

43、2 时，若 x 满足 2exex2b2，即 0xln(b1)时，g(x)0.而 g(0)0，因此当 b22b 0xln(b1)时，g(x)0，ln 20.692 8； 2 3 2 2 8 23 12 当 b1 时， 3 2 4 ln(b1)ln. b22b2 g(ln) 2(32)ln 20， 2 3 2 22 ln 20(或 f(x)0(或 f(x)0(或0)恒成立， “”不能少必要时还需对“”进行检验 (2014江西，18，12 分)已知函数 f(x)(x2bxb)(bR)12x (1)当 b4 时，求 f(x)的极值； (2)若 f(x)在区间上单调递增，求 b 的取值范围 (0， 1

44、3) 【解析】(1)由题意易知 f(x)的定义域为. (， 1 2) 当 b4 时，f(x)， 5x（x2） 12x 由 f(x)0 得 x2 或 x0. 当 x(，2)时，f(x)0，f(x)单调递增； 当 x时，f(x)0，f(x)单调递减，故 f(x)在 x2 处取极小值 f(2)0，在 x0 处取极大值 (0， 1 2) f(0)4. (2)f(x)， 因为当 x时，0(或 f(x)0，求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)f(x)2x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围 解：(1)f (x)x2axb， 由题意得即 f （0）1， f

45、（0）0，) c1， b0. ) (2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)， 当 x(，0)时，f(x)0； 当 x(0，a)时，f(x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a) (3)g(x)x2ax2， 依题意，存在 x(2，1)，使不等式 g(x)x2ax20 成立， 即 x(2，1)时， a(x2 x) max 2即可， 2 所以满足要求的 a 的取值范围是(，2) 2 考向 2利用导数研究函数的极值和最值 1判断函数极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0处连续时， (1)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)

46、0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值 “极值点”不是点，若函数 f(x)在 x1处取得极大值，则 x1即为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2处取 得极小值，则 x2为极小值点，极小值为 f(x2) 2求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)求导函数 f (x)； (2)求方程 f (x)0 的根； (3)检验 f (x)在方程 f(x)0 的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数 yf(x)在这 个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数 yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成 f(x0)0 是 x0为 f(x)

47、的极值点的必要而非充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值 点 3函数的最值 在闭区间a，b上的连续函数 yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上的连续函数 yf(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未 必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值 (2014安徽，18，12 分)设函数 f(x)1(1a)xx2x3，其中 a0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性； (2)当 x0，1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值 【思路导引】(

48、1)利用导数运算公式求出函数 f(x)的导数，求出导数为 0 时对应方程的根及由导数 值的符号判断函数的单调性；(2)利用函数的单调性及分类讨论思想求最值 【解析】(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2. 令 f(x)0，得 x1，x2，x1x2， 1 43a 3 1 43a 3 所以 f (x)3(xx1)(xx2) 当 xx2时，f(x)0；当 x1x0. 故 f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增 (2)因为 a0，所以 x10. 当 a4 时，x21. 由(1)知，f(x)在0，1上单调递增 所以 f(x)在 x0 和 x1 处分别取得最

49、小值和最大值 当 0a4 时，x21. 由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减 所以 f(x)在 xx2处取得最大值 1 43a 3 又 f(0)1，f(1)a，所以 当 0a1 时，f(x)在 x1 处取得最小值； 当 a1 时，f(x)在 x0 处和 x1 处同时取得最小值； 当 1a0)， 2 x f(1)1，f(1)1. yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20. (2)由 f (x)1 (x0)可知： a x xa x 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值 当 a0 时，由 f(x

50、)0 解得 xa. x(0，a)时，f(x)0， f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上所述，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极 大值 考向 3利用导数解决实际问题 利用导数解决实际应用问题的种类及方法 (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可； (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质； (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质 (2011山东，21，12 分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度

51、，长度单位：米)，其 中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且 l2r.假设 80 3 该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方 米建造费用为 c(c3)千元，设该容器的建造费用为 y 千元 (1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 【思路导引】构建 y 与 r 的关系确定 y 的极值y 的最值 回归实际问题得解 利用导数 【解析】(1)设容器的容积为 V， 由题意知 Vr2l r3， 又 V， 故 l r 4 3 80 3 V 4 3r 3 r2

52、 80 3r2 4 3 . 4 3( 20 r2 r) 由于 l2r，因此2r， 4 3( 20 r2 r) 整理得5r，故 0r2. 40 r2 所以建造费用 y2rl34r2c2r34r2c. 4 3( 20 r2 r) 因此 y4(c2)r2，0r2. 160 r (2)由(1)得 y8(c2)r160 r2 ，0r2. 8（c2） r2 (r 3 20 c2) 由于 c3，所以 c20， 当 r30 时，r. 20 c2 3 20 c2 令m，则 m0， 3 20 c2 所以 y(rm)(r2rmm2) 8（c2） r2 当 0m2，即 c 时， 9 2 当 rm 时，y0； 当 r(

53、0，m)时，y0； 当 r(m，2)时，y0. 所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点 当 m2，即 3c 时， 9 2 当 r(0，2)时，y0，函数单调递减， 所以 r2 是函数 y 的最小值点 综合所述，当 3c 时，建造费用最小时 r2； 9 2 当 c 时，建造费用最小时 r. 9 2 3 20 c2 【点拨】解答本题的关键是设出未知量，列出函数关系式，然后分类讨论，利用导数求最值，还 要注意函数定义域的范围 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关 系 yf(x)，根据实际意义确定定义

54、域； (2)求函数 yf(x)的导数 f(x)，解方程 f(x)0 得出定义域内的实根，确定极值点； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； (4)还原到原实际问题中作答 (2011福建，18，13 分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位： 千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y10(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价 a x3 格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最 大 解：(1

55、)x5 时，y11， 1011，a2， a 2 (2)由(1)知该商品每日的销售量 y10(x6)2， 2 x3 商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3) 2 x3 10（x6）2 210(x3)(x6)2，3x6. f(x)10(x6)22(x3)(x6) 30(x4)(x6)， 令 f(x)0，得 x4. 当 3x0，函数 f(x)在(3，4)上递增； 当 4x6 时，f(x)0 时，x2ex； (3)证明：对任意给定的正数 c，总存在 x0，使得当 x(x0，)时，恒有 x2cex. 【思路导引】第(1)问利用曲线上导数的几何意义求出 a 的值后，再求函数的极值；第(2)问先构

56、造 函数 g(x)exx2，再利用单调性证明即可 ； 第(3)问方法一使用分类讨论法进行证明，证明时要借助第(2) 问的结论，分 c1 和 0c1 两种情况证明，这里分类讨论分界点(c1)的确定依据也是由第(2)问的结论 得出 【解析】(1)由 f(x)exax，得 f (x)exa. 又 f (0)1a1，得 a2. 所以 f(x)ex2x，f(x)ex2. 令 f(x)0，得 xln 2. 当 xln 2 时，f(x)ln 2 时，f(x)0，f(x)单调递增 所以当 xln 2 时，f(x)取得极小值，且极小值为 f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值 (2)证明

57、：令 g(x)exx2，则 g(x)ex2x， 由(1)得 g(x)f(x)f(ln 2)0， 故 g(x)在 R 上单调递增又 g(0)10， 因此，当 x0 时，g(x)g(0)0，即 x20 时，x20 时，x2cex. 取 x00，当 x(x0，)时，恒有 x2cex. 若 0c1，要使不等式 x2kx2成立 1 c 而要使 exkx2成立，则只要 xln(kx2)，只要 x2ln xln k 成立 令 h(x)x2ln xln k，则 h(x)1 . 2 x x2 x 所以当 x2 时，h(x)0，h(x)在(2，)内单调递增 取 x016k16，所以 h(x)在(x0，)内单调递增

58、， 又 h(x0)16k2ln(16k)ln k 8(kln 2)3(kln k)5k， 易知 kln k，kln 2，5k0，所以 h(x0)0. 即存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 x2cex. 16 c 综上，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 x20 时，exx2， 所以 exe e ， x 2 x 2 ( x 2 ) 2 ( x 2 ) 2 当 xx0时，ex x2， ( x 2 ) 2 ( x 2 ) 2 4 c( x 2 ) 2 1 c 因此，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 x2cex. 方法三：首先证明当 x(0，)时

59、，恒有x30 时，x2ex， 从而 h(x)0，h(x)在(0，)内单调递减， 所以 h(x)h(0)10，即x3x0时，有x2 x3ex. 3 c 1 c 1 3 因此，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x0，)时，恒有 x21. 解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln x exex1 ex1. a x b x2 b x 由题意可得 f(1)2，f(1)e. 故 a1，b2. (2)证明：由(1)知，f(x)exln x ex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex . 2 x 2 e 设函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x. 所以当 x时，g(x)0. (0， 1 e) ( 1