第5章_插值法2.ppt

1、y-1,y0,2y-1,y1,2y0,2.5 贝塞尔插值公式,2.5 贝塞尔插值公式,2.5 贝塞尔插值公式,2.5 贝塞尔插值公式,注意观察通式变化的规律,2.5 贝塞尔插值公式,当t=1/2时，贝塞尔公式变为：,称为中点贝塞尔插值公式。可利用该公式来加密表格值。,斯梯林插值公式和贝塞尔插值公式都称为中心差分公式，它们都可用于x位于插值区间中部插值计算用.,2.5 贝塞尔插值公式,2.5 贝塞尔插值公式,例5.8 已知数值表，求sin0.57的近似值,0.09001,0.08521,0.07958,-0.00480,-0.00563,-0.00083,=0.7,x0= 0.5,0.4794

2、0.5646,t=0.7 y0=0.085,t(t-1) t=0.7,2y-1=-0.00480 2y0=-0.00563,3y-1=-0.00083,2.5 贝塞尔插值公式,斯梯林插值公式和贝塞尔插值公式的区别：,插值节点相对于x的对称分布-斯梯林插值,x靠近某插值节点的对称分布 插值公式截止到偶阶差分,插值节点相对于x的对称分布-贝塞尔插值,x靠近相邻两节点的中点时 插值公式截止到奇阶差分,3 不等距节点下的拉格朗日插值,3.1 公式的建立,思路:根据差商公式，求得的f(x)即可。,3 不等距节点下的拉格朗日插值,f(x) =,(x0 x1)(x0 x2)(x0 xn),(xx1)(xx2

3、) (xxn),f(x0),+,(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn),(xx0)(xxi-1)(xxi+1)(xxn),f(xi),+,(xnx0)(xnx1) (xnxn-1),(xx0)(xx1) (xxn-1),f(xn),+ Rn(x),= Ln(x) + Rn(x),拉格朗日插值公式,li(x),3.2 拉格朗日插值公式的系数表达式,li(x)=,3 不等距节点下的拉格朗日插值,li(x)=,li(x)=,xxi,xxi,=,(xix0)(xixi-1)(xixi+1)(xixn)(xxi),3 不等距节点下的拉格朗日插值,(xx0)(xx1)(xxn),(xx0

4、)(xxi-1)(xxi+1) (xxn).(xxi),=(xxi),(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn),+(xxi),(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn),=(xx0)(xxi-1)(xxi+1) (xxn),(xix0)(xixi-1)(xixi+1) (xixn),3 不等距节点下的拉格朗日插值,li(x)=,x=xjxi,0,x=xi,1,3 不等距节点下的拉格朗日插值,设 为n+1个互异节点， 为这组节点上的Lagrange插值基函数，试证明：,证明：如果f(x)=1,则n+1个节点处的值均为1，则它的n次插值多项式为： 对任意x，插值余项为：,3 不等

5、距节点下的拉格朗日插值,则,例5.4 已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2,(x0 x1)(x0 x2),(xx1)(xx2),f(x0),+,(x1x0)(x1x2),(xx0)(xx2),f(x1),+,(x2x0)(x2x1),(xx0)(xx1),f(x2),L2(7) =,x0=1, x1=4, x2=9,f(x0)=1, f(x1)=2, f(x2)=3,(14)(19),(74)(79),* 1,+,(41)(49),(71)(79),* 2,+,(91)(94),(71)(74),* 3,= 2.7,L2(x) =,解：,3 不等距节点下的拉格朗日插值,当

6、 时,3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差,带星号的表达式为精确值,高阶量可以略去,当 为精确值时，,当拉格朗日插值公式中有负系数出现时，会放大 的舍入误差。,3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差,例5.10 估计用线性插值法计算lg47时的误差限。 解：应用n=1的拉格朗日插值公式,取x0=45, x1=48,=1.671898401,(45,48),3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差,=(0.3333333+1.6532126)0.510-7,+(0.6666667+1.6812413) 0.510-7,0.210-6,总误差为：=0.210-3+ 0.210-6= 0.210-3 对于

7、y=1.671898401可取y=1.672,3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差,截断误差,舍入误差,例5.11 有8位sinx的函数表，采用拉格朗日插值公式求1.75时的函数近似值，问公式应取几项? 解：采用尝试法确定公式项数,（1）取x0=1.74, x1=1.76,3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差,（2）取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78,3.3 拉格朗日插值计算中的舍入误差,（3）取x0=1.72, x1=1.74 x2=1.76, x3=1.78,=0.375*10-8,=0.62510-8,取四项比较恰当.此时符合误差分配原则。,3.3 拉格朗日插值计算中的

8、舍入误差,4 等距节点下的拉格朗日插值公式,等距节点下的拉格朗日插值公式,xi=x0+ih,t =,x-x0,h,xi-ih =x0,t =,x- (xi-ih),h,x-x0 + x0 - xi,=th-ih,x-xi,=h(t-i),th,(t-1)h,(t-n)h,ih,(i-1)h,2h,1h,(-1)h,(-(n-i)h,f(xi),4 等距节点下的拉格朗日插值公式,高次插值多项式的缺陷 插值多项式次数越高，利用被插函数节点信息越多，理应误差越小。但截断误差公式可见，截断误差 有关，其绝对值不一定随次数 增加而减小。龙格（Runge）就给出了一个例子： 设被插值函数,4 分段插值法,

9、当n增大时，部分区间上插值多项式截断误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象。,4 分段插值法,-1,1,x,0.5,1.0,1.5,y,0,龙格现象,为避免龙格现象和不稳定，通常限定n7时，则不采用高次插值多项式。,4 等距节点下的分段线性插值,1.等距零次多项式插值,y=,y0 (x0 xx1),y1 (x1xx2),.,yn (xn-1xxn),4 分段插值,2.分段线性插值,当n=1时，,x-x0,4 分段插值,2.分段线性插值,当 时，,x-x0,4 分段插值,2.分段线性插值,x-x0,= t + i,取整运算,取小数运算,4 分段插值,3.等距三点插值,L2(x) =,(xk-1x

10、k)(xk-1xk+1),(xxk)(xxk+1),yk-1 +,(xkxk-1)(xkxk+1),(xxk-1)(xxk+1),yk,+,(xk+1xk-1)(xk+1xk),(xxk-1)(xxk),yk+1,=,-h(-2h),th (t-1)h,yk-1 +,h(-h),(t+1)h (t-1)h,yk +,2h h,(t+1)h th,yk+1,=,2,t(t-1),yk-1 +,-1,(t2-1),yk +,2,(t+1) t,yk+1,4 分段插值,xn-2,或者利用x0, x1, x2的三点插值公式计算出y-1，然后使用x-1 , x0, x1来计算x；,6.7 样条函数插值,

11、要求：插值曲线即要简单，又要在曲线的连接处比较光滑。,这样的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值。,（2）s (x)，s (x)，s (x)在 a, b上连续；则称s (x)为3次样条函数。,定义：设对y = f (x)在区间a, b上给定一组节点,a = x0 x1 x2 xn = b和相应的函数值y0, y1, yn，,如果s(x)具有如下性质：,（1）在每个子区间xi-1, xi (i = 1, 2, n)上s (x)是不高于3次

12、的多项式；,（3）如再有(i = 0, 1, 2, n)，则称s (x)为y = f (x)的三次样条插值函数。,f(x),H(x),S(x),注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,三次样条插值的存在唯一性和计算方法,设f (x)是定义在 a, b区间上的一个二次连续可微函数，,为分划：,S (x)在 xi-1, xi 上的表达式为：,在每一个小区间xi-1, xi i = 1, n 上都是3次多项式，,（6.7）,其中 ，将（6. 7）两次积分得：,Ai

13、 和Bi 为积分常数。,因为,所以它满足方程：,（6.8）,求 Mi，确定S (x)的表达式。微分（6.8）式,于是,各项除以hi + hi+1，并记,则（6.9）可以写为,（6.9）,端点条件,最后一个方程。若取 M0 = Mn=0，称为三次自然样条。,有,（2）给定两端点导数值,分别补充为方程组（6. 9）的第一个和最后一个方程组。,解方程组,经补充后的方程组（6. 9）为,其中，对端点条件（1），有,（6.9）,对端点条件（2），有,（6. 10 ）是一个三对角方程组，可用追赶法解之。,此方程组系数严格对角占优 ！从而存在唯一解。,求出了Mi (i = 0, 1, n)，也就求得了S (

14、x)在各个 小区间的表达式Si (x)（i = 0, 1, 2, n）,若取等距节点 hi = h, i = 1, n 1,解 由 得 。从 而由 求,例3-8 已知函数 的数值如下：,-3 -1 0 3 4,7 11 26 56 29,求它的自然三次样条插值函数 。,由 得 。注意三 次自然样条函数 ，故三弯矩方程组变为,解得 。代入 表达示得,解毕,算 法：,（1） i = 1, 2, , n,hi = xi xi-1,（2） i = 1, 2, n,（3）解n 1阶三对角方程组，得,M1 , M2 , Mn-1,代入端点条件计算M0 , Mn,（4）,若取 ，计算,上机实习题,设函数,试

15、用三次样条函数作插值，并与L10(x)或N10(x)作比较。,取等距节点 xi = x0 + ih i = 0, 1, 20,端点条件,输出格式：,5 插值公式的唯一性及其应用,5.1 插值公式的唯一性,条件：,插值节点相同,反证法：,假设有两个不同的插值多项式Pn(x),Q n(x)，则 Gn(x)=Pn(x)-Q n(x)为次数不超过n的多项式，根据插值条件可知，Gn(x)有n+1个零点。与其为不超过n次的多项式相矛盾。所以插值公式唯一。,牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一个节点时，只需在原来的结果上增加一项。,5.2 插值公式的应用,不等距节点的情况：,5 插值公式的唯一性及

16、其应用,牛顿基本差商公式在精度不够的情况下，需再增加一个节点时，只需在原来的结果上增加一项。 采用拉格朗日插值公式时，则都要重新计算。 在估算结果的舍入误差时，使用拉格朗日插值公式比较容易。,5.2 插值公式的应用,不等距节点的情况：,等距节点的情况：,靠近表头：牛顿前向插值 靠近表末：牛顿后向插值 插值区间的中部：斯梯林插值或者贝塞尔插值。,6 反插值,正插值：已知x求y 反插值：已知y求x 1.使用反函数的插值法,6.1 使用反函数的插值法,应用条件：y=f(x)是单调函数,y=C,牛顿基本差商公式,6.1 使用反函数的插值法,例5.15 给出sinx的函数表，对y=0.98000000利

17、用y=sinx的反函数进行反插值.,=1.77113820,6.1 使用反函数的插值法,例5.16 已知f(x)=x3-3x2-x+9的函数值，求方程f(x)=0在区间-1.7,-1.3上的根的近似值。 解：建立反函数的差商表,0.0795545,0.0752445,0.0712758,0.0676133,0.0030763,0.0028044,0.0025630,0.0001753,0.0001575,0.0000104,P(y)=-1.3+(y-3.033)0.0795545+(y-3.033)(y-1.776) 0.0030763+ (y-3.033)(y-1.776)(y-2.883)

18、0.0001753+,x=P(0)=-1.525097,6.2 利用插值多项式反插法,y=,= (x),m1,m2,mn,6.2 利用插值多项式反插法,x(0)=m1 x(1)=m1+m2(x(0) - x0) (x(0) - x1)= (x(0) x(2)=m1+m2(x(1) -x0)(x(1) -x1)+m3(x(1) - x0)(x(1) - x1)(x(1) - x1) . x(n-1)=(x(n-2) x(n)= (x(n-1) ,6.2 利用插值多项式反插法,6.2 利用插值多项式反插法,6.2 利用插值多项式反插法,等距情况下，可以选择牛顿前向插值公式,6.2 利用插值多项式反

19、插法,讨论余式的大小,Rn(x),f(x*)=y,Pn(x)=y,f(x)= Pn(x)+ Rn(x),f(x)- f(x*) = Rn(x),f () (x-x*) = Rn(x),6.2 利用插值多项式反插法,例5.17 求方程x5-5x+3=0在0,1上的根。,-0.45349,-0.40969,-0.34039,-0.04380,-0.06930,-0.02550,-0.23719,-0.10320,-0.03390,取x0=0.6, y=0,-0.0084,6.2 利用插值多项式反插法,t=0.18980+0.08458t(t-1)+0.01379t(t-1)(t-2) t0=0.1

20、8980 t1=0.18980+0.08458* 0.18980 (0.18980 -1) =0.17679 t2=0.18980+0.08458* 0.17679(0.17679 -1) +0.01379* 0.17679 (0.17679 -1)(0.17679 -2) =0.18115 t3=0.18980+0.08458* 0.18115(0.18115 -1) +0.01379* 0.18115 (0.18115 -1)(0.18115 -2) =0.18097 t4= 0.18098 t5= 0.18098 xx0+th=0.6+0.18098*0.1=0.618098,结束,7 拉格朗日型埃米特插值,不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。 即：要求插值函数 H (x) 满足H (xi) = f (xi), H (xi) = f (xi).,则两组函数hi(x)， 应满足： (1) hi(x)， 二者都是至多2(n+1)-1次多项式；,构造类似于拉格朗日插值公式：,7 埃米特插值 /* Hermite