数学建模基础 12.4估计水塔的水流量.ppt

1、估计水塔的水流量,一、问题 美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最底水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至到某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系，水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时，试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。

2、,实例（AMCM-91A题） 估计水塔的水流量,时间 水位 时间 水位 时间 水位 （秒） （0.01英尺） （秒） （0.01英尺） （秒） （0.01英尺） 0 3137 35932 水泵工作 68535 2842 3316 3110 39332 水泵工作 71854 2767 6635 3054 39435 3550 75021 2697 10619 2994 43318 3445 79154 水泵工作 13937 2947 46636 3350 82649 水泵工作 17921 2892 49953 3260 85968 3475 21240 2850 53936 3167 89953

3、 3397 25223 2797 57254 3087 93270 3340 28543 2752 60574 3012 32284 2697 64554 2927,表1、某小镇某天的水塔水位,表1给出了某个真实小镇的真实数据,水塔是一个圆形柱体，高40英尺，直径57英尺，通常水塔的水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水，而当通常水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水塔充水。,二、基本假设,1、影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求。 2、水塔中水的水位不影响水流量的大小。 （因为物理学的定律指 出：水塔的最大水流量与水位高度的平方根成正比，由表中数据有 说明最高水位和最底水

4、位的两个流量几乎相等） 3、水泵工作的起止时间由水塔的水位决定，水泵工作性能效率总是一定的，没有工作时需维修、使用次数多影响使用效率问题，水泵充水量远大于水塔水流量。,一、问题的重述（略）,对离散数据的处理，可以用数据逼近的方法来解决，本问题要想到用数值逼近来建模，数值逼近的方法有很多，如Lagrange插值、分段插值、样条插值、曲线拟合等. 本问题分三步： 1、先决定所给数据点处的水流量。（数据转换即可） 2、找一个水从水塔流出的水流量光滑逼近函数 3、处理水泵工作时的充水水流量及一天该镇的总用水量 下面介绍样条插值理论,4、表中的时间数据准确在一秒以内。 5、水塔水流量与水泵状态独立，不因

5、水泵工作而增加或减少水流量的大小。 6、水塔水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近。,样条插值,分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑,即导数不连续,对于一些实际问题,不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数连续。为了满足这些要求,人们引入了样条插值的概念。 所谓“样条”(SPLINE)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光

6、滑性的不同要求。,1、样条函数的定义 设f(x)是区间a,b上的一个连续可微函数,在区间a,b上给定一组基点: a=x0x1x2xn=b 设函数s(x)满足条件 (1) s(x)在每个子区间xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是次数不超过m的多项式; (2) s(x)在区间a , b上有m-1阶连续导数; 则称s(x)是定义在a ,b上的m次样条函数。x0，x1，x2, 称为样条结点,其中x1,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数。,设y = f(x)在点 x0，x1，x2, xn的值为y0，y1，y2, yn，若函数S(x)满足

7、下列条件 S(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,n (1.1) 则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数, 简称 三次样条。,2、三次样条插值函数,构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用的方法：三弯矩插值法 记Mi = S(xi), f(xi)= fi= yi ,考虑它在任一区间xi,xi+1上的形式.根据三次样条的定义可知 ,S(x)的二阶导数S(x)在每一个子区间xi,xi+1 ( i=0,1,2,n-1)上都是线性函数. 于是在xi,xi+1 上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成 (1.2) 其中 hi= xi+1xi . 对S(x)连续积分两次,并利用插

8、值条件S(xi)= yi ,得到,三次样条函数的构造,x x i , x i+1 S”(x) M i , M i+1,因此，只要能求出所有的M i，就能求出样条插值函数S(x). 下面考虑Mi的求法,则由连续性 S(xi-)= S(xi+) ,(i=1,2,n-1) 得 iMi-1+2Mi+iMi+1= di 其中,上面的方程组有n-1个方程，但有n+1个变量Mi，故需两个方程才能求唯一解，为此引入下列边界条件,下面介绍几种常用的边界条件 第一型边界条件：（可以用数值微分获得端点导数值） 已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b) ，要求 S(a) = f(a) , S(b) = f(b)

9、第二型边界条件： 已知f(x)在两端点的二阶导数f(a)和f(b) ，要求 S(a)=M0 = f(a) , S(b)=Mn= f(b) 特别当 S(a)= S(b) =0时，S(x)称为自然三次样条 第三型边界条件： 已知f(x)是以b -a为周期的周期函数 ，要求S(x)满 足周期条件 S (a) = S(b) , S(a+)= S(b-) , S(a+)= S(b-),三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（i，）可以证明第i型插值问题的解是存在且唯一的。他们对应如下的三对角方程组： 2 0 M0 d0 1 2 1 M1 d1 . . . . . . . . . = . (

10、*) . . . . . n-1 2 n-1 Mn-1 dn-1 n 2 Mn dn,对于第一型插值问题，取 0=1，n=1, 对于第二型插值问题，取0=0，n=0 对于第三型插值问题，利用周期性，可导出 其中,以上各组条件与方程组(*)联立，可以解出未知参数M0，M1 ,Mn，然后代入S(x) 表达式，即可求得样条函数 。 上面构造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩，每一个方程中又至多出现相邻的三个Mi，通常称为三弯矩法。 总结以上论述，可得求三次样条的步骤为： （1）确定边界条件，判定是第几型插值问题； （2）根据所确定的条件计算各值，形成方程组(*)； （3）解三对角方程组(*

11、)，求得M0， M1 ， M2, Mn ； （4）将求得的Mi值代回S(x)的表达式中， 从而可求得函数y=f(x)在任一点的近似值S(x)。,估计水塔的水流量,三、符号约定及说明 h：水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺 V ：水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑 t：时间，单位为小时 f ：水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑小时 p：水泵工作时充水的水流量，是时间的函数，单位为加仑小时,四、问题分析与建模,采用三次样条插值来做曲线逼近，为形象化，将表中数据描点画图,时间,水位,1、补充充水的开始和截止数据,由假设知水塔的水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水， 水塔的水位升至约

12、35.5英尺时水泵停止向水塔充水， 水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时,由表1 ，有第一次充水期的一些数据为 32284（秒） 26.97 27 （英尺） 35932 水泵工作 39332 水泵工作 39435 （秒） 35.5（英尺） 由 39435-32284=7048 1.958（小时）满足每次约两小时的条件 可推断在32284（秒） 为充水的开始时间, 在39435（秒） 为充水的截止时间.,75021（秒） 26.97 27 （英尺）推断在75021(秒) 为充水的开始时间 79154 水泵工作 82649 水泵工作（补充数据35.5英尺） 85968 （秒） 34.75（英

13、尺）（与35.5英尺相差太多） 但 85968-75021=3.041（小时） 而 82649-75021=7628 2.11889（小时）满足每次约两小时的条件 推断在82649（秒） 为充水的截止时间, 获得一个额外数据.,第二次充水期的一些数据为,时间 水体积 时间 水体积 时间 水体积 （小时） （加仑） （小时） （加仑） （小时） （加仑） 0 606125 9.9811 水泵工作 19.0375 542554 0.9211 593716 10.9256 水泵工作 19.9594 528236 1.8431 583026 10.9542 677715 20.8392 514872

14、2.9497 571571 12.0328 657670 22.0150 水泵工作 3.8714 562599 12.9544 639534 22.9581 677715 4.9781 552099 13.8758 622352 23.8800 663397 5.9000 544081 14.9822 604598 24.9869 648506 7.0064 533963 15.9039 589325 25.9083 637625 7.9286 525372 16.8261 575008 8.9678 514872 17.9317 558781,2、数据转换,表2,(V=r2 h ),用数学软

15、件绘图如下,3、由数据（ti,Vi)产生水流量f(t)的方法有： 1.由对水体积的微商数据点直接获得水流量f(t)的近似函数值 2.先获得水体积V(t)的近似函数，再对其求导 我们利用第一种方法，为获得水体积的微商数据点，选用数值微分公式,用程序计算出流量函数点集f(tk), (给出计算的数据表和散点图)。（略） 用样条插值或数据拟合的数学软件，可以得到水流量f(t)的近似函数，这里也记为f(t),这里，样条函数所需的边界条件可以由数值微分公式得出。于是我们得到了水流量的估计函数模型。 注：使用样条插值时，得出的水流量f(t)不必给出具体的函数关系式，画出它的图形即可。使用拟合时，得出的水流量

16、f(t)有具体的函数关系式，此时要选好拟合函数类本题可选为8次多项式。,4、水泵充水期间的水流量处理,水泵充水期间的水流量用平均水流量代替： 第一次充水期间充满水的水量,同理可以得出第二次充水期间的平均水流量 p2=91910 加仑/小时 于是有充水期间的平均水流量： p=(p1 + p2)/2=94743 加仑/小时,五、一天的总用水量,为确定模型的准确性，做如下检验：,检验2：利用给定的数据检验（对非充水期间的用水量用已知数据尽量算出，其余部分用数值积分计算）,取0，24区间，有： 第一次充水前用水量为： v1=606125-514872=91253(加仑） 第一次充水后，第二次充水前用水

17、量为： v2=677715-514872=162843(加仑）,得一天总用水量为： v1+v2+v3+30981+31905+1829=333129（加仑） 与,相比，只相差0.02%。,检验说明拟合函数f(t)相当精确.,六、 误差分析,估计所得模型算出一天总用水量的误差. 水位观测值的误差在0.5%以内,由圆柱体积公式可以知道,对应水体积的误差也在0.5%以内,由转换水体积的数值,有水体积误差约在25743389加仑之间,这与一天的用水量相比是微不足道的.为分析一天总用水量的误差,由于直接从构造公式中计算误差不方便,下面采用直接由所得水体积数表来分析误差. 记Vp1,Vp2为两次充水期间的

18、用水量, Vt 表示t时刻的水体积,则一天用水总量可以如下计算: V=V0 - V8.9678+ Vp1+ V10.9542 - V20.8392+ Vp2 + V22.9581 - V23.88+ V23.88 , 24 (*),(*)式中V0 、 V8.9678、 V10.9542 、V20.8392 、 V22.9581 、 V23.88 的误差为0.5%,我们只需估计Vp1、 Vp2 、 V23.88 , 24的误差。 由于直接用样条函数来估计Vp1、 Vp2 、 V23.88 , 24的误差不方便，我们利用样条函数的误差总是相近的特点，采用从实际中分析误差的界限。做法为：随机取出测量水位的时间区间用水量的误差，以其平均值作为Vp1、 V