高三数学一轮复习第七章不等式第四节基本不等式及其应用课件理.ppt

1、理数 课标版,第四节基本不等式及其应用,1.基本不等式 (1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立. (3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b 的几何平均数.,教材研读,2.几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (2)ab(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (3)(a,bR),当且仅当a=b时取等号. (4)+2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.,3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是2.(简记:积定和最小) (

2、2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是.(简记:和定积最大),判断下面结论是否正确.(请在括号中打“”或“”) (1)两个不等式a2+b22ab与成立的条件是相同的.() (2)(a+b)24ab(a,bR).() (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.() (4)函数y=x+的最小值是2.() (5)x0且y0是+2的充分不必要条件.(),1.若a、bR,且ab0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a2+b22abB.a+b2 C.+D.+2 答案D对A:当a=b=1时,满足ab0,但a2+b2=2ab,所以A错;对B、C:当a=b=-1时,满足ab0,但

3、a+b0,0,显然B、C不对; 对D:当ab0时,+2=2当且仅当=时等号成立,故选D.,2.已知f(x)=x+-2(x0),则f(x)有() A.最大值0B.最小值0C.最大值-4D.最小值-4,答案Cx0,f(x)=-2-2-2=-4,当且仅当-x=,即x= -1时取等号. f(x)有最大值-4.,3.若x0,y0且x+y=,则xy的最大值为() A.B.2C.D. 答案Dx0,y0, =x+y2,即, xy. (xy)max=.,4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为. 答案2 解析x2+2y22=2xy=2, 当且仅当x=y时取“=”, x2+2y2的最小值为2.,5.

4、若利用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是. 答案25 m2 解析设矩形场地的一边长为x m(0x10),则其邻边长为(10-x)m,面积S=x(10-x)=25,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,所以当矩 形场地的长与宽相等,即都为5 m时面积取到最大值,最大面积为25 m2.,考点一利用基本不等式求最值 典例1(1)已知a0,b0,且4a+b=1,求ab的最大值; (2)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值; (3)已知正数x,y满足x+2y=1,求+的最小值. 解析(1)解法一:a0,b0,4a+b=1,1=4a+b2=4, 当且仅当4a

5、=b=,即a=,b=时,等号成立. ,ab.所以ab的最大值为. 解法二:4a+b=1, ab=4ab=,考点突破,当且仅当4a=b=,即a=,b=(满足a0,b0)时,等号成立,所以ab的最大 值为. (2)由x+3y=5xy(x0,y0), 得+=5, 则3x+4y=(3x+4y) = =(13+12)=5.,当且仅当=,即x=2y时,“=”成立, 此时由解得(满足x0,y0). 故3x+4y的最小值为5. (3)因为正数x,y满足x+2y=1, 所以+=(x+2y)=2+2 =4+4+2=8, 当且仅当=,即x=2y时取等号.,所以+的最小值为8.,方法技巧 (1) 利用基本不等式解决条

6、件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值,主要有两种思路:对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求解.对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.,1-1(2017四川乐山一中月考)设0x,则函数y=4x(3-2x)的最大值为 . 答案,解析y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2=,当且仅当2x=3-2x,即 x=时,等号成立. ,函数y=4x(3-2x)的最大值为.,1-2已知x,则函数y=4x

7、-2+的最大值为. 答案1,解析x0, y=4x-2+=-+3-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立, 故ymax=1.,1-3设0x1,a,b为正常数,则+的最小值为. 答案(a+b)2 解析+=x+(1-x)=a2+b2+a2+b2+ 2=(a+b)2,当且仅当x=时取等号,+的最小值为(a+b)2.,考点二基本不等式的实际应用 典例2(1)(2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是() A.80元B.120元C.160元D.240元 (2)某公司租

8、地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.,答案(1)C(2)5 解析(1)设底面相邻两边的边长分别为x m,y m,总造价为T元,则xy1=4 xy=4. T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y)80+202=80+204=160(当且 仅当x=y时取等号). 故该容器的最低总造价是160元. (2)由已知可得y1=,y2=0.8x,其中x(单位:千米)为仓库与车站

9、之间的距 离,则费用之和y=y1+y2=+0.8x2=8,当且仅当0.8x=,即x=5 时,取等号.,易错警示 对于实际问题,在审题和建模时一定不可忽略对变量范围的准确挖掘,一般地,每个表示实际意义的代数式必须取正值,由此可得变量的范围,然后利用基本不等式求最值.,2-1某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形的休闲区A1B1C1D1和人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比=x(x1),求公园ABCD所占面积S关于 x的函数S(x)的解析式; (2)

10、要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?,解析(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米, 由a2x=4 000,得a=. 则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)+160=80 +4 160(x1).,(2)80+4 160802+4 160=1 600+4 160= 5 760,当且仅当2=,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别设计为 100米,40米.,考点三含参问题 典例3(1)已知不等式(x+y)9对任意的正实数x,y恒成立

11、,则正 实数a的最小值为() A.2B.4C.6D.8 (2)已知正数a,b满足+=1,若不等式a+b-x2+4x+18-m对任意实数x恒 成立,则实数m的取值范围是() A.3,+)B.(-,3 C.(-,6D.6,+),当y=x时取等号,所以(x+y)的最小值为(+1)2,于是(+1)2 9恒成立.所以a4,故选B. (2)因为a0,b0,+=1, 所以a+b=(a+b)=10+10+2=16(当且仅当a=4,b=12时取 等号), 由题意,得16-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,又因为x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最

12、小值为-6,所以-6-m,即m6.,答案(1)B(2)D 解析(1)(x+y)=1+a+1+a+2=(+1)2(x,y,a0),当且仅,易错警示 1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正各项都是正数;二定和或积为定值;三相等等号能取得”,这三个条件缺一不可.,2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.,3-1(2016福建四地六校联考)已知函数f(x)=x+2的值域为(-,0 4,+),则a的值是() A.B.C.1D.2 答案C由题意可得a0,当x0时, f(x)=x+22+2,当且仅当x =时取等号;当x0时, f(x)=x+2-2+2,当且仅当x=-