小波分析和Bootstrap(会议稿1)

1、第10组实验经济学及其他分支学科小波分析和bootstrap抽样相结合的var估计戈婷，周璇，唐伟伟，邹诗锋，杨寿渊（江西财经大学，信息管理学院，江西省，南昌市，330013）e_mail:; ;; 904322728; 摘要：本文提出了一种将小波分析与bootstrap抽样相结合的var估计方法wb方法，充分利用了小波分解的多尺度特性和bootstrap的小样本优势，对收益率序列不同尺度的细节成分的波动率作出精确的估计，然后加权整合得到整个收益率序列的波动率

2、的综合估计，并据此估计var。我们将wb方法与几种常见的var估计方法作了比较，实验结果表明wb方法明显优于其它几种方法。关键词：var；小波变换；bootstrap；历史模拟法中图分类号：f 830.9 文献标识码： a引言风险值（var）是目前国际通用的一种风险度量标准，根据jorion(1996)的定义1，var指的是在一定概率水平(置信度)下，某一金融资产在未来特定的一段时间内的最大可能损失。用公式表示如下: (1)其中为资产组合在持有期内的损失，var值为置信水平下的风险值， 其含义是资产组合在持有期内损失大于var的概率等于。传统的var估计方法如历史模拟法假定股票收益率不具有序列

3、依赖性，然而许多研究表明股票收益率并不是独立同分布的，而是具有序列依赖性，因此历史模拟法并不能够很好地估计var。后来研究者又提出arch2、garch3-4等模型来估计股票的风险值，得到了较好的估计结果，但是这些模型都假定股票收益率服从正态分布，而实证研究表明股票收益率分布往往具有不对称及尖峰厚尾的特性，因此这些估计方法也具有一定的局限性。本文提出一种与股票收益率特性较为吻合的基于小波变换与bootstrap抽样的风险值估计方法。利用小波变换可以较好地模拟收益率序列在不同时间尺度上的分布特性，而bootstrap抽样则可以解决小样本情况下的参数估计问题，因此两种方法相结合可以得到更精确的估计

4、结果。我们利用daubechies小波（db4）对上证综指数分别作3层和4级小波分解5，然后利用bootstrap抽样方法对各层小波系数的方差进行了估计，然后对各层小波系数的标准差作加权和以得到综合标准差，然后利用这一综合标准差来估计var。实验结果表明我们提出来的估计方法能够得到更精确的估计结果。1 方法介绍1.1 小波变换小波变换是一种时频分析工具，在信号处理、时间序列分析、非参数统计等领域有着广泛的应用5,6。的特点是具有很好的时频局部性，能够将信号分解成具有不同时间尺度的成分，从而便于分析各个时间尺度成分的特性。设是一个具有某些良好性质（如紧支性、消失矩、光滑性等）的函数，我们通常称之

5、为母小波（mother wavelet），小波基是由母小波经由平移和伸缩变换而得到的函数系，即 (2)其中指标代表不同的时间尺度，指标反映小波函数的中心位置。所谓小波分解就是将一个信号分解为具有不同时间尺度和中心位置的小波函数的线性叠加，即 (3)其中称为小波系数。如果是正交小波基，则小波系数可以按如下公式计算： (4)这就是离散小波变换。但在实际计算时，由于小波函数一般不具有显式表达式，因此我们并不是直接利用上述公式，而是利用尺度函数和小波函数所满足的二尺度关系 (5) (6)其中，为已知，分别对应于高通和低通滤波器系数。实际计算时，我们 先通过预处理将输入信号表示为 (7)其中，当取得足够

6、大时，（1.1.6）的误差可以足够小。小波分解的目的就是将输入信号分解为具有不同时间尺度的成分，即 (8)其中表示第层的小波系数，表示第层的尺度系数。由（5）和(6)可得到下列计算小波系数的公式： (9)利用公式（7）可以将输入信号分解为具有不同时间尺度的成分。在实际计算时，输入信号是离散的，而且长度是有限的，在作小波分解时作为输入的尺度系数可近似地用信号的采样值代替，设原信号由个采样值构成（即长度为），经过一级小波分解后得到和，分别对应原信号的细节和近似成分，近似信号是原始信号变化不大且表现相对平稳的部分，而细节信号是原始信号剧烈上下变动的部分。如果需要对做两级小波分解，则只需对近似成分再做

7、一次（一级）小波分解，得到和，如此下去，如果将原信号作级小波分解，那么最终得到个不同尺度的细节成分和一个近似成分。由于每次分解得到的细节信号和近似信号的长度都近似等于原始信号长度的一半，因此对于长度为()的一个原始信号，最大分解级数为。1.2 小波分析方法的var估计采用小波分析的方法估计var，主要依据是小波变换的能量守恒的特性7。股票收益率序列是一种特殊的信号，由于收益率的均值近似为零，收益率序列变动剧烈程度可以用信号的能量来反映，而信号经过小波变换可以得到近似系数和细节系数，因此收益率信号的能量可以由近似系数和细节系数的能量来度量。设离散信号经级小波分解后得到细节成分和一个近似成分，则：

8、 (10)其中表示欧氏范数，表示细节成分的能量。由于每一层细节系数的均值为零，所以。对于特定的第层细节系数的能量占收益率序列总能量的比例即相对能量为， (11)将所有层的相对能量相加，可得到总的相对能量，即收益率序列中剧烈波动部分含有的能量总和：， (12)其中代表各层相对能量的权重，在此设为1。小波变换能够计算出收益率序列剧烈波动的比例(相对能量)，为了找出原始收益率序列中偏离趋势的剧烈波动部分，我们可以利用相对能量乘以原始收益率序列的标准差，即可得到调整后的标准差，而这就是原始收益率序列中偏离趋势的剧烈波动部分，用标准差可表示为 (13)利用调整后的标准差，代入正态分布条件下的var的计算

9、公式，得 (14)其中为股票的初始值，为指定置信水平下标准正态分布的分位数，为股票的持有期间。1.3 bootstrap方法估计的分位数基本步骤设分布未知，是来自总体的的独立同分布样本，为总体分布的密度函数，为其分位数，为样本分位数， 那么当时：，其中表示依分布收敛。由于未知，不能直接计算的方差。当在大样本条件下，满足渐近正态分布，可以用非参数方法中的核密度估计方法得到，当样本数据量较少时，得到的结果不会很准确。本文采用一种非参数估计方法bootstrap抽样估计方法来解决小样本问题8-10。bootstrap方法估计的分位数的基本步骤为：1) 由总体的一次观测样本构造经验分布函数； 2) 从

10、中抽样，就是从原始样本中每次随机地有放回地抽取一个个体，如此得到一个容量为的样本，我们称之为一个bootstrap子样，并有； 3) 重复步骤（2），抽取个bootstrap子样，记第个子样的的分位数为，； 4) 计算统计量：；假定相应的经验分布函数为，当和趋于无穷大时， 和的分布非常接近，因此可以用作为的一个估计，由简单的分布理论，可以得到近似服从，由此可见得到分位点的点估计和区间估计。如果的频数分布偏离正态分布非常严重，可以用的中位数作为分位点的点估计，用上下2.5%分位数作为其95%区间估计。1.4 小波分析和bootstrap相结合的var估计 (wb法)由于bootstrap抽样方法

11、适合于小样本条件下的分位数估计，而小波变换可以将收益率信号分解为具有不同时间尺度的成分，我们将bootstrap抽样方法与小波分析方法结合，得到了一种新的估计股票var的方法。我们先对收益率序列选用某种小波函作离散小波分解，设分解级数为，则得到个高频成分和1个低频成分，然后分别对这个成分的系数做bootstrap抽样，估计出我们感兴趣的统计量。为了便于后面的叙述，我们称这种方法为wavelet-bootstrap法，简称wb法。wb法估计var的基本步骤如下：1) 将收益率时间序列做级小波分解，将各层的细节系数记为细节成分，它们的长度分别为，最后一层近似系数记为，长度为；2) 从，分别抽取个b

12、ootstrap子样，计算每个子样的方差，设的第个子样的方差为，的第个子样的方差为；3) 计算第层的细节系数的相对能量，表示为下式： (15) 将所有层的细节系数的相对能量相加，可得到总的相对能量，即 (16)其中代表各层相对能量的权重，它与股票的种类、置信水平和计算var选用的移动窗口大小有关，本文简单地选取，总的相对能量可以用来度量收益率序列的波动的剧烈程度；4) 在根据公式(13)和(14)就可以得到var。wb方法的好处在于既考虑到了收益率序列的时间尺度结构又充分利用了bootstrap方法的小样本优势，能够对收益率序列在不同时间尺度上的波动性作出更精确的估计，从而能够对var给出更精

13、确的估计结果，下一节的实证分析确认了这一点。2 实证分析本文以上证综指数数据作为研究对象，选取2008年5月12日至2009年5月19日时段的上证综指（股票代码：000001）的日收盘数据作为分析对象，我们先计算对数收益率，计算公式如下 (17)其中表示第个交易日的收盘价，表示第个交易日的对数收益率。计算后共得到250个收益率样本数据，其基本统计量如下表2-1所示，偏度值0，峰度值3，jb统计量较大p值较小说明收益率序列存在右偏尖峰的特性。表2- 1 原始收益率序列各统计量均值标准差偏度峰度统计量值0.00121530.0256710.106913.9239.35020.016844在估计在险

14、价值var时，本文采用移动窗口的方式，其过程为选择第t时期至第t+t时期的对数收益率资料，以此估计第t+t+1时期的var值，再与第t+t+1期的实际收益率比较，然后将窗口往前移动，选择第t+1时期至t+t+1时期的对数收益率资料来估计第t+t+2期的var，再与t+t+2期的实际收益率比较，重复此步骤，直至样本资料用完为止。本文采用移动窗口大小t=150。为了对照，我们同时使用历史模拟法，bootstrap抽样法、小波分析法以及本文提出的wb法估计了上证综指同一时间段内的收益率的var。在使用bootstrap方法估计var时，我们根据上述250个数据按照移动窗口的方式估计后面100天的va

15、r，此时t=150。在每估计一个var的过程中，根据150个数据资料计算经验分布，然后从经验分布中抽取容量为150的简单bootstrap样本，重复1000次，再计算每个子样的分位数，再求出这些分位数的均值，从而得到var的估计值。在使用小波方法估计var时，与bootstrap方法估计var类似，取移动窗口大小t=150，每次估计时将150个收益率序列作为原始信号，采用db4小波对其作4级小波分解，再根据1.2节给出的计算var方法来估计var。在使用wb法估计var时，取移动窗口大小t=150，采用db4小波分别对其作3级和4级小波分解，然后按照1.4节所给的详细步骤，依次求出后面100天

16、的var。本文采用失败率检验法来检验各种方法在不同置信水平下的var估计的有效性。设为检验样本的总天数，失败的总天数记为，则失败率为。如果我们估计的var是准确的，则当样本数足够大时失败率应与在估计var时选用的显著性水平很接近，例如我们在估计var时所使用的显著性水平为，计算得到的var值为，如果这一结果是准确的，根据式(1)有 (18)因此当样本数足够大时，失败率应很接近0.05。表2-2给出了各种方法在不同置信水平下预测的var值的失败率，从表中不难看出本文提出的wb方法得到的失败率与显著性水平最接近，因此相对而言wb方法估计的var最可靠。表2- 2 四种方法的估计结果 显著水平 失败

17、率 方法历史模拟法000.02bootstrap法000.02小波分析法00.010.04wb法(3层小波分解)0.020.040.06wb法(4层小波分解)0.020.040.05我们也可以用kupiec和jorion提出来的基于失败率的事后检验（backtesting）1,11。设某种实验失败的概率为（是未知的），现在通过某种参数估计方法得到了的估计值，为了检验估计量的有效性，我们独立地重复此实验次，设次试验中共有次失败，则我们构造如下统计量：， (19)可以证明，当原假设成立且重复试验的次数不断增大时，统计量渐近地服从自由度为1的卡方分布。对于本例，如果估计的var是准确的，则失败率应是

18、显著性水平的有效估计，因此表2- 3四种方法的lr统计量值 显著水平 统计量lr值 方法历史模拟法2.01015.0636*2.4286bootstrap法2.01015.0636*2.4286小波分析法2.01011.19040.22534wb法(3层小波分解)0.782720.783230.19842wb法(4层小波分解)0.782720.783230注：加星号的数据表示其值大于自由度为1的卡方分布置信水平为0.95的临界值3.84，统计量小于临界值表示var估计方法有效。， (20)应渐近地服从自由度为1的卡方分布，我们可以用它来检验var估计的有效性。表2-3给出了各种方法有效性检验的

19、结果，从中可以看出wb方法在三种不同的显著性水平下都是有效的。3 结论本文提出了一种将小波分析与bootstrap抽样相结合的var估计方法wb方法，充分利用了小波分解的多尺度特性和bootstrap的小样本优势，对收益率序列不同尺度的细节成分的波动率作出精确的估计，然后加权整合得到整个收益率序列的波动率的综合估计，并据此估计var。利用上证综指的收益率数据，我们将wb方法与几种常见的var估计方法作了比较，实验结果表明wb方法明显优于其它几种方法。我们将进一步研究wb方法在各种具体风险估计问题中的应用，以检验其优势和局限性。参考文献：1 jorion,p.value at risk:the

20、new benchmark for controlling market riskp.1996.2 r.f.engle.autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of uk inflationj.econometrica,1982, 50, 987-1008.3 t.bollerslev. a generalized autoregressive conditional heteroskedasticityj.journal of econometrics , 1986,31, 30

21、7-27.4 r.f. engle, d.m. lilien, and r.p. robins.estimating time varying risk premia in the term structure: the arch-m modelj.econometrica ,1987,55, 391-407.5 daubechies.ten lectures on waveletsm.philadelphia:siam,1992.6 唐晓初.小波分析及其应用m.第一版.重庆:重庆出版社，2006.7 yuri hamburger.wavelet-based value at risk est

22、imationd.erasmus university rotterdam,2003.8 叶五一.var与cvar的估计方法以及在风险管理中的应用d.中国科学技术大学，20069 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计m.第四版.北京:高等教育出版社，2008.10 叶五一，缪柏其，吴振翔.基于bootstrap方法的var计算j.系统工程学报，2004，19(5).11 kupiec.techniques for verifying the accuracy of rick management modelsp.journal of derivatives,1995,3:73-84.英文标题

23、及摘要：a var estimation combining wavelet analysis and bootstrap samplingge ting, zhou xuan, tang wei-wei,zou shi-feng,yang shou-yuan1(school of information technology, jiangxi university of finance and economics, nanchang 330013,china)e_mail:; ;; 904322728; yshouysina.co