高中数学第三讲 充分条件和必要条件练习北师大版选修2-1（通用）

1、第三讲 充分条件和必要条件一、考试说明理解必要条件、充分条件的意义，会分析四种命题的相互关系二、基础知识建构1、“若p则q”是真命题，即pq；“若p则q”为假命题，即pq.2、(1)若 ，则p是q的充分不必要条件.(2)若p q, 但pq,则p是q的 .(3)若 ,则p是q的充分条件，也是必要条件,也是充要条件(一般要回答是充要条件)(4)若 ,则p是q的既不充分也不必要条件.3、证明p是q的充要条件,分两步：证明：充分性,把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.必要性,把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推理论证得出p.所以,p是q的充要条件.4、充分条件、必要条件常用判断法(1)定

2、义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断BA或AB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断；(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题的逆否命题进行判断；(3)集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B、，则：若AB,则p是q的充分条件；若AB,则p是q的充分非必要条件；若AB,则p是q的必要条件；若AB,则p是q的必要非充分条件；若A=B,则p是q的充要条件若AB,且AB,则p是q的非充分又非必要条件.5、当pq时,称条件p是条件q的充分条件，意指为使q成立,具备条件p就足够

3、了，“充分”即“足够”的意思,当pq时,也称条件p是条件q的必要条件，因为qp等价于非p非q,即若不具备q,则p必不成立,所以要使p成立必须具备q .“必要”即“必须具备”的意思.“若p则q”形式的命题，其条件p与结论q之间的逻辑关系有四种可能：(1)pq但qp不一定成立：这时,p是q的充分而不必要条件；(2)qp但pq不一定成立：这时,称p是q的必要而不充分条件；(3)pq且qp：这时,称p是q的充分且必要条件；(4)pq不一定成立且qp不一定成立：这时,称p是q的既不充分也不必要条件.6、由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性

4、时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断7、一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。三、高考怎么考（精选）1、（09浙江 2）已知是实数，则“且”是“且”的 ( C ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的2、（09山东 5）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线,则,

5、反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.3、（09安徽 4）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是高.考.资.源.网( A （A）p:b+d , q:b且cd 高.考.资.源.网（B）p:a1,b1 q:的图像不过第二象限高.考.资.源.网（C）p: x=1, q:高.考.资.源.网（D）p:a1, q: 在上为增函数高.考.资.源.网解析：由b且cdb+d，而由b+d b且cd，可举反例。选A4、（09四川 6）已知为实数，且。则“”是“”的 BA. 充分而不必要条件 B.

6、 必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充要条件 D. 既不充分也不必要条件【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）解析：推不出；但，故选择B。解析2：令，则；由可得，因为，则，所以。故“”是“”的必要而不充分条件。5、（09湖北 7）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ( A )A. B. C. D. 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A6、（08安徽 7）是方程至少有一个负数根的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：当，得a1时方程有根。a0）上

7、不是单调函数的充要条件是( B ) A.0m B.0m1 C.m1 (2)若条件p：|4x3|1,q：x2(2a+1)x+a2+a0,若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .0,（二）充要条件的证明2、设集合U=(x,y)|xR,yR,A=(x,y)|2xy+m0,B=(x,y)|x+yn0,C=(x,y)|x2+y2=1,求证：“集合CA(UB)”的充要条件是“m且n且nsin(q+j)+0, (a,b)A cosq+sinqnsin(q+)+0, (a,b)UB ,(a,b)A(UB)由于(a,b)的任意性,所以集合CA(UB),(2)“必要性”： 任取(a,b)C, 令a=co

8、sq,b=sinq, CA(UB), (a,b)A, 2cosqsinq+m0对任意q的恒成立, m(2cosq+sinq)max=,同理(a,b)UB, cosq+sinqn0对任意q的恒成立,n且n0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件.证：必要性：令y=0,则x2+Gx+F=0,设x1,x2为此方程的根,若|x1x2|= =1则G24F=1充分性：若G24F=10, x2+Gx+F=0,有二根x1,x2, 且x1+x2=G，x1x2=F|x1x2|2=|x1+x2|24 x1x2= G24F=14、在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( B )A.充分不必

9、要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5、已知a,b,c均为实数,则“b24ac0”是“关于x的一元二次不等式ax2+bx+c0解集为”的( B )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6、平面a平面b的一个充分条件是( D )A.存在一条直线m,ma,mb B.存在一条直线m,ma,mbC.存在两条平行直线m,n, ma,nb,ma,mb,naD.存在两条异面直线m,n,ma,nb,ma,mb,na7、已知条件p：x23x+20, 条件q：xa,且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为( A ) A.a2 B.a2 C.a

10、2 D.a18、在ABC中,角A,B所对的边长为a,b，则“a=b”是“acosA=bcosB”的( A )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件注：a=bA=B acosA=bcosB 反之：acosA=bcosBsinAcosA=sinBcosB sin2A=sin2B 2A=2B或2A+2B=， 选A9、若x,yR,则“x1或y2”是“x+y3”的( B )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件注意：看其逆否：x+y3是 的什么条件.B组（提高创新）1、已知：集合G=(x,y)|,集合H=(x,y)|

11、(x3)2+|y4|=0,则“HG”必要不充分条件是( B ) A.u7 B.u7 C.u D.u2、已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,满足=x+y+z(x,y,zR),则“x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的( C )A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、若不等式|x1|a成立的充分条件是0xd”和“若ab,则ef ”,则“cd”是“ef ”的 条件.(充分)5、关于x的方程lg(xa)=2(lgxlg3)至少有一个实数根的充要条件是 .a6、已知数列an和bn满足bn= (nN*) ,求证: an是等差数列的充要条件是bn是等差

12、数列证明：必要性：设an成等差数列 ，公差为d，则bn= = =a1+(n1)d从而bn+1bn= a1+nda1(n1)d= d为常数,故bn是等差数列,公差为d.充分性：设bn是等差数列,公差为d , 则bn=b1+(n1)d .bn(1+2+n)=a1+2a2+nan (1)bn-1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an (2)(1)(2)得： nan= bnbn-1 (n2),an=b1+(n1)d b1+(n2)d= b1+(n1)d , 又a1也符合, an= b1+(n1)d ,从而得an+1an=d 为常数故an是等差数列综上所述，数列an是等差数列的充要条件是bn也是等

13、差数列7、已知关于x的方程(1a)x2+(a+2)x4=0，aR. 求 (1)方程有两个正根的充要条件；(2)方程至少有一个正根的充要条件.略解：（1） 1a2或a10(2)a=1时求得x= 方程有一正根一负根 a1有两个正根11成立的一个充分不必要条件是 ( B )A.|a+b|1 B.a2+b21 C.a1或b1 D.a1且b19、a、b为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：aa，bb；aa，bb ；aa，bb；aa，bb且a与a的距离等于b与b的距离.其中是ab的充分条件的有 ( C )A. B. C. D.10、函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是 ( D )A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a2+b2=0 注:f(x)为奇函数，则f(0)=b=0 ,f(x)+f(x)0, 求得a=0, a=b=0 ,故选D11、已知O为平面内一定点，设条件p：动点p满足=+l(+)，lR；条件q：点P的轨迹通过ABC的重心，则条件p是条件q的( B )A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 =l(+)P的轨迹通过ABC的重心，而qp, p是q的充分不必要条件，故选B。12、a、b、c(0，+)且表示线段长度，则a、b、c能构成锐角三角形的充要条件是 ( D ) A.a2+b2