材力讲稿第3章扭转1-2

1、第三章 扭 转,材 料 力 学,构件特征：等圆截面直杆圆轴。,受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为相对扭转角。,扭 转/扭转的概念及外力偶矩的计算,M0 外力偶矩 扭力矩,上节回顾,扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。,扭矩符号：按右手螺旋法则。扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。,上节回顾,（+）,扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。,（-）,扭矩图,扭 转/杆受扭时的内力计算,上节回顾,三、薄壁圆轴的扭转,扭 转/薄壁圆轴的扭转,薄壁圆轴-壁厚远小

2、于其平均半径( t r0)的空心圆轴。,薄壁圆轴扭转试验,预先在圆轴的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的格子。,圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。,r0 平均半径，t 壁厚,（1）,（2）其他变形现象：圆周线之间的距离保持不变，仍为圆形， 绕轴线产生相对转动。,扭 转/薄壁圆轴的扭转,薄壁圆轴扭转后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动。,横截面上没有正应力，只有切应力。且横截面上的切应力的方向是沿着圆周的切线方向，并设沿壁厚方向是均匀分布的(壁厚较小)。,薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移，称为 相对扭转角 ，用 表示。,薄壁圆轴表面上每个格

3、子的直角的改变量，称为 切应变。用 表示 。,扭 转/薄壁圆轴的扭转,扭 转/薄壁圆轴的扭转,A0=r02, r0 平均半径，t 壁厚,几何关系,切应变,小变形条件,切应力,静力关系,dx,dy,dz,切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。,扭 转/薄壁圆轴的扭转,薄壁圆轴纵截面上的切应力,剪切胡克定律,B,其中G是材料的剪切弹性模量。,且,实验证明：当切应力不超过 材料的比例极限 时，切 应力 与切应变 成正比。 即,单位：MPa、GPa.,扭 转/薄壁圆轴的扭转,剪切胡克定律,扭 转/薄壁圆轴的扭转,参考拉压胡克定律,切应变,切应力

4、,切应力互等定理,四、圆轴扭转时的应力和变形,T,T,研究方法：,1、实验观察,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,横截面上的 应力分布,观察到的变形现象,（1）,横截面上存在切应力！,（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 对转动。,横截面上不存在正应力！,（3）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。,2、假设刚性平面假设：即圆轴扭转时横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,圆轴,许多个套在一起的薄壁圆轴(管)，各个薄壁圆轴扭转时横截面的相对扭转角相同。,横截面上的切应力处处垂直于径向， 且方向同T 旋转方向。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,横截

5、面上各点 切应力的方向。,3、理论分析,(1)几何分析,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,小变形条件下,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,同理,式中 表示扭转角 沿轴长的变化率称为单位 扭转角，在同一截面上， =常数。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,(2)物理条件剪切胡克定律,T,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,称为极惯性矩，是截面的几何性质，与截面的几何形状、 尺寸有关。,(3)静力平衡条件,(单位扭转角, 单位：rad/m),扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,在扭矩相同的条件下，,因此 表示圆轴抵抗变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。,横截面上切应力计算公式,式中 称为抗扭截面模量。,扭 转/圆轴

6、扭转时的应力和变形,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,应力分布情况,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,(4)公式中几何量 与 的计算。,a、实心圆截面,因此,而,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,b、空心圆截面,D,式中,而,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,内外径之比,讨论 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的剪切弹性模量分别为G1和G2，且G12G2。圆轴尺寸如图中所示。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、(D)所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,T,等直圆杆

7、扭转时斜截面上的应力,1. 低碳钢试件： 沿横截面断开。,2.灰铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,两种扭转破坏方式,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力； 取微元体如图(d)：,(d),扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,(d),n,t,转角规定： x轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,t,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵

8、截面上的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。,扭 转/圆轴扭转时的应力和变形,五、圆轴的强度条件和刚度条件,（一）强度条件,塑性材料,脆性材料,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,受扭圆轴失效的标志：,塑性材料：屈服，扭转屈服应力： ；,脆性材料：断裂，扭转强度应力： ；,统称扭转极 限应力：,因此圆轴的强度条件为,式中,（许用切应力， n 为安全系数）,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（二）刚度条件,或,的数值按照对机器的要求决定：,精密机器的轴：,一般传动轴：,精度要求不高的轴：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,

9、扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,三类强度计算问题, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,三类刚度计算问题：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,解：,由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：,轴的最大切应力,例题3-2 某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm, 壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为T=1500 N.m,试校核此轴的强度。 已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相 当，则实心轴的直径 为？,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,所以此轴安全。,若此轴改为实心轴，而,式中,解得：,扭 转/圆轴的

10、强度条件和刚度条件,实心轴的横截面面积为,空心轴的横截面面积,空心轴与实心轴的重量之比：,因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节 约材料、比较经济。,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,例题3-3 图示等截面圆轴，已知d=90mm , l=50cm, , 。轴的材料为钢，G=80GPa,求 （1）轴的最大切应力； （2）截面B和截面C的扭转角； （3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d 应为多大？,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（+）,（-）,扭矩图,解：,(1)轴的最大切应力,作扭矩图：,因此,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（2）扭转角,截面B：,扭

11、 转/圆轴的强度条件和刚度条件,截面C,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,（3）BC段孔径d,由,得,解得：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,例题3-4 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的 均布力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。,解：,取微段作为研究对象。,根据平衡条件求得横截面上的扭 矩为：,微段两端截面的相对扭转角为,A,B,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,因此,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,例 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，

12、试校核此杆的刚度，并求右端面转角。,解：设计杆的外径,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,40Nm,x,T,代入数值得：,D 0.0226m, 由扭转刚度条件校核刚度,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,40Nm,x,T,右端面转角为：,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,圆轴强度与刚度设计的一般过程, 根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数，确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩。, 应用截面法确定轴的横截面上的扭矩，当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时，需要画出扭矩图。, 根据轴的扭矩图，确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值。校核、设计轴的直径以及确定许用

13、载荷。, 计算危险截面上的最大切应力或单位长度上的相对扭转角。, 根据需要，应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核、设计轴的直径以及确定许用载荷。,例 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：,T,x,7.024, 4.21,(kNm),扭 转/圆轴的强度条件和刚

14、度条件,由刚度条件得：,T,x,7.024,4.21,(kNm),扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,综上：,全轴选同一直径时,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,可见：此轴的直径是由刚度条件控制的, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径 为 75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,扭 转/圆轴的强度条件和刚度条件,六、扭转的超静定问题,扭转的超静定问题受扭圆杆的未知反力偶或扭矩 数超过独立的静力平衡方程数。,超静定问题的解法：,（1）建立静力平衡方程；,（2）由变形协调条件建立变形协调方程；,（3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： ， 代入变形协调方程，得到补充方程；,（4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反 力偶或扭矩。,扭 转/扭转的超静定问题,例题3-5 一两端固定的圆截面杆AB，在截面C处承受力偶矩T作用。试写出三种不同形式的变形协调条件。,解：,(1)考虑截面C:,式中值应取绝对值，不考虑扭矩或扭转角的转向。,扭 转/扭转的超静定问题,(2)考虑截面B:,式中值应取代数值，考虑扭矩或扭转角的转向。,(3)考虑解除B端约束，以反力矩 代替。,变形协调条件：,式中,M和 共同作用产生的扭转角，,M单独作