2020年海南省新高考数学试卷含答案

1、2020年海南省新高考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Ax|1x3，Bx|2x4，则AB（）Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4Dx|1x42（5分）（）A1B1CiDi3（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A120种B90种C60种D30种4（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在

2、平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A20B40C50D905（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A62%B56%C46%D42%6（5分）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）ert描述累计感

3、染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01+rT有学者基于已有数据估计出R03.28，T6据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ln20.69）A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天7（5分）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）A（2，6）B（6，2）C（2，4）D（4，6）8（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（，0）单调递减，且f（2）0，则满足xf（x1）0的x的取值范围是（）A1，13，+）B3，10，1C1，01，+）D1，01，3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分

4、。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9（5分）已知曲线C：mx2+ny21（）A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为yxD若m0，n0，则C是两条直线10（5分）如图是函数ysin（x+）的部分图象，则sin（x+）（）Asin（x+）Bsin（2x）Ccos（2x+）Dcos（2x）11已知a0，b0，且a+b1，则（）Aa2+b2B2abClog2a+log2b2D+12信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1，2，n，且P（Xi）pi0（i

5、1，2，n），pi1，定义X的信息熵H（X）pilog2pi（）A若n1，则H（X）0B若n2，则H（X）随着p1的增大而增大C若pi（i1，2，n），则H（X）随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，m，且P（Yj）pj+p2m+1j（j1，2，m），则H（X）H（Y）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13（5分）斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB| 14（5分）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前n项和为 15（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓

6、圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC，BHDG，EF12cm，DE2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为 cm216（5分）已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在ac，csinA3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说

7、明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAsinB，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12分）已知公比大于1的等比数列an满足a2+a420，a38（1）求an的通项公式；（2）求a1a2a2a3+（1）n1anan+119（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：SO2PM2.50，50（50，150（150，4750，3532184（35，756812（75，1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不

8、超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50，150（150，4750，75（75，115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820（12分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）过点M（2，3），点A

9、为其左顶点，且AM的斜率为（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值22（12分）已知函数f（x）aex1lnx+lna（1）当ae时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围2020年海南省新高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Ax|1x3，Bx|2x4，则AB（）Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4Dx|1x4【解答】解：集合Ax|1x3，Bx|2x4，ABx|1x4故选：C2（5分）（）A

10、1B1CiDi【解答】解：i，故选：D3（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A120种B90种C60种D30种【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：10种结果；余下的3人去丙场馆；故共有：61060种安排方法；故选：C4（5分）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面

11、所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A20B40C50D90【解答】解：可设A所在的纬线圈的圆心为O，OO垂直于纬线所在的圆面，由图可得OHA为晷针与点A处的水平面所成角，又OAO为40且OAAH，在RtOHA中，OAOH，OHAOAO40，故选：B5（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A62%B56%C46%D42%【解答】解：设只喜

12、欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z60，x+y+z96，y+z82，解得z46该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%故选：C6（5分）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R01+rT有学者基于已有数据估计出R03.28，T6据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时

13、间约为（）（ln20.69）A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天【解答】解：把R03.28，T6代入R01+rT，可得r0.38，I（t）e0.38t，当t0时，I（0）1，则e0.38t2，两边取对数得0.38tln2，解得t1.8故选：B7（5分）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（）A（2，6）B（6，2）C（2，4）D（4，6）【解答】解：画出图形如图，它的几何意义是AB的长度与在向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大值，可得236，最大值为6，在F处取得最小值，22，最小值为2，P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，所以的取值范围是（2，6

14、）故选：A8（5分）若定义在R的奇函数f（x）在（，0）单调递减，且f（2）0，则满足xf（x1）0的x的取值范围是（）A1，13，+）B3，10，1C1，01，+）D1，01，3【解答】解：定义在R的奇函数f（x）在（，0）单调递减，且f（2）0，f（x）的图象如图：当x0时，不等式xf（x1）0成立，当x1时，不等式xf（x1）0成立，当x12或x12时，即x3或x1时，不等式xf（x1）0成立，当x0时，不等式xf（x1）0等价为f（x1）0，此时，此时1x3，当x0时，不等式xf（x1）0等价为f（x1）0，即，得1x0，综上1x0或1x3，即实数x的取值范围是1，01，3，故选：D二

15、、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9（5分）已知曲线C：mx2+ny21（）A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为yxD若m0，n0，则C是两条直线【解答】解：A若mn0，则，则根据椭圆定义，知1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B若mn0，则方程为x2+y2，表示半径为的圆，故B错误；C若m0，n0，则方程为1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为xy，故C错误；D当m0，n0时，则方程为y表示两条直线，故D正确

16、；故选：AD10（5分）如图是函数ysin（x+）的部分图象，则sin（x+）（）Asin（x+）Bsin（2x）Ccos（2x+）Dcos（2x）【解答】解：由图象知函数的周期T2（），即，即2，由五点对应法得2+，得，则f（x）sin（2x+）cos（2x）cos（2x）cos（2x+）sin（2x）sin（）故选：BC11已知a0，b0，且a+b1，则（）Aa2+b2B2abClog2a+log2b2D+【解答】解：已知a0，b0，且a+b1，所以（a+b）22a2+2b2，则，故A正确利用分析法：要证，只需证明ab1即可，即ab1，由于a0，b0，且a+b1，所以：a0，b10，故B正

17、确，故C错误由于a0，b0，且a+b1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当ab时，等号成立故D正确故选：ABD12信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1，2，n，且P（Xi）pi0（i1，2，n），pi1，定义X的信息熵H（X）pilog2pi（）A若n1，则H（X）0B若n2，则H（X）随着p1的增大而增大C若pi（i1，2，n），则H（X）随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，m，且P（Yj）pj+p2m+1j（j1，2，m），则H（X）H（Y）【解答】解：A若n1，则P11，故H（x）p1log2p11lo

18、g210，故A正确；B若n2，则p1+p21，H（x）（p1log2p1+p2log2p2）p1log2p1+（1p1）log2（1p1），设f（p）plog2p+（1p）log2（1p），0p1，则，令f（p）0，解得，此时函数f（p）单调递减，令f（p）0，解得，此时函数f（p）单调递增，故B错误；C若，则，由对数函数的单调性可知，H（x）随着n的增大而增大，故C正确；D依题意知，P（Y1）p1+p2m，P（Y2）p2+p2m1，P（Y3）p3+p2m2，P（Ym）pm+pm+1，H（Y）（p1+p2m）log2（p1+p2m）+（p2+p2m1）log2（p2+p2m1）+（pm+pm+

19、1）log2（pm+pm+1），又H（X）（p1log2p1+p2log2p2+pmlog2pm+p2mlog2p2m），又，H（Y）H（X）0，H（X）H（Y），故D错误故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13（5分）斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|【解答】解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y（x1），代入y24x并化简得3x210x+30，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2；x1x21，由抛物线的定义可得|AB|x1+x2+p+2故答案为：14（5分）将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得

20、到数列an，则an的前n项和为3n22n【解答】解：将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前n项和为n1+3n22n，故答案为：3n22n15（5分）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC，BHDG，EF12cm，DE2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2【解答】解：作AM垂直于EF，交OH、DG于S、N，垂足为M

21、，过点O作OQ垂直于DQ，垂足为Q，A到直线DE和EF的距离均为7cm，EMAM7，又EF12，MNDE2，NGMF1275，ANAMNM725，AGD45，BHDG，AHD45，由于AG是圆弧的切线，AGOA，AOH45，设大圆的半径为R，则ASOS，OQSN5，DQDNQN7，tanODC，解得R2，图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角AOH的面积减去小半圆的面积，所以S阴影（2）2+221+4故答案为：+416（5分）已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为【解答】解：由题意直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均

22、为2，BAD60可知：D1B12，上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y），则D1E2D1B12+x22D1B1cos60x2+42x由题意可知D1P可得：5x2+42x+（2y）2即（x1）2+（y2）22，所以P在侧面BCC1B1的轨迹是以B1C1的中点为圆心，半径为的圆弧以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为：故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）在ac，csinA3，cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在A

23、BC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAsinB，C，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：acABC中，sinAsinB，即b，ac，cosC，a，b1，c1csinA3ABC中，csinAasinCasin3，a6sinAsinB，即a，cosC，cbsinAsinB，即a，又cb，cosC，与已知条件C相矛盾，所以问题中的三角形不存在18（12分）已知公比大于1的等比数列an满足a2+a420，a38（1）求an的通项公式；（2）求a1a2a2a3+（1）n1anan+1【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q（q1），则，q1，（2）a1a2

24、a2a3+（1）n1anan+12325+2729+（1）n122n+1，19（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：g/m3），得下表：SO2PM2.50，50（50，150（150，4750，3532184（35，756812（75，1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22列联表：SO2PM2.50，150（150，4750，75（75，115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一

25、天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解答】解：（1）用频率估计概率，从而得到“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率P0.64；（2）根据所给数据，可得下面的22列联表：SO2PM2.50，150（150，4750，756416（75，1151010（3）根据（2）中的列联表，由7.4846.635，P（K26.635）0.01；故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PA

26、D与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值【解答】解：（1）证明：过P在平面PAD内作直线lAD，由ADBC，可得lBC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，又BCCD，CDPDD，BC平面PCD，lBC，l平面PCD；（2）如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），P（0，0，1），设Q（0，m，1）（m0），（0，m，1），（1，1，1），（1，0，0）

27、，设平面PCD的法向量为（a，b，c），则，取c1，可得（0，1），cos，PB与平面QCD所成角的正弦值为，当且仅当m1取等号，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）过点M（2，3），点A为其左顶点，且AM的斜率为（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AMN的面积的最大值【解答】解：（1）由题意可知直线AM的方程为：y3（x2），即x2y4，当y0时，解得x4，所以a4，椭圆C：+l（ab0）过点M（2，3），可得，解得b212，所以C的方程：+l（2）设与直线AM平行的直线方程为：x2ym，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆

28、的切点为N，此时AMN的面积取得最大值x2ym代入椭圆方程：+l化简可得：16y2+12my+3m2480，所以144m2416（3m248）0，即m264，解得m8，与AM距离比较远的直线方程：x2y8，利用平行线之间的距离为：d，|AM|3所以AMN的面积的最大值：1222（12分）已知函数f（x）aex1lnx+lna（1）当ae时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解答】解：（1）当ae时，f（x）exlnx+1，f（x）ex，f（1）e1，f（1）e+1，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（e+1）（e1）（x1），当x0时，y2，当y0时，x，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S2（2）方法一：由f（x）1，可得aex1lnx+lna1，即ex1+lnalnx+lna1，即ex1+lna+lna+x1lnx+xelnx+lnx，令g（t）et+t，则g（t）et+10，g（t）在R上单调递增，g（lna+x1）g（lnx）lna+x1lnx，即lnalnxx+1，令h（x）lnxx+1，h（x）1，当0x1时，h（x）0，函数h（x）单调递增，当x1时，h（x）0，函数h（x）单调递减，h（x）h（1）0，lna0，a1，故a的范围为1，