“追及”与“相遇”问题的分析方法种种.ppt

1、“追及”与“相遇”问题的分析方法种种,朱建廉,南京市 金陵中学,如果两物体于同一时刻到达同一位置，则称为“相遇”；特别当两物体在同一直线上沿着同一方向运动而于同一时刻到达同一位置，则称为“追及”。,上述一段文本所描述的是一类运动学现象“追及”与“相遇”的现象。,而作为一种独特类型的运动学问题，“追及”与“相遇”的问题所反映的是不同物体间的运动关系，相应的分析思路将呈现出多样化特征。,本文通过典型例题的分析，介绍几种针对“追及”与“相遇”问题的常见分析方法。,“追及”与“相遇”问题的分析方法种种,方法之一：,“大胆假设，小心求证”,方法之二：,“位移图像，形象直观”,方法之三：,“速度图像，计算

2、面积”,方法之四：,“运动草图，梳理过程”,方法之五：,“临界分析，把握关键”,方法之六：,“相对运动，抓住本质”,方法1：“大胆假设，小心求证”,例题1：如图1所示，小球 A 以 v=4m/s 的速度作匀速直线运动，物体 B 在其前方 x0=7m 处以初速度 v0=10m/s 开始运动，由于摩擦的作用而使其运动速度均匀减小，其加速度大小为 a=2m/s2 。问：小球 A 经多长时间追上物体 B ？,分析：由于是“匀速直线运动”追“匀减速直线运动”，所以“追及”应该不成问题。,而在做出定量分析之前，将无法判断上述哪种可能将会成真，这是此例的解答中最应该予以关注的问题。,解答：不妨大胆假设第一种

3、可能成真，即：“先追上，后停下”。于是便可由,而解得（舍去了一个负根：t = -1s）,在假设基础上列方程而求得的结论，必须通过验证方能最终确认。若物体B的速度经时间 t0 而减为零，则由,可见：此例所对应的物理过程应该是“先停下，后追上”。相应的计算应为,由此解得：小球 A 追及物体 B 所经历的时间为,小结：在“追及”与“相遇”的问题中，常会存在着诸如：是否能够“追及”、是否能够“相遇”、在不同阶段“追及”或“相遇”等多种可能，而不同的可能所对应的计算又会是不同的依据。这就需要在某种可能尚未被确认的前提下而作“大胆假设”，同时对“大胆假设”基础上所获得的结论又必须经过“小心求证”方能最终确

4、认。,方法2：“位移图像，形象直观”,分析：和例题1中的过程恰好相反：这次是“匀减速直线运动”追“匀速直线运动”。因此，是否能够“追及”就不能得到保证。相应的解答实际上也可以沿用例题1中所谓的“大胆假设，小心求证”的分析方法。但在这里，我们给出一种较为直观、较为形象的图上作业方法。,解答：若取物体B的出发点为坐标原点、初速度方向为参考正方向建立坐标，则根据物体B的运动规律,而代入数据可得：物体B的位移随时间变化的函数为,在“x t ”坐标平面内，其图像如图2-1所示。,在上述坐标下，根据小球A的运动规律,若将例题中所给的三组数据分别代入，则依次得到小球A的位移随时间变化的三个函数分别为,当把小

5、球A和物体B的位移随时间变化的图像画在同一坐标平面内，则分别如图2-2、图2-3和图2-4所示。于是,（1）当小球A与物体B间原始距离为 x0=8m 时，xA1 曲线与 xB 曲线相交，其两个交点的物理含义分别为：当 t=2s 时，物体B在小球A运动了xA=8m 处追上小球A；当 t=4s 时，小球A在运动了xA=16m 处再次追上物体B。,（2）当小球A与物体B 间原始距离为x0=9m时，xA2 曲线与 xB 曲线相切，其切点的物理含义为：当t=3s 时，物体B 在小球A运动了xA=12m 处勉强追上小球A。,（3）当小球A与物体B 间原始距离为 x0=12m 时，xA3 曲线与 xB 曲线

6、相分离而没有公共点，相应的物理含义为：物体B不能追上小球A。,小结：此例的解答若仿照例题 1 的“大胆假设，小心求证”的分析方法，则可在“经时间t 而相遇”的假设基础上，根据相关规律列出如下方程,而将小球A与物体B间原始距离的三个数据分别代入，即可依次得到关于相遇时间 t 的三个方程，为,上述三个“二次方程”的判别式的取值分别为,恰与如图2-2中所示的xA1 曲线与 xB 曲线相交、如图2-3中所示的xA2 曲线与xB 曲线相切和如图2-4中所示的xA3 曲线与xB 曲线相分离而形成了鲜明的“数形对照”。,方法3：“速度图像，计算面积”,分析：和前两例相比，此例所涉及到的运动关系具备着如下特点

7、：第一，两物体先相向运动、然后又变为同方向运动；第二，两物体启动时间和出发位置均不同。对这类“追及”与“相遇”问题的解答，通常可以借助于“速度图像”来帮助分析。,解答：取沿斜面向下为参考正方向，以A开始运动的时刻为计时起点，则：当 t0=0 时，A、B的运动速度vA 和vB 随时间t变化的图像如图3-1 所示；当t0=2s 时，A、B的运动速度vA 和vB 随时间 t 变化的图像如图3-2所示。于是，针对各个选项的分析判断便可以借助于“速度图像”来进行。,当t0=0时，可由图3-1知：B经2s沿斜面向上运动而速度减为零，在这过程中A、B相向运动（A沿斜面向下运动，B沿斜面向上运动），A的位移大

8、小等于图中矩形的“面积”sA，B的位移大小等于图中三角形的“面积”sB。对相应“面积”进行计算不难得到A、B在这2s 内的位移大小分别为,其相对位移的大小为,可见：在A、B相向运动的这2s 内，A、B的相对位移大于其原始距离（x012m），所以必将会在这相向运动的2s 内迎面相遇。因此，选项A是正确的。,当t0=2s时，可由图3-2知：在6s末两物体速度相同前，A沿斜面向下运动的位移大小等于图中矩形的“面积”sA，而B则沿斜面先向上运动、后向下运动，其位移大小分别等于图中三角形的“面积”sB1 和sB2。对相应“面积”进行计算不难得到A、B在这6s 内的位移大小分别为,其相对位移的大小为,可见

9、：当x0=15m时，A、B在速度相同之前必将相遇，而在速度相同之后，由于B将继续加速，所以必将再次相遇，因此选项B是正确的；当 x0=25m 时，A、B在速度相同之前将不能相遇，并将永远不会相遇，因此选项C正确而选项D错误。,上述分析表明：此例应选ABC。,小结：若借助于“速度图像”来分析“追及”与“相遇”问题，实际上就是把相应的物理问题的定量计算转化成“矩形”、“三角形”或“梯形”等几何形状的“面积”计算。显然，这样的转化对保证物理问题的正确分析应该是极为有利的。,方法4：“运动草图，梳理过程”,例题4：如图4所示为高速公路上用超声测速仪测车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲信号，根据发

10、出和接收到信号间的时间差，测出被测物体速度，图中P1、P2是测速仪发出的超声波信号，n1、n2分别是P1、P2被汽车反射回来的信号，设测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔t=1.0s，超声波在空气中传播的速度是v0=340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图可知汽车在接收P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是s= m，汽车的速度是v= m/s。,分析：此例中显性的运动物体似乎只有汽车，但实际上若包括隐性参与运动的物体则应该有四个，即：汽车、超声信号P1、超声信号P2 以及超声测速仪。尽管运动的类型均为极其简单的匀速直线运动（静止），但由于参与运动的物体较多、参与运动的物体相互间的“追及

11、”与“相遇”过程纷繁复杂，所以就造成了分析与解答的困难。而突破“追及”与“相遇”过程纷繁复杂的难点，其最为有效、同时也是最为简单的方法就是：确定关键的“时间节点”，画出相应的“运动草图”。,解答：相应的解答过程可按下列次序进行。,（1）首先将测速仪匀速扫描的记录作所谓的“时空转换”如下表所给出,（2）在实施了“时空转换”的基础上明确超声信号P1、 P2在测速仪和汽车之间往返运动时的各“时间节点”：若将超声信号与测速仪分离（发出）、与汽车相遇（被反射）、与测速仪相遇（回收）的时间节点分别记为“P1与P2”、“F1与F2”和“n1与n2”，并取“时间节点P1”为计时起点，则各个“时间节点”所对应的

12、时刻如下表所给出,（3）把握了较为关键的“时间节点”，明确了汽车的运动方向（由于t1t2，因此可以判断：汽车是向着测速仪运动的），在这基础上便可以按照所明确的“时间节点”而把汽车的运动分为若干阶段，并画出用于梳理运动过程的“运动草图”如图4-1所示,（4）画出清晰的“运动草图”后，具体的计算就显得如此之简单了：由图4-1得,最终可解得,小结：无论是汽车，或者是超声信号，做的都是最为简单的匀速直线运动，可由于超声信号往复运动而反复与测速仪、与汽车“分离”与“相遇”，从而造成了运动关系的复杂性，而梳理复杂运动关系的最有效的方法就是：找出“时间节点”并画出“运动草图”。,方法5：“临界分析，把握关键

13、”,例题5：如图5所示，小球A自距地面h高处由静止释放的同时，小球B自其正下方的地面处竖直向上抛出，则 （1）欲使两球在B球的上升阶段相遇，B球的初速度应如何？ （2）欲使两球在B球的下降阶段相遇，B球的初速度应如何？ （3）B球的初速度满足怎样的条件能使两球不能在空中相遇？,分析：这是一道典型的“追及”与“相遇”问题。由于对其“相遇”现象所发生的阶段作出了特定的要求，所以在相应的解答过程中，对“相遇”现象发生于各个阶段的临界状态的分析，应该成为关键。,解答：由于两球相遇的情况存在着如下三种可能性：,第一，相遇于B球的上升阶段；,第二，相遇于B球的下降阶段；,第三，相遇于地面而不能相遇于空中。

14、,考虑到：前两种情况的临界状态是两球相遇时B球恰好处在上升的最高点；后两种情况的临界状态是两球恰好同时着地。于是，不妨先针对两种临界状态作定量分析：设与上述两种临界状态所对应的B球初速度分别为v1和v2，则可根据相应的运动规律得到,由此解得,于是，此例的结论分别为,（1）欲使两球在B球的上升阶段相遇，B球的初速度v01 应满足,（2）欲使两球在B球的下降阶段相遇，B球的初速度v02 应满足,（3）欲使两球不能在空中相遇，B球的初速度v03 应满足,小结：若对发生“追及”与“相遇”现象所处的阶段提出特定要求，则此类“追及”与“相遇”问题的解答就必将是：以所谓的“临界分析”为关键。,方法6：“相对运动，抓住本质”,分析：此例涉及到的无疑是“追及”与“相遇”问题：小球与直管下端的“相遇”和小球与直管上端的“相遇”，精准的界定了“小球通过直管”的过程。,解答：对于选项A、B的判断，实际上可借鉴例题5的相关分析，很容易做出“选项A、正确而选项B错误”的判断，在这里就不赘述了。,而受到对选项A、B分析的影响，便会有人自然受其负面的干扰而在选项C、D的分析中轻率的舍C取D。,实际上若采用所谓“相对运动”的分析方法便很容易都得到正确结论：,由于直管作“自由落体运动”而小球作“竖直上抛运动”，其运动加速度均为重力加速度g，所以当以直管为参考系而考察小球的运动时，小球相对于直管所