数理统计的基本概念

1、第六章 数理统计的基本概念,由于大量随机现象必然呈现出其规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次的观察，随机现象的规律性就一定能够清楚地呈现出来。,但是，客观上只允许我们对随机现象进行次数不多的观察或试验，也就是说：我们获得的只能是局部的或有限的观察资料。,数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理和分析所获得的有限资料，并对所研究的问题尽可能地给出精确而可靠的估计和推断。,现实世界中存在着形形色色的数据，分析这些数据需要多种多样的方法。,因此，数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的。概括起来可以归纳成两大类。 参数估计: 根据数据，对分布中的未知参数 进行估计； 假设

2、检验: 根据数据，对分布的未知参数的 某种假设进行检验。 参数估计与假设检验构成了统计推断的两种基本形式，这两种推断渗透到了数理统计的每个分支。,6.1 总体与样本,6.1.1 总体与样本,在数理统计中，我们往往关心所研究对象的某项数量指标（比如灯泡的使用寿命,学生的身高等）.,把研究对象的某项数量指标值的全体称为总体，每个研究对象的数量指标值称为个体。总体中的个体数目称为总体容量。,1.总体与个体,在研究2000名学生的年龄时, 这些学生的年龄的全体就构成一个总体, 每个学生的年龄就是个体.,实例1,某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个

3、有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.,2. 有限总体和无限总体,实例2,当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它看成是无限总体.,3. 总体分布,在2000名大学一年级学生的年龄中, 年龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”，“19”，“20” 的依次有9，21，132，1207，588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为,实例3,即学生年龄的取值有一定的分布.,一般地, 我们所研究的总体, 即研究对象的某项数量指标 X , 其取值在客观上有一定的分布, X是一个随机变量.,如实例3中, 总体就是数集 1

4、5, 16, 17, 18, 19, 20.,总体分布为:,即总体就是一个随机变量，总体的分布就是随机变量的分布.,4.样本,在实际问题中，总体的分布一般是未知的，或分布形式已知，却含有未知参数（比如服从P（）， 未知).,我们往往从总体中抽出部分个体，根据获得的数据对总体的分布进行推断.,被抽出的部分个体称为总体的一个样本.,所谓从总体中抽出一个个体，就是对总体X进行一次观察，并其记录结果.,在相同的条件下对总体X进行n次重复独立观察，其结果,显然，,都是随机变量，而且,它们相互独立，与总体X同分布.,与总体X具有相同的概率分布，则称随机变量,为来自总体X的容量为n的简单随机,定义1： 若随

5、机变量,相互独立且都,样本，简称样本,注意：样本的二重性。,样本 X1,X2,Xn 可以被看作n维随机向量,自然需要研究其联合分布。,6.1.2 样本的分布,假设总体 X 具有概率密度函数 f (x)，因样本X1,X2,Xn独立同分布于 X，于是，样本的联合概率密度函数为：,若总体 X 是离散型的，其分布律为：,则样本的联合分布为,由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数，其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来。,6.2.1 统计量的概念,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。,6.2 抽样分布,定义：几

6、个常用的统计量,样本均值,样本方差,反映总体 均值的信息,反映总体 方差的信息,样本标准差,样本 k 阶原点矩,样本 k 阶中心矩,k=1,2, ,反映总体k 阶 中心矩的信息,反映总体 k 阶矩的信息,它们的观察值分别为 ,定理1： 设,来自总体X的样本，则,若总体X的k阶矩存在，由大数定律可以得到：,定理2：设 X1,X2,Xn是来自均值为 ,方差为 2 的正态总体的样本，则有,统计量的分布称为抽样分布，下面介绍来自正态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三大分布：,分布，t分布和F分布.,6.2.2 2 分布,定义4: 设 X1, X2, , Xn 是来自总体 N(0, 1), 的样

7、本，则称统计量,服从自由度为 n 的卡方分布，记为：,注意： 若X1, X2, , Xn是来自正态总体,的样本，则随机变量,的概率密度为：,分布概率密度曲线,分布的性质：,定理 3：,证明略.,t 分布的概率密度为,为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T t(n)。,6.2.3 t 分布,定义5: 设 X N(0, 1) , Y 2(n) , 且 X与Y 相互独立，则称随机变量,t 分布的概率密度图形,当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态分布的概率密度。,定理 4：,6.2.4 F 分布,且U与V相互独立，则称 F =(U /m)/(V /n)服从第一自由度为m，第二自由度为n

8、 的 F 分布。记成 F F(m,n)。,定义6：设,其概率密度函数为,F 分布的性质：,（1）若F F(m,n)，则,1/F F(n,m);,（2）若X t(n)，则,结论：,6.2.5 正态总体样本均值与样本方差的分布,定理5：设X1, X2, , Xm 与Y1, Y2, , Yn分别来自总体,两样本独立，,则有,定理6*：设X1, X2, , Xm 与Y1, Y2, , Yn分别来自,两样本独立，,则有,其中,6.3 分位数,设随机变量X的分布函数为F(x)，设 满足0 1,若数x，使,则称x为此概率分布的分位数（或上侧分位数）。,标准正态分布的分位数记为z ，满足条件,即,例如 ,由于概率分布的对称性 ,有,例1: 总体,为其样本，求,解:,即,例2:总体,为其样本，求a,b,使随机变量,并写出自由度.,解:,二者独立，,要使Y服从,必须使,例3: 设X与Y独立，都服从,分别为来自总体X,Y的两个样本，则统计量,服从什么分布？,解:,时，,相互独立，,即,U与V独立，由t分布的定义,例5: 设总体,为其样本，求,解: （1）,且相互独立，,因此,反查P173表4.,0.1.,（2）设总体X的分布函数为F(x),则,的分布函数为,所求概率为,例6: 总体,为其两独立,样本，