二次函数yax2c的图象和性质

1、二次函数y=ax2的性质,开口向上,开口向下,|a|越大，开口越小,关于y轴对称,顶点坐标是原点（0，0）,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,O,O,例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2+1, y=x2-1的图象。,解：列表：,10 5 2 1 2 5 10,8 3 0 -1 0 3 8,讨论,（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称 轴、顶点各是什么？,讨论,（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2抛物线有 什么关系？,y=x2+1,8,6,4,2,-2,-5,5,x,y,y=x2-1,y=x2

2、,把抛物线y=x2向下移 1个单位，就得到抛物 线y=x2-1； 抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=x2+1。,把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到 哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？,思考,归纳：把抛物线y=ax2向上平移k个单位，就得到抛物线y=ax2+k；把抛物线y=ax2向下平移k个单位，就得到抛物线y=ax2-k,在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=0.5x2，y=0.5x2+2 , y=0.5x2-2 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴及顶点。,你能说出抛物线y=0.5x2+k的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线y=0.5

3、x2有什么关系？,y=0.5x2-2,y=0.5x2,y=0.5x2+2,想一想,抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？ 怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？,总结,一般地抛物线y=ax2+k有如 下性质：,1、当a0时，开口向上；当a0时，开口向下，,2、对称轴y轴（或x=0），,3、顶点坐标是（0，k），,4、|a|越大开口越小，反之开口越大。,二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,（0，k）,(1)抛物线y=ax2

4、c与y=x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是（，），则其表达式为，它是由抛物线y=x2向平移个单位得到的,例题,y=x2,上,(2)抛物线y=ax2c与y=x2的形状相同，且其顶点坐标是（，），则其表达式为，,y=x2,或y=x2,练习：,4、分别说下列抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7 （3）y=2x2-1 (4) y= 2x2+3,y=-2x2+3,y=-x2-7,y=0.5x2-2.5,5.(1)抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在_ 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着

5、x的增大而减小，当x= _ 时，函数y的值最大，最大值是 ,它是由抛物线y= 2x2线怎样平移得到的_.,练习,（ 2）抛物线 y= x-5 的顶点坐标是_，对称轴是_,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=_时，函数y的值最_，最小值是 .,1、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2） （0，-1）求该抛物线线的解析式。,（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。,（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，,做一做：,k,2.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( ) A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状 3.已知抛物线y=2x21上有两点(x1，y1 ) ,(x1，y1 )且x1x20，则y1 y2(填“”或“”) 4.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并且离原点1个单位，图像经过点(1,0)，求该二次函数解析式。 5.已知抛物线 ，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？,C,6、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax