现代控制理论总复习定稿版

1、现代控制理论,Professor：李振璧 Assistant：邓伟锋,安徽理工大学电信学院,modern control theory,1.线性定长系统非齐次方程的解 2.能控标准型和能观标准型的实现 3.按照能控性、能观性分解 4.李雅普诺夫方法判断系统的稳定性 5.状态观测器的设计,安徽理工大学电信学院,本次课程内容简要：,方式：知识回顾+例题演练,（速成版-为考试量身打造）,1.线性定常系统非齐次方程的解,线性定常系统非齐次方程解的组成： 自由运动+强制运动,当初始时刻 初始状态 时，其解为：,式中， 。,（2）,安徽理工大学电气系,当初始时刻为 ，初始状态为 时，其解为：,式中， 。,

2、证明过程: 1.积分法，详见Page-69 2.拉氏变换法:,上式左乘 ，得：,（5）,注意式（5）等式右边第二项，其中：,两个拉氏变换函数的乘积是一个卷积的拉氏变换，即,以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得 ：,安徽理工大学电气系,三种常见的激励及其对应的解（Page-70）,1.脉冲响应,即当 时解为：,2.阶跃响应,即当 时解为：,3.斜坡响应,即当 时解为：,例：已知系统状态空间表达式，求,解：,安徽理工大学电气系,安徽理工大学电气系,套路总结：,1.先写出系统矩阵A, 控制矩阵B, 输出矩阵C 2.求解状态转移矩阵：a.由定义求解（难以得到解析式，不推荐） b.变换系统矩阵为对角阵

3、、约旦阵 Page-62（推荐） c.拉氏反变换法（掌握拉氏反变换公式） （推荐） d.凯莱-哈密顿定理（Page-66） 3.观察激励是否为冲击、阶跃或者斜坡函数，如果是这三类函数，则求解可以直接套用公式。（Page-70） 4.由以上求解结果通过输出方程，求解输出量。,2.能控（观）标准型的实现,对于一个单输入单输出的系统，一旦给出系统的传递函数，便可以直接写出其能控标准型实现和能观标准型实现。 只有系统是完全能控（完全能观）才能化成能控（能观）标准型。,所以标准型实现的第一步是判断能控和能观性，下面看一下怎么判断能控和能观性。,线性定常系统的能控性判别,具有约旦标准型（或者变换为约旦标准

4、型）系统的能控性判别,1单输入系统,具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：,线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。,(1),安徽理工大学电气系,安徽理工大学电气系,系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 在A为对角阵的情况下，如果b的元素有为0的，则系统是不完全能控的 在A为约旦标准矩阵时，只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，系统是不完全能控的。 不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立块。,安

5、徽理工大学电气系,注意：如果在约旦标准阵中出现两个以上同一特征值有关的约旦块，对单输入系统，系统是不能控的；对多输入系统，则要考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关，如果线性无关，系统才是能控的。,安徽理工大学电气系,含义：,对于：,如果 行线性无关，则状态能控,u-x 间的传递函数阵为：,状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重合现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不能控系统。,单输入系统，从系统的传递函数阵判断系统的能控性,安徽理工大学电气系,(Page-44，45),线性连续定常单输入系统,其能控的充分必要条件是由A，

6、b构成的能控性矩阵,满秩，即rankM=n. 否则，当rankMn时，系统为不能控的。,直接从A与B判别系统的能控性,1单输入系统,(14),(13),安徽理工大学电气系,多输入系统，其状态方程为,式中，B为nr阶矩阵；u为r维列矢量。 其能控的充分必要条件M的秩为n.,(15),2多输入系统,安徽理工大学电气系,系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是出矩阵C中没有全为零的列。 若第i列全为零，则状态变量xi(t)为不能观的。,安徽理工大学电气系,在系统矩阵为约旦标准型矩阵的情况下，系统能观的充分必要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列（首列）的元素不全为零。,定常系统能观

7、性的判别 方法一,注意： 约旦阵J中没有两个约旦块与同一特征值有关，如果有两个约旦块与同一个特征值有关，则每个约旦块开头的一列（首列）线性无关；,安徽理工大学电气系,直接通过A和C构造N矩阵,系统能观的充要条件rankN=n,定常系统能观性的判别 方法二,判断好系统的能控和能观性之后 求解系统的能控标准型和能观标准型,1能控标准 I型,(1),若线性定常单输入系统：,是能控的，则存在线性非奇异变换：,安徽理工大学电气系,(2),(3),使其状态空间表达式(1)化成能控标准1型：,(4),其中,(5),安徽理工大学电气系,称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准I型。 其中 为特征多项式：,的各

8、项系数。,安徽理工大学电气系,是cTc1相乘的结果，即,例 将下列状态空间表达式变换成能控标准 I 型 解：方法一，（1）判别系统的能控性 系统能控，可以化为能控标准型。,安徽理工大学电气系,（2）A的特征多项式 （3）计算 可直接写出 ： 需通过计算得到,安徽理工大学电气系,（4）得到系统的能控标准 I 型为： 还可以直接写出系统的传递函数：,安徽理工大学电气系,若线性定常单输入系统：,2.能控标准 型,(6),相应的状态空间表达式(6)转换成：,(7),是能控的，则存在线性非奇异变换：,(8),安徽理工大学电气系,(10),(11),并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准 型。,式(9

9、)中的 是系统特征多项式：,的各项系数，亦即系统的不变量。,式(11)中的是 相乘的结果，即：,(12),安徽理工大学电气系,例：写出以下传递函数的能控标准II型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。,所以：,控标准II型为：,安徽理工大学电气系,套路总结,先根据M或零极点判别系统的能控性 计算系统的Tc1和Tc2 计算,安徽理工大学电气系,单输出系统的能观标准型,与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即 有：,系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。,若线性定常系统：,是能观的，则存在非奇异变换：,(13),(14),1能观标准 型,状态空间表达式

10、的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能观标准 型，它们分别与能控标准 型和能控标准 型相对偶。,安徽理工大学电气系,使其状态空间表达式(13)化成：,(15),(17),(18),称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准 I型。其中,是矩阵A的特征多项式的各项系数。,安徽理工大学电气系,取变换阵 ：,(19),2能观标准 型,(20),若线性定常单输出系统：,是能观的，则存在非奇异变换,(21),安徽理工大学电气系,-1,使其状态空问表达式(20)变换为：,(22),(24),(25),称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。,安徽理工大学电气系,例：试将下列状态空间表达式变换成

11、能观标准型,安徽理工大学电气系,解：,rank(N)=3，所以系统是能观的。,计算系统的特征多项式,即 a0=2 a1=-9 a2=0,安徽理工大学电气系,例：写出以下传递函数的第二能观测标准型。,解：,无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能观测标准型。,所以：,第二能观测标准型为：,安徽理工大学电气系,套路总结,先根据N或者零极点判别系统的能观性 计算系统的To1的逆矩阵和To2的逆矩阵 写出 计算,3.按能控性分解,设线性定常系统,(1),是状态不完全能控，其能控性判别矩阵：,的秩,则存在非奇异变换：,安徽理工大学电气系,(2),目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分。为实现做准备。,

12、将状态空间表达式(1)变换为：,(3),(5),(6),可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分解成能控的和不能控的两部分，其中 维子空问：,是能控的，而 维子系统：,是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 不起作用， 仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 维子系统，便可得到一个低维的能控系统。,安徽理工大学电气系,至于非奇异变换阵：,(7),其中 个列矢量可以按如下方法构成，前 个列矢量 是能控性矩阵M 中的 个线性无关的列，另外的 个列 在确保 为非奇异的条件下，完全是任意的。,安徽理工大学电气系,例：按能控性分解例题,系统的能控性矩阵,rank(

13、M)=2 系统不完全能控。,安徽理工大学电气系,解：构造非奇异变换阵,线性变换之后的状态空间表达式为,安徽理工大学电气系,能控子系统,不能控子系统,输出量分解y=y1+y2,R,按能观性分解,设线性定常系统：,其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵,的秩,(8),则存在非奇异变换：,(9),安徽理工大学电气系,将状态空间表达式(8)变换为：,(10),(12),(13),安徽理工大学电气系,安徽理工大学电气系,非奇异变换阵 是这样构成的，取,(14),其中前n1个行矢量 是能观性判别阵 中的n1个线性无关的行，另外的(n-n1)个行矢量 在确保 为非奇异的条件下，完全是任意的。,-1,例：按能观

14、性分解例题,解：系统的能观性矩阵,rank(N)=2 系统不完全能观。,安徽理工大学电气系,构造非奇异变换阵,线性变换之后的状态空间表达式为,按能控性和能观性进行分解 Page-142,1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这四个部分的。,安徽理工大学电气系,稳定性和李雅普诺夫方法,套路总结,能控性分解 构造非奇异矩阵Rc 能观性分解构造非奇异矩阵Ro 能控能观性分解 变换系统阵为约旦标准型,Lyapunov稳 定性方法 主要内容：,通过求解特征

15、方程的特征值，利用其性质判断系统的稳定性（间接法）,不求解微分方程，而利用经验和技巧构造能量函数-李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性（直接法）,其基本思路和分析方法与经典理论一致,特别适用于非线性系统和时变系统（因其状态方程求解困难）,对任意阶线性或非线性、定常或时变系统的稳定性分析均适用的一般性方法,4.稳定性和李雅普诺夫方法,安徽理工大学电气系,2)V(x)是正定的，即当 。,3)V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数 分别满足下列条件：,若 为半负定，那么平衡状态Xe为在李雅普诺夫意义下稳定。此称稳定判据。,若 为负定；或者虽然 为半负定但对任意初始状态 来说，除去x=0外，对 不恒为零。那

16、么原点平衡状态是渐近稳定的。如果进一步还有当 ， 则系统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。,1)V(x)对所有x都具有连续的一阶偏导数。,若 为正定，那么平衡状态 xe是不稳定的。此称不稳定判据。,安徽理工大学电气系,如果存在一个标量函数V(x) ，它满足：,例4-4：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：,令,原点是唯一平衡点,安徽理工大学电气系,设 则,半负定,反设,只有平衡状态 满足,安徽理工大学电气系,这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨迹上。,综合以上分析可知,系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。,安徽理工大学电气系

17、,例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 解：1),令,即原点是平衡状态。,设,安徽理工大学电气系,则：,其它,半负定,令,只有全零解,非零状态时,原点 是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。,安徽理工大学电气系,套路总结,1.令状态方程为0.求出平衡状态 2.构造利亚普诺夫函数V（x） 3.判断V（x）导数是负定还是半负定。如果是半负定判断在除平衡点之外是否恒为零,5 .状态观测器的设计,仿照系统（A,B,C)的结构，设计一个相同的系统来观测状态x，可以证明，这种状态观测器只有当观测器的初始状态与系统的初始状态完全相同时，观测器的输出才严格等于系统的实际状态X,要想保持初始状态相同，实际上是不可能的，所以利用输出信息对状态误差进行校正，便可构成渐进状态观测器。,渐进状态观测器 利用输出信息对状态误差进行校正。其结构图如下：,由结构图可得状态 观测器的方程：,由上式，又可以将观测器的结构图表示成如下图形：,由图可以看出，观测器的输入有两个：u、y，二输出则是状态向量的估计值 。,X,【例5-9】已知系统： 设计状态观测器使其极点为-10, -10。 解：（1）检验能观性 故能观，可构造观测器。 （2）将系统化为能观标准II型 系统特征多项式： 得：,（3）引入反馈矩阵 得观测器特征多项式,（4）由期望的极点