函数的极值最大值与最小值

1、第四节 函数的极值和最大、最小值,一、函数的极值及其求法,二、最大值最小值问题,一、函数的极值,定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于x0的x都有,极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点.,(1) 成立, 则称 为 f(x)的,极大值, 称 为f(x)的极大值点；,(2) 成立, 则称 为f(x)的,极小值, 称 为f(x)的极小值点；,1. 极值的定义,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点上.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,2. 极值存在的必要条件,定理1 设函数f(x)在

2、点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.,证明:,以f(x0)是极大值来证明.,因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,对任意的 都有,所以,当 时,所以,当 时,所以,使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,思考: 极值点是否一定是驻点? 驻点是否一定是极值点?,3. 极值的判别法,定理2 (第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0连续, 且在x0的某邻域内可导(点x0可除外). 如果在该邻域内,如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0不是f(x)的极值点.,因此可知x0为f(x)的极大值点.,同理可说明情形(2).,说明:

3、,对于情形(1)，由判别定理可知,当 时, f(x)单调增加,当 时, f(x)单调减少,的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的,判定函数极值一般步骤,(3) 判定每个驻点和导数不存在的点,两侧(在xi 较小的邻域内),极值点.,可知x=0为y的极小值点, 极小值为0.,例1.,所给的函数定义域为,解:,非极值,极小0,+,0,+,0,例2.,(1) f(x)在( )内连续 除x1外处,解:,(3) 列表判断,x1为不可导点,得驻点x1,(2) 令f (x)0,可导 且,定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数, 且,则,证: (1),存在x0的某邻域, 使,由判别法

4、1知,同理证(2).,说明: 当二阶导数易求, 且驻点x0处的二阶导数 时, 利用判定极值的第二充分条件判定驻点 是否为极值点比较方便.,但当 f (x0)0时 只能用方法1判断.,例3. 求函数f(x)(x21)31的极值,解:,f (x)6x(x21)2,令f (x)0,求得驻点x11 x20 x31,f (x)6(x21)(5x21),因为f (0)60,所以f (x)在x0处取得极,小值 极小值为f(0)0,无法用定理3-8判别,在1的左右邻域内f (x)0,所以f(x)在1处没有极值,同理, f(x)在1处也没极值,因为f (1)f (1)0,二、最大值最小值问题,怎样求函数的最大值

5、和最小值?,观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最大值或最小值点?,其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者,极值与最值的关系:,闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间端点及区间内的极值点处取得.,函数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者;,最大值和最小值的求法: (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;,(3)判断: 最大者是函数f(x)在a b上的最大值 最小者是函数f(x)在a b上的最小值,例4

6、. 求,在,上的最大值与最小值.,解:,令,得驻点,因为,所以,例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D点应选在何处？,解:,x,设ADx(km),y5kCD3kDB (k是某个正数),B与C间的运费为y 则,DB=100 x,其中以y|x15380k为最小,因此当AD15km时 运费最省,由于y|x0400k y|x15380k,解: 设观察者与墙的距离为x(m),则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点,又唯一,因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .,例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角 最大) ?,特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x