第三章时域分析-稳定性2009

1、3.5 线性系统的稳定性分析,稳定是控制系统的重要性能;是系统能够正常运行的首要条件;是控制理论研究的重要课题。 一、稳定性的定义 任何系统在扰动作用下，都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够以足够的准确度恢复到原始平衡状态，则称系统是稳定的。反之，称系统是不稳定的。,李亚普诺夫稳定性定义（俄国学者1892年提出的经典定义）,注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。,大范围内稳定：初始偏差不管多大，系统总是稳定的。 小范围内稳定：初始偏

2、差有一定限值。 渐近稳定：当t时，输出量的增量逐渐减小，稳态误差越来越小，（不是时高时低）。 大范围内渐近稳定 线性系统在小范围内渐近稳定的，则一定是大范围内渐近稳定的，而非线性系统，在小范围内稳定，大范围内不一定稳定。,三、线性系统稳定的充分必要条件 线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于左半s平面。,线性定常系统稳定性分析方法主要有： 劳思赫尔维茨判据（Routhhurwitz） 根轨迹法 奈魁斯特判据（Nyquist）,三、劳思赫尔维茨判据（Routhhurwitz）,1劳思判据 设系统特征方程为：,初步判断（系统稳定的必要条件

3、）:若稳定，则ai0（i=0,1,n）；若有ai0则必不稳定。（ai0是必要条件，但不充分）对于二阶系统，若ai0（i=0,1,2）则系统是稳定的。（ai0是二阶系统稳定的充分必要条件）,劳斯行列表 sn an an-2 an-4 an-6 sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 sn-4 d1 d2 d3 d4 : s0 ,判据 系统稳定的充分必要条件:劳斯表第一列数全部为正， 右半s平面根的个数等于劳斯表第一列数符号的改变次数。 劳斯表特点 a.右移一位降两阶 b.行列式第一列不动第二列右移 c.次对角线减主对角

4、线 d.分母总是上一行第一个元素 e.一行可同乘以或同除以某正数,例1已知特征方程为：,用劳斯判据判稳定性,例2已知特征方程为：,s6+2s5+3s4+5s2+6s+7=0,用劳斯判据判稳定性,. 劳斯判据的两种特殊情况 .劳斯表第一列出现0，则用一个很小的正数代替这个0，继续计算。,例3已知特征方程为：,用劳斯判据判稳定性,例4:设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,(64)/2=1,(10-6)/2=2,(6-14)/1= -8,说明：,1 右移一位降两阶。,2 行列式第一列不动， ty第二列右移。,3 次对角线减主对角线。,4 分母总是上一行第一个元素。

5、,6 一行可同乘以或同除以某正数,1,2,7,1,0,-8,劳 斯 表,结论：,该系统不稳定，有 个右根。,2,例,. 劳思判据的两种特殊情况 .劳斯表某一行全为零，表明特征方程有一些关于原点对称的根，可利用上一行构成一个辅助多项式，其导函数的系数代替全零行，继续计算。令辅助多项式等于零，可求得关于原点对称的根。,辅助方程或多项式的最高幂次总是偶数，等于对称于原点的特征根的个数。,例5已知特征方程为：,s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0,用劳斯判据判稳定性。,例6已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0求产生纯虚根为j1的z值和k值。,K=2，a=0.75,例

6、6：已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0,求产生纯虚根为j1的z值和k值。,解：,30,1,200,k,kz,6000-k,30kz,（6000-k)s2+30kz=0,有纯虚根，劳斯表一定有零行,6000k-k2-900kz,s4,s3,s2,s1,s0,6000k-k2-900kz=0,辅助方程:,零行的上两行一定成比例,30s2+k,=0,= 30+k,k = 30,代入左式得:,199,30,= 6.63,z =,30s2 + k =0,辅助方程可变为:,劳斯判据例题,2劳思判据的应用 参数的稳定域（参数的稳定域就是在保证系统稳定的条件下，参数取值的允许范围。）,例1已知,求K的稳定范围。,0K30,例2 已知系统特征方程：,求T的稳定范围。,稳定裕量,将s平面的坐标轴虚轴左移，再用劳斯判据，若系统仍然稳定，则系统具有稳定裕量。,令 （虚轴左移）代入特征方程，再