第二章 线性控制系统的运动分析

1、第二章 线性控制系统的运动分析,本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。,本章内容为,1 线性定常系统齐次状态方程的解; 2 状态转移矩阵;,3 线性定常系统非齐次状态方程的解; 4 线性时变系统的运动分析,线性连续系统方程的离散化; 6 线性离散系统的运动分析; 7 用MATLAB求解系统方程,2.1 线性定常系统齐次状态方程的解,线性定常系统齐次状态方程为,（1）,将（3）式代入（2）式,这时系统的输入为零,等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有,而,将（

2、5）式代入（1）式,如果,则,（8）,将（8）式代入（1）式验证,和,矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作,由于系统没有输入向量， 是由初始状态 激励的。因此，这 时的运动称为自由运动。 的形态由 决定，即是由矩阵A 惟一决定的。,2.2 状态转移矩阵,线性定常系统齐次状态方程的解为,或,其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到 ，再由 转移到 ， 。 的形态完全由 决定。,2.2.1 状态转移矩阵的基本性质,3）可逆性,即,2.2.2 状态转移矩阵的求法,方法1 根据定义，计算,方法2 应用拉普拉斯变换法，计算,对上式求拉普拉斯变换，得,如果 为非奇异,（9）,例2-

3、2 线性定常系统的齐次状态方程为,求其状态转移矩阵,解,方法3 应用凯莱-哈密顿定理，计算,凯莱-哈密顿定理： 矩阵 A 满足自身的特征方程。,即,根据凯莱-哈密顿定理,（11）,例 用凯莱-哈密顿定理计算,解,由凯-哈定理：,所以,凯莱-哈密顿定理,在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟凯莱与威廉卢云哈密顿命名）表明每个实或复方阵都满足方阵的特征方程式。 设A为给定的n*n矩阵，并设 I 为 n*n 单位矩阵，则 A 的特征多项式定义为： P()=det(I-A)=0 凯莱-哈密顿定理断言：P(A)=0 此定理对布于任何交换环上的方阵皆成立。 可以简化高次幂的运算 ;也是计算特征向量的

4、重要工具。,（11）式表明： 是 、 、 、 、 的线性组合,（12）,（其中， ）,例2-3 线性定常系统的齐次状态方程为,用凯-哈定理计算其状态转移矩阵,解,即,2）A 的特征值相同，均为,（16）,3）A 的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数 可以根据（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出状态转移矩阵,A 的特征值为,于是,状态转移矩阵,方法4 通过线性变换，计算,因为,1）矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵，计算,因此，状态转移矩阵为,解,（17）,2）矩阵 A 可以经过线性变换成为约当形阵，计算,状态转移矩阵为,（18）,3）矩阵 A 可以经过线性变换成为模

5、态形阵，计算,如果矩阵A的特征值为共轭复数 经过线性变换，可转换为模态矩阵M,其中,2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解,线性定常系统非齐次状态方程为,（20）,（21）式两边同乘 得,（24）,（24）式两边同乘 ，并且移项,（25）,（26）,（28）,由式（25）或式（27）可知，系统的运动 包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。 第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量 ，使 的形态满足期望的要求。,例2-8 线性定常系统的状态方程为,由（26）式,系统的输出方程

6、为,则,或,（29）,可见，系统的输出 由三部分组成。 当系统状态转移矩阵求出后，不同输入状态向量作用下的系统输出即可以求出，进而就可以分析系统的性能了。,第3次学生经典部分回顾及MATLAB实践讲解题目,1、控制系统的频率特性分析 及典型环节的Nyquist图和Bode图 2、闭环频率特性以及频率特性的特征量 3、Matlab的实践数据和函数的可视化,回顾,线性定常系统的解,关键是求状态转移矩阵，其求法有：根据定义，幂级数展开计算；应用拉普拉斯变换法，涉及到拉普拉斯变换及逆变换公式等；应用凯莱-哈密顿定理，运用特征方程的代数运算求解；通过线性变换,2.4 线性时变系统的运动分析,（30）,线

7、性时变系统方程为,证明,（30）式两边对 t 求导,并且 时,即,2.4.2 状态转移矩阵 的基本性质,1） 满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即,2） 可逆性,3） 传递性,4）,2.4.3 状态转移矩阵 的计算,（一般不满足乘法交换律，所以有）级数近似法计算,（35）,解,将 代入（35）式,其中,由于不满足,难以获得自由解的封闭形式。,2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程的解,（38）,2.4.5 系统的输出,（41）,2.5 线性连续系统方程的离散化,作以下假定： 1）被控对象上有采样开关； 2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息； 3）具有零阶保持器。,2.5

8、.1 线性时变系统,香农采样定理,采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论. 采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出，如果信号是带限的（即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。 ），并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。 带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于采样频率（即

9、奈奎斯特频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。,采样简介,从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。 连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字，称

10、为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。,采样简介,从采样定理中，我们可以得出以下结论： 如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表示为fN 相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。 以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。 在第一种情况下，被采样信

11、号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，频率超过5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。,令 ， ，则,（58）,（58）减（60）并且整理后，得到,令：,考虑到,于是,2.5.2 线性定常系统,（63）,离散化后得到,（64）,其中,刘豹主编的现代控制理论第二版PP.74 例2-13试将下面状态方程离散化。,如果采样周期T较小时，可以近似离散化。即G（T）=TA+1;H（T）=TB,2.6 线性离散系统的运动分析,2.6.1 线

12、性定常离散系统齐次状态方程的解,系统的齐次状态方程为：,其中，x(k)为n维状态向量,采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解,（65）,2.6.2 状态转移矩阵,若系统初始状态为 ，通过 将其转移到状态 ，故 称为状态转移矩阵。,1. 的基本性质,1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件,2）传递性,3）可逆性,2. 状态转移矩阵的计算,有4种状态转移矩阵的计算方法：按定义计算；用z反变换计算；应用凯-哈定理计算；通过线性变换计算。 在此，我们仅讨论用z反变换计算。,离散系统的齐次状态方程为：,对上式进行 z 变换,Z,例2-13 离散系统齐次状态方程为,求状态转移矩阵,解,Z,2.6.3 线性定

13、常离散系统(非齐次)方程的解,（69）,系统方程为,可以用迭代法求系统状态方程的解,2.6.3 线性时变离散系统方程的解,系统方程为,（72）,（用迭代法可以证明）,2.7 用MATLAB求解系统方程,2.7.1 线性齐次状态方程的解,使用MATLAB可以方便地求出状态方程的解。我们通过例子来说明。,程序执行结果,这表示,2.7.2 线性非齐次状态方程的解,通过以下例子说明。,例2-17 已知系统状态方程为,程序执行结果为,这表示,2.7.3 连续系统状态方程的离散化,在MATLAB中，函数c2d（）的功能就是将连续时间的系统模型转换成离散时间的系统模型。其调用格式为：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，输入参量sysc为连续时间的系统模型；T为采样周期（秒）；method用来指定离散化采用的方法 。,zoh采用零阶保持器； foh采用一阶保持器； tustin采用双线性逼近方法； prewarm采用改进的tustin方法；,matched采用SISO系统的零极点匹配方法； 当method为缺省时（即