两大连续分布与边缘概率分布

1、华中科技大学文华学院,概率论与数理统计,2010年3月5月,数学教研室 梁幼鸣Home）Mobil）,第三章,2 两大二维连续分布与边缘分布问题,二维随机变量及其概率分布,退出,知识点、考点举要,一基本概念,二基本计算公式与重要基本结论,退出,五,范例选析,两大二维连续分布,思考与练习,一,边缘分布函数、边缘分布列和边缘概率密度的概念,四,二,2 两大二维连续分布与边缘分布问题,二维正态分布和均匀分布的边缘分布,三,退出,退出,返回,一、两大二维连续分布,1. 二维均匀分布,( X，Y ) 的概率密度(联合密度函数),G:平面上的有界区域;

2、 AG: 区域 G 的面积,【温故知新】 一维均匀分布R( a, b ), L(a,b) = b a,退出,返回,如图, 区域G 的面积,例1-1 （X，Y）在区域,解,上服从均匀分布. 试写出其联合概率密度.,联合概率密度,一、两大二维连续分布,退出,返回,( X，Y ) 的概率密度(联合概率密度),参数共三组 (, 2 : 两均值标准差组, :相关系数),2. 二维正态分布,或者,一、两大二维连续分布,退出,返回,2. 二维正态分布,一、两大二维连续分布,退出,返回,X,Y,Z,例1-2 已知二维随机变量,试写出其联合概率密度.,解,显然, 参数,从而,返回,联合概率密度,一、两大二维连续

3、分布,ezmeshc(1/(18*pi)*exp(-( x2 + y2)/(18),-18,18,-18,18),退出,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,返回,例如, ( X , Y )的联合分布函数 F ( x, y ) P X x , Y y P (X x )( Y y ) .,从本质上讲，二维联合分布考察的是两随,机变量的积事件的概率,联合分布列,联合概率密度, P X x , Y y P X x P ( Y y ) | ( X x ) .,返回,1. ( X , Y )关于X 和Y 的边缘分布函数,二维随机变量( X , Y ) 的联合分布函数 F ( x, y ) , 当自

4、变量 y 时的极限, 称为关于随机变量 X 的边缘分布函数,记为FX ( x ); 同样, 当自变量 x 时的极限, 称为关于随机变量 Y 的边缘分布函数, 记为 FY ( y ). 换言之,FX (x) = P X x , Y ,= P X x,FY(y)= P X , Y y ,= P Y y ,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,【 联合与边缘分布函数的概率含义】,F (x, y ) = P X x , Y y ,返回,2. 离散( X , Y )关于X 和Y 的边缘分布列,【求边缘分布列的具体方法】,若联合分布列为,则关于X 的边缘分布列,作为一维随机变量的 X 和Y , 在对

5、方可取一切实数值时的分布列 和 , 称为由它们联合起来的二维随机变量( X , Y )分别关于X 和Y 的边缘分布列 .,关于Y 的边缘分布列,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,试据之求出（X，Y ) 的边缘分布律.,退出,返回,解,1 3,0 1 2 3,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,例2-1 将一枚硬币连掷三次时，若用X 表示三次中出现正面的次数, 用Y 表示三次中出现正面的次数与出现反面次数的差的绝对值，则可求出（X，Y ) 的联合分布律如下：,如表所示，将联合分布列加边, 然后逐行逐列地求和,3/4,1/4,1/8,1/8,3/8,3/8,所得即关于X 和 Y

6、的两个边缘分布列Pi .与P.j , 亦即有,退出,返回,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,( X, Y ) 关于 X 的边缘分布律为,( X, Y )关于 Y 的边缘分布律为,退出,返回,例2-2 设随机变量X 等可能地在1，2，3，4 中取值，随机变量Y 则等可能地在 1X 中取整数值，求（X，Y ) 的边缘分布律.,( X, Y ) 的联合分布律 Pi j 可先求出如下,解,1 2 3 4,1 2 3 4,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,1 2 3 4,退出,返回,1 2 3 4,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,例2-2 设随机变量X 等可能地在1，2，

7、3，4 中取值，随机变量Y 则等可能地在 1X 中取整数值，求（X，Y ) 的边缘分布律.,( X, Y ) 的联合分布律 Pi j 可先求出如下,解,1 2 3 4,退出,返回,再将其“加边”后逐行、逐列地求和, 即得边缘分布律Pi .与P.j,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1 2 3 4,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,例2-2 设随机变量X 等可能地在1，2，3，4 中取值，随机变量Y 则等可能地在 1X 中取整数值，求（X，Y ) 的边缘分布律.,解,退出,返回,( X, Y ) 关于 X 的边缘分布律为,( X, Y )关于

8、Y 的边缘分布律为,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,例2-2 设随机变量X 等可能地在1，2，3，4 中取值，随机变量Y 则等可能地在 1X 中取整数值，求（X，Y ) 的边缘分布律.,解,换言之,只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分,返回,3. 连续( X , Y )关于X 和Y 的边缘概率密度,【求边缘概率密度的具体方法】,若联合概率密度为,则关于X 的边缘概率密度,关于Y 的边缘概率密度,作为一维随机变量的 X 和Y , 在对方可取一切实数值时的概率密度 fX (x) 和 fY (y) , 称为由它们共同构成的二维随机变量( X , Y ) 的关于X 和Y 的边

9、缘概率密度.,返回,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,想求关于某变量的边缘概率密度吗？,只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分,退出,返回,例2-3 (X ,Y) 的联合概率密度,求常数c 和,y = x,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,解,由归一性得,想求关于某变量的边缘概率密度吗？,只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分,返回,x1时 f (x,y) = 0,x0时 f (x,y) = 0,y 0 时 f (x,y) = 0,y x 时 f (x,y) = 0,y = x,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,例2-3 (X ,Y) 的联

10、合概率密度,求常数c 和,解,想求关于某变量的边缘概率密度吗？,饭要一口一口地吃,仗要一个一个地打,退出,仗要一个一个地打,x 时 f (x,y) = 0,xy时 f (x,y) = 0,y 0 时 f (x,y) = 0,y 1 时 f (x,y) = 0,y = x,退出,返回,二、边缘分布函数、边缘分布列、边缘概率密度,例2-3 (X ,Y) 的联合概率密度,求常数c 和,解,饭要一口一口地吃,只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分,想求关于某变量的边缘概率密度吗？,退出,返回,解,例3-1 二维正态量,量的边缘概率密度,试求该二维正态,显然, 联合概率密度,从而关于X 的边

11、缘概率密度,三、二维正态分布和均匀分布的边缘分布,只需关于不是该变量的变量将联合密度在整个实轴上积分,退出,返回,同样, 关于Y 的边缘概率密度,解,例3-1 二维正态量,试求该二维正态,三、二维正态分布和均匀分布的边缘分布,量的边缘概率密度,想求关于某变量的边缘概率密度吗？,退出,返回,若二维正态量,即二维正态量( X,Y )关于X 的边缘概率密度,关于Y 的边缘概率密度,三、二维正态分布和均匀分布的边缘分布,仿例3-1可推出更一般的结论如下：,则其中每个单独的变量都是正态量, 且有,退出,返回,解,例3-2 二维均匀量,量的边缘概率密度,试求该二维均匀,显然, 联合概率密度,从而关于X 的

12、边缘概率密度,三、二维正态分布和均匀分布的边缘分布,退出,返回,解,例3-2 二维均匀量,量的边缘概率密度,试求该二维均匀,关于Y 的边缘概率密度,三、二维正态分布和均匀分布的边缘分布,结论: 若( X, Y ) R( a, b ;c ,d ),即若二维均匀量( X, Y )是矩形域上的均匀量, 则其每个单独的变量都是矩形各相应边上的均匀量, 即必有,退出,返回,解,例3-3 设,求该均匀量的两个边缘概率密度 和,是中心在原点半径为a 的圆域上的均匀量.试,记圆域为G, 则联合概率密度显然为,从而关于X 的边缘概率密度,三、二维正态分布和均匀分布的边缘分布,退出,返回,解,关于Y 的边缘概率密

13、度,三、二维正态分布和均匀分布的边缘分布,结论: 若二维随机变量( X, Y )是非矩形域上的均匀量, 则其单个变量不一定是实区间上的均匀量, 即 X 与Y 不一定都是一维均匀量.,例3-3 设,求该均匀量的两个边缘概率密度 和,是中心在原点半径为a 的圆域上的均匀量.试,退出,返回,例4-1 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:,与边缘概率密度.,概率,解,(1) 概率,四、范例选析,退出,返回,(2) 关于 X 的边缘概率密度,例4-1 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:,与边缘概率密度.,概率,四、范例选析,y x 时 f ( x , y )=0,解,x 0 y 时 f ( x

14、 , y ) =0,退出,返回,(3) 关于 Y 的边缘概率密度,例4-1 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:,与边缘概率密度.,概率,四、范例选析,解,退出,返回,例4-2 设 ( X, Y ) 在区域 D:,上服从二维,均匀分布. 求 ( X, Y ) 关于X 的边缘概率密度与 的值.,解, G的面积,四、范例选析, ( X, Y ) 的概率密度,又 关于X 的边缘概率密度,Y,退出,返回,例4-3 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:,x1时 f (x,y) =0,y 1 时 f (x,y) = 0,y x2 时 f (x,y) = 0,x-1时 f (x,y) =0,y =

15、1,y = x2,(-1,1),(1,1), 关于X 的边缘概率密度;, 概率, 常数 C ;,D,解,(1) 由归一性, 得,四、范例选析,| x | 1时 f (x,y) =0,退出,返回,y 1 时 f (x,y) = 0,y x2 时 f (x,y) = 0,(2) 边缘概率密度,D,四、范例选析,例4-3 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:, 关于X 的边缘概率密度;, 概率, 常数 C ;,解,| x | 1时 f (x,y) =0,退出,返回,y 1 时 f (x,y) = 0,y x2 时 f (x,y) = 0,D,(3),先求关于Y 的边缘概率密度:,四、范例选析,例

16、4-3 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:, 关于X 的边缘概率密度;, 概率, 常数 C ;,解,| x | 1时 f (x,y) =0,退出,返回,y 1 时 f (x,y) = 0,y x2 时 f (x,y) = 0,D,四、范例选析,例4-3 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:, 关于X 的边缘概率密度;, 概率, 常数 C ;,(3),先求关于Y 的边缘概率密度:,解, 概率,退出,返回,|x|1时 f (x,y) =0,y 1 时 f (x,y) = 0,y x2 时 f (x,y) = 0,(3) 概率 (求法二:广义重积分法),y = 1,y = 1/2,(-1,1),(1,1),y = x2,D,四、范例选析,例4-4 设 ( X, Y ) 的概率密度,试求:, 关于X 的边缘概率密度;, 概率, 常数 C ;,解,退出,返回,概率统计练习册 P19：1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (二维离散与连续随机变量基础知识) P20: 2.(求二维离散变量的联合分布律) 3.(求联合概率密度的未知参数与计算概率),思考与练习,参考答案,退出,返回,(6) , ,(3) , ,(4) , ,(2),以及,1 (1) ,(5),参考答案,退出,返回,*2,3 (1) (2),(3) (4),概