常微分方程3.1 可降阶的高阶微分方程

1、第三章二阶及高阶微分方程,3.1可降阶的高阶方程,3.3线性齐次常系数方程,3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法,3.5高阶微分方程的应用,3.2线性微分方程的基本理论,前一章介绍了一些一阶微分方程的解法,在实际的应用中，还会遇到高阶的微分方程，在这一章，我们讨论二阶及二阶以上的微分方程,即高阶微分方程的求解方法和理论.,3.1可降阶的高阶方程,n阶微分方程的一般形式是:,一、可降阶的高阶方程,(3.1.2),对上式进行k次积分,可求出方程(3.1.2)的解.,求解方法:,若能求得其通解为:,令,就可把(3.1.2)化为关于,即,(3.1.2),例求解方程,解,将方程积分三次,通解：,它是一

2、个一阶方程,通解是:,则方程可化为:,即,解:令,例、求解方程,积分四次,得原方程的通解为:,例解方程,解,令,代入原方程,2、不显含自变量t的方程,求解方法:,方程的一般形式为:,(3.1.3),由数学归纳法知,可用,(3.1.3),即有新方程:,它比原来的方程降低了一阶.,解,代入原方程,例,可分离变量方程,所以,例求解方程,于是原方程化为:,作为新未知变量,取,代入原变量得:,故原方程的解为:,3、全微分方程和积分因子,若方程,的左端是某个n-1阶微分表达式,对t的全导数，即,称(3.1.4)为全微分方程，显然有,(3.1.4),(3.1.5),若求得（3.1.5）的全部解:,则它也一定

3、是(3.1.4)的解.,但乘以一个合适的因子,因子.,(3.1.4),(3.1.5),例求解方程,解：原方程可以写成,即,积分后得通解为,故有,例求解方程,解:方程两边乘以因子,方程化为:,故有,解得,故原方程的解为,微分方程,满足条件,的特解是,或,解,可分离变量方程,即,练习,求微分方程,的积分曲线,使该,积分曲线过点,且在该点的切线斜率为2.,解,方程,代入方程,得,所求积分曲线为,练习,思考题,解,积分方程,过曲线y=f(x)上点(x,f(x)处的切线方程为,积分方程,两边对x求导,即,代入上式,得,可分离变量方程,可分离变量方程,分离变量并积分,得,再积分,得,即为所求.,4、可降阶

4、的高阶方程的应用举例,例、追线问题,图3.1,根据条件有:,（3.1.7）,（3.1.6）,（3.1.8）,把（3.1.6）代入（3.1.8），并记,得:,由（3.1.9）和（3.1.10）得到m的追线方程,（3.1.10）,（3.1.11）,（3.1.9）,即,例、悬链线问题,有一绳索悬挂在a和b两点(不一定是在同一水平线),如图3.2所示.设绳索是均匀的,柔软的,仅受绳本身的重量作用,它弯曲如图中的形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状.,a,b,c,o,图3.2,考虑绳索在最低点c与点,之间的一段,这一段在下面三个力的作用下平衡:,得：,（3.1.1）,或,（3.1.1）,目前的跳远世界记

5、录是mikepowell在1991,年创造的，成绩是8.95m.但我们最感兴趣的是,bobbeamon在1968年于墨西哥城奥运会上创造的,当时世界记录，成绩是8.90m这个成绩超过以前,记录55cm.有人认为部分原因是由于墨西哥城空气,的稀薄造成的（墨西哥城的海拔是2600m）稀薄的,空气对跳远者意味着有较小的空气阻力试建立微,分方程模型来论述这种解释是否合理,例bobbeamon的跳远记录,解,例,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点a(1,0),处的乙舰发射制导导弹,如果乙舰以最大的速度v0(v0是常数)沿平行于y轴的,目标的跟踪问题,导弹头始终对准乙舰.,直线行驶,导弹的速度是5v0,又问乙舰行驶多远时,它将被导弹击中?,设导弹的轨迹曲线为,并设经过时间t,导弹位于点p(x,y),乙舰位于点q(1,v0t),由于导弹头始终对准乙舰,直线pq就是导弹的轨迹曲线弧op在点p处的切线,求导弹运行的曲线方程.,即,弧op的长度为|aq|的5倍,即,(1),(2),由(1)式与(2)消去v0t就得,积分方程,(3),积分方程,(3),将(3)式两端对x求导并整理,得,方程(4)转化为,令,初值条件:,(4),可分离变量方程,分离变量,不显含未知函数的二阶微分方程初值问题.,两边积分,根据初始条件,即,得,得,将(5)式有理化,得,(5),(6),(5)+(6),得,