第1讲 等差数列、等比数列

1、专题四数列第1讲等差数列、等比数列1.an与Sn的关系Sn=a1+a2+an,2.等差数列和等比数列,3.求和先研究数列的通项，根据通项选择方法，化归为基本数列求和.（1）若cn=anbn，an为等差数列，bn为等比数列，则用错位相减法.（2）若cn=an+bn，则用分组求和，其中分组的方法比较灵活.（3）裂项相减法形如an=等.（4）倒序相加法.,一、等差数列的通项及前n项和例1已知an是一个等差数列，且a2=1,a5=-5.（1）求an的通项an；（2）求an前n项和Sn的最大值.思维启迪由a2及a5的值，可求出等差数列an的首项a1及公差d，从而求出通项公式an.再由Sn的公式可求出Sn

2、的表达式，利用二次函数求最值即可求出Sn的最大值.,解（1）设an的公差为d,由已知条件，所以an=a1+（n-1）d=-2n+5.（2）Sn=na1+=-n2+4n=4-（n-2）2.所以当n=2时，Sn取得最大值4.探究提高（1）涉及等差数列的有关问题时往往用待定系数法“知三求二”进而解决问题；（2）等差数列前n项和的最值问题，经常转化为二次函数的最值；有时利用数列的单调性（d0,递增；d0,递减）；（3）等差数列的性质：设m、n、p、q为自然数，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.,变式训练1（2009安徽理，5）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=9

3、9,以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A.21B.20C.19D.18解析(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d,99-105=3d,d=-2.又a1+a3+a5=3a1+6d=105,a1=39.Sn=na1+=-n2+40n=-(n-20)2+400.当n=20时，Sn有最大值.,B,二、等比数列的通项及前n项和例2（2009枣庄模拟）设数列an是公差为d的等差数列，a3+a5=2,S20=a1+a2+a20=150，又bn=(nN*).（1）求a1、d的值；（2）求证：bn是等比数列，并求bn；（3）设k为某个自然数（k0），求bkbk+1+bk+1b

4、k+2+bn-1bn的值.思维启迪（1）用等差数列的基本量；（2）用等比数列的定义判断；（3）先判断数列bn-1bn为等比数列.,（1）解由题设（2）证明bn=,bn+1=,=.3an+1-2an+2-an=3(an+d)-2(an+2d)-an=-d=-1,bn是等比数列.b1=1,bn=.,（3）解由（2）得bkbk+1=,bkbk+1,bk+1bk+2,bn-1bn是首项为，公比为的等比数列，bkbk+1+bk+1bk+2+bn-1bn,探究提高（1）判断数列bn是否为等比数列，可用定义：为常数.也可用=bn-1bn+1来判断，但要注意bn0.（2）求等比数列的前n项和要注意：当q1时，

5、用公式Sn=当q=1时，用公式Sn=na1.,变式训练2（2009山东文，20）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*,点（n,Sn）均在函数y=bx+r(b0且b1，b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值；（1）证明由题意，Sn=bn+r,当n2时，Sn-1=bn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).由于b0且b1,所以n2时，an是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1),(2)解,三、等差、等比数列的综合问题例3将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1,a2,

6、a4,a7,构成的数列为bn,b1=a1=1.Sn为数列bn的前n项和,且满足,（1）证明：数列成等差数列,并求数列bn的通项公式；（2）上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=-时,求上表中第k（k3）行所有项的和.思维启迪（1）巧妙地对变形得到是等差数列，进而求出bn.（2）通过此表的分析得出a81在表中的位置，即确定首项和公比，求出第k行的所有项的和.,（1）证明由已知,当n2时,又Sn=b1+b2+bn,所以,即=1,所以,又S1=b1=a1=1.所以数列是首项为1,公差为的等差数列.由上可知所以,当n2时,bn=Sn-Sn-1=

7、.,因此,（2）解设上表中从第3行起,每行的公比都为q,且q0.因为1+2+12=78,所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项,故a81在表中第13行第3列,因此a81=b13q2=-.又b13=-,所以q=2.记表中第k（k3）行所有项的和为S,则S=,n=1,n2.,探究提高数列项的变化呈规律性，这是等差、等比数列的特征，在高考中，这种变化的规律性经常用数表或图形给出，也可以是给出信息根据新信息解题，对考查学生的创新能力提出了较高的要求.新课标教材的学习，十分重视创新、立意鲜明、背景鲜明、设问灵活.解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理

8、，综合运用新的信息和数学知识分析，解决新情境问题.,变式训练3（2009全国理，19）设数列an前n项和为Sn,已知a1=1.Sn+1=4an+2.（1）设bn=an+1-2an，证明：数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式.解（1）由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3.又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-（4an+2）=4an+1-4an,于是an+2-2an+1=2（an+1-2an)，即bn+1=2bn.因此数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.,（2）由（1）知等比数列bn中b1=3,公比q=2,所以an+1-2an=

9、32n-1,于是,因此数列是首项为,公差为的等差数列,所以an=（3n-1）2n-2.,规律方法总结1.在等差或等比数列中，已知五个元素a1,an,n,d(或q），Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”.本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差d(或公比q).2.数列an是等差或等比数列的证明方法（1）证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an+1-an（nN*）为常数；利用中项性质，即证明=an-1+an+1(n2).（2）证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明=an-1an+1(n2).,3.

10、常用性质（1）等差数列an中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq；等比数列an中，若m+n=p+q,则aman=apaq；（2）在等差数列an中，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-（k-1）n,成等差数列，其中Sn为前n项的和，且Sn（nN+）；在等比数列an中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,Skn-S(k-1)n,成等比数列，其中Sn为前n项的和，且Sn0(nN+).（3）在等差数列an中，有S2n-1=(2n-1)an.事实上，对于等差数列an,有,（4）对于等差数列an若项数为2n（nN*）,则S2n=n（an+an+1）（an,an+1为中间两项）S偶-S奇=n

11、d；若项数为2n-1（nN*）,则S2n-1=（2n-1）a中，S奇-S偶=a中，.,一、选择题1.（2009重庆文，5）设an是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（）A.B.C.D.解析a1,a3，a6成等比数列，则(a1+2d)2=a1(a1+5d),a1d=4d2,d=,Sn=na1+,A,2.（2009辽宁理，6）设等比数列an的前n项和为Sn,若=3,等于（）A.2B.C.D.3解析由题意知q3=2.,B,3.（2009菏泽调研）在等差数列an中，a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为（）A.20B.22C.24D.-8解

12、析a1+3a8+a15=5a8=120a8=242a9-a10=2（a8+d）-（a8+2d）=a8=24.故选C.,C,4.已知等比数列an中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A.（-，-1B.（-，0）（1，+）C.3，+）D.（-，-13，+）解析设等比数列的公比为q,a2=1,a1=,a3=a2q=q.S3=+1+q,当q0时，S33(q=1时取等号)；当q0时，S3-1(q=-1时取等号).,D,二、填空题5.已知函数f（x）=2x,等差数列an的公差为2.若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4,则log2f（a1）f（a2）f（a3）f（a10）=.解析f（a2+a4

13、+a6+a8+a10）=4,a2+a4+a6+a8+a10=2.又a1+a3+a5+a7+a9=（a2-d）+（a4-d）+（a10-d）=2-5d=-8,a1+a2+a10=2+（-8）=-6.log2f（a1）f（a2）f（a10）=log2（）=a1+a2+a10=-6.,-6,6.（2009辽宁理，14）等差数列an的前n项和为Sn,且6S5-5S3=5,则a4=.解析由题意知=15a1+45d=15（a1+3d）=15a4=5,故a4=.7.等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11,a99a100-10，1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是.,解析由

14、,正确,正确.,错,由T198=a1a2a198=（a1a198）（a2a197）(a99a100）=（a99a100）991,T199=a1a2a199=（a1a199）（a2a198）(a99a101）a100=（a100）1991,正确.答案三、解答题8.（2008四川理，20）设数列an的前n项和为Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn.（1）证明：当b=2时，an-n2n-1是等比数列；（2）求an的通项公式.,（1）证明由题意知：a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn,ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1,-得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1,即an+1=ban+2n.当b=2时，由知，an+1=2an+2n.于是an+1-（n+1）2n=2an+2n-（n+1）2n=2（an-n2n-1），又a1-121-1=10,所以an-n2n-1是首项为1,公比为2的等比数列.（2）解当b=2时，由（1）知,an-n2n-1=2n-1，即an=（n+1）2n-1,当b2时，由得,an+1-2n+1=ban+2n-2n+1=ban-2n=b因此an+1-2n+1=bn=,9.（2009济南模拟）等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.（1）求数