第4章控制系统的稳定性课件

1、第四章，李雅普诺夫稳定性分析，在本章中，实际非线性系统的稳定性分析仅限于几个简单的情况。4.3李雅普诺夫稳定性分析，4.2雅普诺夫稳定性理论，4.1概述，本章结构如下，4.4非线性系统的稳定性分析，当脑血管中的血流短暂停滞时？会导致大脑某一部分活动突然失败，导致昏迷和失去知觉。丈夫和财产，各归其根。归根结底，据说和平是生活的答案。答案是常，知常是明。我不知道，犯错误，变得凶猛，稳定中央状态，变得稳定，老子意义上的稳定涵盖了许多现象，可以用老子意义上的稳定来描述，从简单的钟摆运动到心跳，从核外电子运动到天体运行，从天气变化到世界变化，从生物现象到心理现象。线性时不变系统的稳定性分析方法很多。然而

2、，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法可能很难甚至不可能实现。李雅普诺夫稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。4.1、李亚普诺夫提出了两种解决稳定性问题的方法，即李亚普诺夫第一方法和李亚普诺夫第二方法。第二个规则是定性方法。它不是求解困难的非线性微分方程，而是构造一个李雅普诺夫函数，研究它的正定性和系统方程解的全导数随时间的负或半负确定性，并得到稳定性结论。第一种方法通过求解微分方程来分析运动的稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程的特征值分布来判断原非线性系统的稳定性；4.2李雅普诺夫意义下的稳定性问题称为系统的平衡态或平衡点。假设在给定的初始条件下，上述公式有唯一的解

3、。因此，该方程是一个维状态向量，它是变量、和t的一个n维向量函数。考虑下面的非线性系统，4.2.1平衡状态，当A是一个奇异矩阵时，系统中会有无限个平衡状态。如果系统是线性时不变的，也就是说，当A是非奇异矩阵时，系统有唯一的平衡状态，而对于非线性系统，有一个或多个平衡状态，它们对应于系统的常数解(对于所有T总是存在的)。平衡态是：非线性系统。注意：由于非零平衡点可以通过坐标变换移动到状态空间的坐标原点，本章讨论原点平衡状态的稳定性。稳定性是相对于平衡点的，4.2.2初步知识，1。范数的概念，定义：在N维状态空间中，向量X的长度称为向量X的范数，用符号X表示，然后是向量距离：在N维状态空间中，X-

4、Xe称为向量X和Xe之间的距离，用定义域表示：在N维状态空间中，当X-Xe被限定在某个定义域中时，定义域的几何意义是：在N维状态空间中，用Xe作为半径，用s()表示。示例4.0:设置以下两个向量，并分别计算相应的范数和向量距离。在基于李雅普诺夫第二方法的稳定性分析中，有一种起着非常重要作用的函数，即二次函数，并且每个项的阶数都是二次的。请注意，这是一个实向量和实对称矩阵。例如，2。二次函数，3。标量函数的正定性。如果定义域中有所有非零状态，并且定义域中有一个标量函数(定义域包含状态空间的原点)，则称之为正定函数。4。标量函数的负定性称为半正定(非负定)。它是负定的；5.标量函数的正半定性；6.

5、标量函数的负半定性，它是半负定(非正定)和不定的；7.标量函数的不确定性，例4.1这个例子假设X是一个二维向量。二次型可以用西尔维斯特准则来判断。(1)二次型或正定当且仅当矩阵p的所有主行列式都是正的，(3)当p是半正定的；(1)所有二次型的解可以写成，利用Sylvester准则，可以得到矩阵P的所有主行列式都是正值，所以它们是正定的。如果系统具有对应于任何选定实数的实数，从而满足来自任何初始状态的解，则在李雅普诺夫意义下，平衡状态被称为是稳定的。其中，实数既与，也一般与。如果与此无关，就说这个平衡态是一致稳定的。4.1.2李雅普诺夫意义上的稳定性定义，1。李雅普诺夫意义下的稳定性、x0、如果

6、系统具有对应于任何选定实数的实数，那么来自任何初始状态的解是渐近稳定的，并且必要条件是只有一个状态空间。3。大范围渐近稳定，稳定范围：无论如何给定，相应的不能超过一定的正数，这叫做稳定范围。如果它是任意大的，运动被称为大尺度稳定。1)线性化非线性系统2)计算线性化方程的特征值3)根据线性化方程的特征值判断原非线性系统的稳定性。4 . 2 . 1雅普诺夫第一方法，4.2雅普诺夫稳定性基本定理，线性系统的稳定性判据，矩阵A的所有特征值都有负实部。状态稳定性，或系统的内部稳定性。在实际工程问题中，系统的输出稳定性更具有实际意义。线性系统的输出稳定性判据是：系统传递函数，所以系统的输出是稳定的，非线性

7、函数在平衡态附近展开成泰勒级数，然后有，或有文字，非线性系统的状态方程是，2。非线性系统的稳定性判据，其中常数和(I，j=1，2)是正因为如此，线性化方程是线性化方程(忽略高阶小量)是一种重要的和广泛使用的近似分析方法。现在我们缩小了问题的范围，只考虑稳定性问题，并提出在什么条件下线性化系统可以代替原来的非线性系统？然而，这是正确的吗？众所周知，线性系统与非线性系统有着本质的区别，线性化系统的解和结论不能随意推广到原非线性系统。线性化方程(忽略高阶小量)是一种重要且应用广泛的近似分析方法。注：在工程技术中，许多系统本质上是非线性的，求解非线性系统是非常困难的，所以线性化系统经常被用来逼近它。定

8、理4.1(李雅普诺夫)如果线性化系统的系统矩阵A的所有特征值都有负实部，则原非线性系统的平衡态总是渐近稳定的，并且系统的稳定性与高阶导数项无关。定理4.2(李雅普诺夫)如果线性化系统的系统矩阵A的至少一个特征值具有正实部，则不管高阶导数项如何，原始非线性系统的平衡状态是不稳定的。定理4.3(李雅普诺夫)如果线性化系统的系统矩阵A具有实部为零的特征值，而其他特征值的实部都为负，那么在这种临界情况下，原始非线性系统平衡状态的稳定性取决于高阶导数项，它可能是不稳定的或稳定的。此时，线性化方程不再能用来表征原非线性系统的稳定性。解答：从问题的意义来看，这个非线性系统有两种平衡状态。首先，它在处被线性化

9、。非线性系统在时不稳定，在时线性化。这个系统非常稳定。4.2.2李雅普诺夫的第二种方法，1李雅普诺夫的函数，如果系统被激发，其能量不仅相反，如果系统被激发并不断从外界吸收能量，其能量储存量越来越大，那么这种平衡状态是不稳定的。如果能量储存在系统被激发后既不增加也不消耗，这个平衡状态在李雅普诺夫意义上是稳定的。李雅普诺夫的第二种方法，也叫直接法，其基本思想是用标量函数来判断系统平衡状态的稳定性。李氏函数通常是状态分量和时间t的标量函数，用。如果它与t无关，它可以用。球B被扰动后，偏离平衡点A到达状态C或状态D，(B)图中的渐近稳定性是局部的，(C)图中的平衡状态是不稳定的，图中的表面是光滑的，李

10、雅普诺夫稳定表面是摩擦的和渐近稳定的，而实际系统是复杂多样的，因此很难找到一个能量函数来直接描述系统的能量关系。直观定义：正定且有界，可视为“一种”。对于简单系统，李雅普诺夫函数被视为系统的二次函数。对于复杂系统，没有构造李普希茨函数的一般方法，只能根据研究者的经验来选择，实践表明李雅普诺夫函数远比二次型复杂。是相应能量随时间的变化率。从物理上讲，能量是有限的。如果能量的变化率为负，系统的所有运动都是有界的，并最终回到平衡点。由于寻找李雅普诺夫函数主要依赖于探索，需要一定的经验和技巧，李雅普诺夫第二种方法的推广和应用受到了严重阻碍。(1)V(X)对所有X都有连续的一阶偏导数；(2)如果v (x

11、)是正定的，它在大范围内一致渐近稳定。一致渐近稳定；a是负的，如果当时，(3)v(x)对时间的导数：分别满足下列条件，2李雅普诺夫第二方法，一些解释：1。物理意义上，构建的能量函数突出了两个特征：一是物理系统的能量是正的，二是能量不断被消耗，能量被耗尽并返回平衡点；2。几何意义、C1、C2、C3、3。特别说明：该定理给出了渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足该定理条件的V(x)，系统是一致渐近稳定的；但如果找不到函数V(x)，并不意味着系统不稳定。此外，对于复杂系统，很难找到李氏函数。显然，原点(，)是唯一的平衡状态。定义一个正定标量函数，其中v (x)是负定的，V(x)是李雅普诺夫函数。系统

12、在原点的平衡态在很大范围内是渐近稳定的，因为它随着。解决方案：例4.4考虑了以下非线性系统并试图确定其稳定性：1)确定系统的平衡状态，即系统的平衡状态；2)定义一个李金普洛夫函数V(x)，它是渐近稳定的、不稳定的和稳定的；并通过李雅普诺夫第二方法证明了当A10和A20在一个大的范围内原点是渐近稳定的平衡态。课堂作业，为广泛的渐进稳定。是渐近稳定的；b，虽然是半负的，但对于任何初始状态，它并不总是零。(3)v(x)对时间的导数，分别满足下列条件，2李雅普诺夫第二方法，(2)不总是等于0，这意味着轨迹在某个时间与曲面相交，但仍是例4.4确定具有给定连续时间的稳定系统的稳定性。溶液：体系的平衡态为。

13、是正定的；(ii)，可以看出(a)是任意的，(b)是任意的，以及(iii)检查是否。外面，都有。它是半阴性。检查(a)是否是系统的扰动解。因为它是可以推导出来的，所以把它代入系统的方程得到，这表明它不是系统的扰动解，除了点()。在检查(b):时，可以推导出将其代入系统方程不是系统的扰动解。(四)显然，当系统在原点的平衡状态下在大范围内渐近稳定时。解：线性系统，所以它是唯一的平衡点。已知系统的状态方程由李氏第二种方法判断。将状态方程展开成矩阵形式得到：取标量函数，这样原系统是不稳定的。(3)v(x)对时间的导数分别满足以下条件，李雅普诺夫第二方法是不稳定的，这是不稳定判据。如果，是正定的，并且，

14、不常数为零，那么系统是不稳定的。如果它是半正定的，对于X0，应该注意，李雅普诺夫第二方法给出了充分条件，而不是必要条件。(1)这里只给出了充分条件。如果李雅普诺夫函数V(x，t)可以构造，那么系统是渐近稳定的。但是如果我们找不到这样的李雅普诺夫函数，我们就不能给出任何结论，也不能说系统是不稳定的。(2)对于渐近稳定的平衡态，李雅普诺夫函数必须存在。(4)对于非线性系统，通过构造特定的李雅普诺夫函数，可以证明系统在稳定区域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定区域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在一个渐近稳定的平衡态，它必须在大范围内渐近稳定。(3)本文给出的稳定性定理不仅适用于线性系统、非

15、线性系统，也适用于稳态系统和时变系统，具有极其普遍的普遍意义。(1)是正定的标量函数；(2)并非所有的系统都能证明系统是稳定的或不稳定的；(3)如果存在，一般是非唯一的，但关于稳定性的结论是一致的；(5)它只提供了平衡点附近的运动情况，而完全不能反映域外运动的任何信息；(6)施工需要一些技巧。(4)最简单的形式是二次型；强调：对于李氏函数的讨论，对于公式(4.3)的系统，选择下面的二次李雅普诺夫函数，即线性时不变系统的4.4李雅普诺夫稳定性分析，假设A是一个非奇异矩阵，存在一个唯一的平衡态，其平衡态的稳定性可以很容易地用李雅普诺夫第二方法研究。当且仅当，沿任意轨迹的时间导数是，并且充分性证明，

16、是李函数，p是正定对称矩阵，V(X)是正定的。其渐近稳定的充分条件是p正定的。必要性很小，对此定理作如下解释：(4)为便于计算，正定矩阵Q，通常为QI；q可以是半正定的，也就是说，计算更简单。在实际应用中，如果有，q可视为正半定。(1)一般先取正定矩阵Q，引入李氏方程求出P，判断P的正定性，从而判断系统的稳定性；(2) QI通常是为了便于计算而采用的。此时，实对称矩阵p可以由下面的公式确定，并且解可以是李雅普诺夫函数。通过扩展矩阵方程，联立方程可以作为、获得，并且可以通过求解方程获得。为了检验p的正定性，可以检验每个主行列式。显然，p是正定的。原点的平衡态是渐近稳定的，李雅普诺夫函数是渐近稳定的。此时，示例4.7试图确定系统增益k的稳定范围，如图4.3所示。该解易于确定系统的状态方程。当确定k的稳定范围时，假设输入u为零。因此，上述公式可以写成：如果P的每一个元素都被求解，P就变成了正定矩阵，或者，线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析，系统在平衡状态下大范围渐近稳定的充要条件：对于任何给定的连续对称正定矩阵Q(t)，存在一个连续对称正定矩阵P(t)。哪里？考虑以下线性时变连续系统，这是系统的李氏函数。证明了：是李函数，p是正定对称矩阵，V(X)是正定的。取Q(t)=Q