第2章 控制系统的状态空间模型

1、现代控制理论基础,引言,内部描述与外部描述状态空间描述法的特点内容安排模型状态变量和状态模型的概念；怎样建立状态模型；状态变量模型的相互转换分析状态方程的求解；系统的可控和可观性设计以极点配置为目标的观测器的设计；二次型最优控制,第2章控制系统的状态空间模型,2-1状态及状态空间表达式2-2由微分方程求状态空间表达式2-3由传递函数求状态空间表达式2-4状态方程的线性变换,2-1.状空间表达式,在现代理论当中，由于引入了状态变量，从而形成了一整套新的理论。它的数学模型就是状态空间表达式。一.状态及状态空间1.什么叫系统的状态呢？状态：系统过去、现在和将来的状况定义：能够完全描述系统时域行为的一

2、个最小变量组，称为系统的状态，而上述这个最小变量组中的每个变量称为系统的状态变量。,完全描述：若给定t=t0时刻这组变量的值（初始状态）又已知tt0时系统的输入u(t)，则系统在tt0时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。,最小变量组：即这组变量应是线性独立的。,2.状态空间：定义：由系统的n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状态空间。引入状态空间，即可把n个状态变量用矢量形式表示出来，称为状态矢量,又表示为：x(t)Rnx(t)属于n维状态空间,4.状态轨线：定义：系统状态矢量的端点在状态空间中所移动的路径，称为系统的状态轨线，代表了状态随时间

3、变化的规律。例如：三阶系统应是三维状态空间，初始状态是x10,x20,x30。在u(t)作用下，系统的状态开始变化，运动规律如下：,引入状态矢量后，则状态矢量的端点就表示了系统在某时刻的状态。,1什么是状态空间表达式研究（t0t）区间的响应。它是一组一阶微分方程组和代数方程组成，分别表示系统内部和外部行为，是一种完全描述。即只需t=t0时刻的初始条件及输入，即该时刻的状态变量与该时刻的输入即可列写方程。动态方程包括：状态方程：描述状态变量与输入变量之间的关系，常为一阶微分方程组输出方程：描述输出与输入状态变量的关系，常为代数方程组。2.建立方法：,二.状态空间表达式（状态变量模型）,例2-1.

4、试建立机械位移系统的状态空间表达式.,y(t),弹簧-质量-阻尼器系统,解：列基本方程：,选择状态变量：取：,故得：,将以上方程组写矩阵形式,记为,A系统矩阵,B输入矩阵,C输出矩阵,状态方程,输出方程,系统的完整描述，必须具有两部分内容，前者刻画出系统运动的内部过程，后者则表达系统内部运动与外部的联系。,结论：列写系统的状态空间表达式的一般方法1.首先根据基本规则列基本方程；2.选择系统的状态变量；（按状态定义选）3.列写系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。,2.一般形式：,对于一般的n阶线性定常系统（n个状态，r个输入，m个输出）,其中：,C-输出矩阵mn阶常数矩阵D-直连矩阵（

5、前馈矩阵）mr阶常数矩阵,3.一般线性时变系统：,区别在于：上述矩阵是时间t的函数(变系数微分方程),4.非线性定常系统:,6.线性系统状态空间表达式的简便写法：对任意阶次的线性系统，其状态空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:=(A,B,C,D)定常=(A(t),B(t),C(t),D(t)时变,5.非线性时变系统：,三.线性系统的结构图根据线性系统的状态空间表达式的一般形式：,按单变量系统的结构图绘制原则，一般线性系统可用这种图形象的表达出来。,结构图：,绘制步骤：（1）绘制积分器（2）画出加法器和放大器（3）用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方

6、向。,在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图,例：单输入单输出系统,由图可见，无论系统阶次多高，按图都完全可用模拟计算机模拟。所以上图又称计算机模拟图。,小结：状态空间表达式以状态变量为基本出发点，阐明了状态变量对系统的影响，比简单的输入输出描述更近了一步。1.把输入到输出的控制过程分成了两阶段：,即u(t),状态方程,输出方程,x(t),Y=CX+Du,Y(t),2.状态变量的个数等于系统的阶数，但状态变量的选取不是唯一的。则描述系统的状态方程也不唯一。3.由于状态变量的个数与系统独立储能元件的个数相对立，一般取储能元件的变量作为状态变量。状态初值与

7、储能元件的初始状态相对应。4.状态空间表达式地数学模型形式不随变量的增加变复杂，其形式是一致的。,例:R-L-C串联网络（输入u，输出uc）,状态方程,输出方程,例2-3.试建立下列R-L-C串联网络系统的状态空间表达式.,由R-L-C网络的输入输出微分方程求,状态变量的选择是否唯一？,状态方程,输出方程,该方法具有一般性,可用于输入输出高阶微分方程,不唯一!,同一系统不同状态变量之间的关系？,前例R-L-C网络的两种状态变量为,即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系,同一系统不同状态空间表达式之间的关系？,设系统的两种状态空间表达式为,和,线性变换为,则有,2-2.微分方程与状态空间表达

8、式之间的变换,对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式：这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。,一.输入项中不含有导数项：假设单输入单输出线性系统的微分方程为：,其中：为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素与方程系数对应，而其余各元为零或为单位阵（A阵，对角线上方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反向罗列，其他元素为0；B阵，最后一行元素为1，其他元素为0。）D=0无直联通道，,二.输入项中包含有导数项：,以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变:将是高阶脉冲函数

9、，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。,状态方程为：,方法二：首先引入中间变量z，令：,这种形式的状态空间表达式中A,B,所具有的特殊形式，称为能控标准型。注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。,例将以下高阶微分方程：试写出其状态空间表达式。,解：按方法二可得：,2.3由传递函数求状态空间表达式,T-FD-ES-E传递函数是经典理论中数学模型的主要形式。传递函数可由实验的方法来确定。根据前面介绍的微分方程与状态空间表达式之间的变换关系，若已知传递函数，可首先把传递函数变成微分方程，然

10、后由微分方程与状态空间表达式的变换关系。求出状态空间表达式。,1、传递函数中没有零点时的变换,传递函数为：,系统的微分方程为：,则根据上节公式，可直接写出状态空间表达式。即：,一、直接分解法,传递函数也可分解成下图所示的结构。,选状态变量为：,对应的状态空间表达式为：,其中阵和阵为规范形式，这是能控标准形实现。它的模拟电路图如下图所示：,能控标准形实现的模拟图,其状态变量图为,例题：,2、传递函数中有零点时的变换,传递函数为：,微分方程为：,则根据上节公式，可直接写出能控标准形。即：,从传递函数的角度分析，这实际上是一种分子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：,以三阶微分方程为例：,即：,

11、因此,又：,所以：,将积分器的输出选为状态变量：,其状态空间表达式为：,其状态变量图为：,例：已知系统传递函数为：,解：,能控标准形实现模拟图,一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶次，则b0=0,传递函数为严格真有理分式形式，即,，,式中是任意常系数。同样按以上方法C阵可以写成,此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入无直接关系。,注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。即：则：,存在输出到输入的直连通道。,例1:已知系统的传递函数：,试按能控标准形实现写出状态空间表达式。,解：由公式写出能控标准形为：,若将传递函数化成严格真有理分式，则,按简

12、化公式可得：,，,试按能控标准形实现写出状态空间表达式。,解：将传递函数整理成标准形式,按上式写出能控标准为：,例2：已知系统的传递函数,1.传递函数无重极点的情况：给出T-F:其中：,二、并联分解法,拉氏反变换得：,令状态变量的拉氏变换为：,而由输出可得：,所以：,反变换得：,可见，各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。,对应的状态结构图如下：,例：已知求S-E解：先化为真有理式,各状态变量之间不相互关联，称为各状态变量之间解耦，表现为向量矩阵为“对角阵”，必须为无多重极点，单根,2.传递函数有重极点时设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为：,其中：即：,设

13、状态变量为：,又,3.对于既有单根，又有重根的情况：可根据以上两种情况写出矩阵A.B.C.例：设T-F为解：,所以,得：,三、串联分解法,整理得：,其状态变量图为,解题步骤：（1）对传递函数进行因式分解（2）画出状态变量图，各因式相串联的形式（3）由状态变量图得到状态空间表达式,例：如下系统：,全系统信号流图为：,定义状态变量如上图，得：,写成矩阵形式：,特点：串联分解所得状态方程的状态矩阵直接用系统的零极点来表示，这有利于研究零极点变化对系统特性的影响,也可以这样分解：,全系统信号流图为：,定义状态变量如上图，得：,写成矩阵形式：,前面介绍了由D-E，T-FS-E的方法。作为数学模型的各种形

14、式，是可以相互转换的。下面介绍一种简便的由S-ED-E，T-F的方法：拉氏变换法：设单变量系统的状态空间表达式为：零初始条件下，取拉氏变换，对S-E.,2.4状态空间表达式转换为传递函数：,再对输出方程取拉氏变换.1.求T-F（传递函数）.,标量,2.显然是方程的特征多项式。,例：已知：试求：D-E和T-F,解：,故：T-F又反变换得D-E：注：这种方法是根据状态方程和输出方程两部分共同来写D-E和T-F的。,系统零极点及传函零极点,定义：系统极点为系统矩阵A的特征值,即为特征方程的根。若无零极对消，特征多项式若存在零极对消，解耦零点的概念：传递函数中互消的系统零、极点系统极点=传函极点U解耦

15、零点,系统零点的概念：传递函数，其分子多项式的根为系统零点系统零点=传函零点U解耦零点结论：系统零、极点不等价于传递函数的零、极点（仅在系统无零极对消时一致），系统零、极点反映整个系统的基本特性，而传递函数零、极点反映的是系统的外部特性（输入输出特性）,练习：,已知系统：,试求系统的传递函数。,2-5状态方程的线性变换,如前所述，一个n阶系统必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。一.线性变换的概念1.定义：状态与的变换，称为状态的线性变换由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：,其

16、中为任何非奇异阵。,2.基本关系式:设一个n阶系统，状态矢量为x,其状态空间表达式为,现取线性变换为,其中:是阶非奇异阵。代入上述表达式，得,比较可得：,可见，满足上述条件的变换矩阵P有无穷多。故状态变量不是唯一的。A与同代表系统的一些性质，称为相似矩阵,二.线性变换的基本性质1.系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。有关特征值的概念是从线性代数中提出的。下面复习一下线性代数的几个定义。,叫做A的特征矩阵,特征矩阵设常数矩阵那么,讨论下列齐次线性方程组：其有非零解的充要条件是则又称为矩阵A的特征方程，其根为特征值,系统特征值的定义:定义：线性定常

17、系统的状态方程为系统矩阵A的特征值，称为系统的特征值。,2.基本性质：定理：线性变换不改变系统的特征值。证明：若能证明则可以证出矩阵A和的特征值必然相等,由于线性定常系统，系统的特征值决定了系统的基本特性。因此，线性变换不能改变系统的基本特性。,例：试求系统矩阵的特征值。并验证经过线性变换后，其特征值的不变性。解：得,若取变换矩阵和分别为,得,可见，线性变换前后系统的特征值不变。,三.一类重要的线性变换化A阵为对角形或约当标准形1对角形和约当规范形（1）对角形,形如：的矩阵称为对角形（或对角线矩阵，对角线上的元素为A的特征值,约当块：形如的矩阵称为约当块。,由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。,（2）约当标准形,式中是约当块的块数,约当形阵的特征：（1）A矩阵特征值都出现在对角线上（2）对角线下方元素全为0（3）多重特征值对角线上的邻对角线元素为1（4）不同特征值的数目就是约当块的分块数,1.若互不相同：定理：线性定常系统，若其特征值互不相同，则必存在一非奇异矩阵P，通过线性变换，使A阵化为对角形。,条件