小升初奥数方程的妙用---用方程解决应用题

1、方程的解法,对应法(消去法),【知识要点】 “对应”是解决数学问题时常用的一种方法，有很多应用题，给定的量所对应的数量关系是在变化的，为了使变化的数量看得更清楚些，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到解题方法，这种解题的思维方法叫对应法。 =，=， 则=（ ）个。 像这样的应用题，有两个或两个以上的未知量，解题时通过一定的方法，消去一个未知量，只保留一个未知量，叫做消去问题。 分析消去问题时可以先整理条件，比较出两个未知量的联系和区别，再解答。 1把两个未知量中其中一个未知量转化成相等的量。 2用消元的方法消去一个量。 3先求出保留的未知量，再求出消去的未知量

2、。,所以原方程组的解是,解：将代入 ，得3（y+3）+2y=14,3y+9+2y=14 5y=5 y=1,将y=1代入，得 x=4,把求出的解代入原方程组，可以知道你解得对不对。,解：由 ，得 x=13 - 4y 将代入 ，得 2（13 - 4y）+3y=16 26 8y +3y =16 -5y= -10 y=2,看看你掌握了吗？,同学们：你从上面的学习中体会到解方程组的基本思路是什么吗？主要步骤有那些吗？,主要步骤：,4.写解,3.解,2.代,1.变,基本思路:,随堂练习：,你解对了吗？,实验中学共有2576名学生，其中男生比女生多76名。问学校内有男、女学生各多少名？,用一元一次方程解 解

3、：设女生有X名，则男生为（X+76）名。 X+（X+76）=2576 2X+76 =2576 2X =2576 76 2X=2500 X=1250（名） X+76=1250+76=1326（名） 经检验符合题意。 答：学校内有男学生1325名，女学生1250名。,用二元一次方程组解 男+女=2576 两个等量关系 男 - 女=76 解：设男生有X名，女生有Y名。 X+Y=2576 X Y=76 解得：X=1326 Y=1250,一、创设情境,经检验符合题意。 答：学校内有男学生1325名， 女学生1250名。,小芳在玩具厂上班,做3只小狗、5只小猫用3小时30分;做4只小狗、7只小猫用4小时5

4、0分,求平均做1只小狗与1只小猫各用多少时间?,次数,3X,4X,5Y,7Y,3小时30分,二、探求新知,4小时50分,两个等量关系： 做3只小狗的时间+做5只小猫的时间=3小时30分 做4只小狗的时间+做7只小猫的时间=4小时50分,二元一次方程组解应用题的步骤： 分析 求解 问题 方程（组） 解答 抽象 检验,家具厂生产一种餐桌，1m3木材可做5张桌面或30条桌腿。现在有25m3木材，应怎样分配木材，才能使生产出来的桌面和桌腿恰好配套（一张桌面配4张桌腿）？共可生产多少张餐桌？,解：设用xm3木材生产桌面，用ym3木材生产桌腿，根据题意得 x+y=25 5x4=30y,1.行程问题:,1.

5、相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程 (环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长,2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路程 (环形跑道): 快者的路程-慢者的路程=一圈长,3.顺逆问题:顺速=静速+水(风)速 逆速=静速-水(风)速,1.小强和小明做算术题, 小强将第一个加数的后面多写一个零, 所得和是2342; 小明将第一个加数的后面少写一个零, 所得和是65.求原来的两个加数分别是多少?,2.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？,某人要在规定的时间内由甲地赶往乙

6、地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75千米的速度行驶,就会提前24分钟 到达乙地,求甲、乙两地间的距离.,、,解：设甲、乙两地间的距离为S千米，规定时间为t小时,根据题意得方程组,甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分钟各跑多少圈?,解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据题意得方程组,解得,答:甲、乙二人每分钟各跑 、 圈，,5、小明骑摩托车在公路上匀速行驶，12:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13:00时看里程碑上的两位数

7、与12:00时看到的个位数和十位数颠倒了；14:00时看到里程碑上的数比12:00时看到的两位数中间多了个零，小明在12:00时看到里程碑上的数字是多少？,解:设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位的数字是y，那么,答:小明在12:00时看到的数字是16.,某学校现有甲种材料3,乙种材料29,制作A.B两种型号的工艺品,用料情况如下表:,(1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件? (2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱?,2.图表问题,国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份

8、订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？,3.总量不变问题,解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据 题意得方程组,解这个方程组，得,答：订单要220辆汽车，规定日期是6天,入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？,3.总量不变问题,解:设订单要辆x汽车，规定日期是

9、y天,根据题意得方程组,解这个方程组，得,答：订单要220辆汽车， 规定日期是6天,4.销售问题: 标价折扣=售价 售价-进价=利润 利润率=,已知甲.乙两种商品的标价和为100元,因市场变化,甲商品打9折,乙商品提价5,调价后,甲.乙两种商品的售价和比标价和提高了2,求甲.乙两种商品的标价各是多少?,答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的标价是80元.,解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元， 根据题意，得,解这个方程组，得,5、配套问题,例：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在30天内生产

10、最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？,小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍求1元、2、5元的纸币各多少张？,解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、 y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程: x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.,解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、 y张、z张，根据题意可以得到下列三个 方程: x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.,活动1,知识点梳理,1、列方程解应用题的方法 （1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出

11、它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。 （2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。,2、列方程解应用题的步骤： （1）审题：弄清题意找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系 （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子， （3）列出方程 ：然后利用已找出的等量关系列出方程 （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值 （5）检验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是

12、否符合实际， （6）答案：检验后写出答案,一、根据数量关系找相等关系。,好多应用题都有体现数量关系的语句,即“比多”、“ 比少”、“是的几倍”、“ 和共”等字眼，解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定相等关系。,例1：某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 相等关系：女生人数男生人数80,例2合唱队有80人，合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人，则舞蹈队有多少人？ 相等关系：舞蹈队的人数315合唱队的人数,例3 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？,审 题：

13、相等关系：调动后甲处人数调动后乙处人数2 设未知数：解：设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得： 列 方 程 ： 27+x=2(19+20-x)， 解 方 程： 解得 x17 检 查： 所以 20-x20173（人） 作 答 ：答：应调往甲处17人，乙处3人。,二、根据熟悉的公式找相等关系,单价数量总价， 单产量数量总产量， 路程速度时间， 工作总量工作效率工作时间， 售价基本价打折的百分数， 利润售价进价，利润进价利润率， 几何形体周长、面积和体积公式， 都是解答相关方程应用题的工具。,例1：一件商品按成本价提高100元后标价，再打8折销售，售价为240元。求这件商品的成本价为多

14、少元？ 相等关系：（成本价100）80%=售价 例2：用一根长20cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ 相等关系：正方形的周长边长4 例3：一个梯形的下底比上底多2厘米，高是5厘米，面积是40c平方厘米，求上底。 相等关系：梯形的面积（上底下底）高2,例4：商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率为5%的售价打折出售，则此商品应打几折出售？ 相等关系：售价进价进价利润率 解：设最低可打x折。据题意有： 2250 x-1800=18005% 解得 x0.84 答：此商品应打8.4折。,审题,设未知数,列方程,解方程,检查,作答,三、根据总量等于各分量的和找相等关系,即根据总量等

15、于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。 例1：甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔个买了多少支？ 相等关系： 买甲种铅笔花的钱买乙种铅笔花的钱总共花的钱 例2：把1400元奖学金按照两种奖项发给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少？ 相等关系： 发一等奖学金用的钱发二等奖学金用的钱总共的钱,例3：希腊数学家丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜

16、，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大和死神见面？” 相等关系：总年龄各部分年龄的和 解：设丢番图活了x年。据题意可得： x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4 解得 x84 答：丢番图共活了84岁。,四、用不同方法表示不变量找相等关系,这类题目的解题原理是：如果一个不变的量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。这就要求我们找到这个量，可以根据题中的“比值一定”、“积一定”、“速度一定”等相关语句来找。 例1：汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。王家庄到翠湖的路程有多远？ 相等关系：王家长到秀水路段的

17、速度青山到秀水路段的行车速度 例2：种一批树苗，如果每人种10棵，则剩6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，有多少人种树？ 例3：把一些糖果分给某班学生，如果每人分3个，则剩余20个，如果没人分4个，则还缺25个。这个班共有多少学生？,五、根据事情发展的顺序找相等关系,有些题目的相等关系需要根据事情发展顺序才可以找到相等关系。 比如：原有的用去的=还剩的， 又如：付出的用去的=还剩的，原有的运来的=现在的。 例1：一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？ 相等关系：已使用时间预计使用时间规定检修时间,例2：今

18、年我国城镇居民平均可支配收入为5109元，比去年增长8.3%，去年这项收入为多少？ 相等关系： 去年这项收入增加的收入今年这项收入 例3：一辆汽车已行驶了12000km，计划每月在行驶800km，几个月后这辆汽车将行使20800km？ 相等关系：已行驶路程预计行驶路程20800,未知数的设法,一、有比较关系时，如甲比乙多8，我们一般设较小的为x，这样计算时主要用的是加法不易出错； 二、有倍数关系时，如数学小组人数是英语小组的5倍，我们设一倍量为x，用乘法表示其余量利于计算； 三、在分数应用题中，我们设单位“1”为x； 四、在有比的问题中，我们设一份数为x； 五、在有和的问题中，我们设其中任意一

19、个为x都可以，比如说两个班共有50人，设其中一个班有x人。,典型例题精讲,（ 生活中问题） 例1. 有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。,解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。根据题意列方程得：56-2X=3(36-2X) X=13 答：13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。,趣味数学 例2. 同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？,解:设这名

20、同学给X个同学领碗.根据题意列方程得： X=30 答：这名同学给30个同学领碗。,鸡兔同笼问题 例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？,方法一： 鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，就求出鸡的只数了。 解： （110+104）（4+2）=25（只）鸡 25-10=15（只） 兔 答：鸡有25只，兔有15只。,方法二：用方程做 解设：有X只兔，有鸡（X+10）只。根据题意列方程得： 4X+ 2(X+10)=110 X=15 15+10=25(只) 答：鸡有25只，兔有15只。,行程问题 例4.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时相遇，甲车再开3小时到达B城。已知甲车每小时比乙车每小时