现代密码学杨波课后习题讲解

1、习题,第一章,习题,1. 设仿射变换的加密是 E11,23(m)11m+23 (mod 26)，对明文“THE NATIONAL SECURITY AGENCY”加密，并使用解密变换 D11,23(c)11-1(c-23) (mod 26) 验证你的加密结果。,解：明文用数字表示： m=19 7 4 13 0 19 8 14 13 0 11 18 4 2 20 17 8 19 24 0 6 4 13 2 24 密文 C= E11,23(m)11*m+23 (mod 26) =24 22 15 10 23 24 7 21 10 23 14 13 15 19 9 2 7 24 1 23 11 15

2、 10 19 1 = YWPKXYHVKXONPTJCHYBXLPKTB,习题, 11*19 1 mod 26 (说明：求模逆元可采用第 4 章的“4.1.7 欧几里得算法”，或者直接穷举 125) 对密文 C 进行解密： m=D(C) 19*(c-23) (mod 26) =19 7 4 13 0 19 8 14 13 0 11 18 4 2 20 17 8 19 24 0 6 4 13 2 24 = THE NATIONAL SECURITY AGENCY,习题,2. 设由仿射变换对一个明文加密得到的密文为edsgickxhuklzveqzvkxwkzukvcuh，又已知明文的前两个字符是

3、“if”。对该密文解密。,解： 设加密变换为 c=Ea,b(m)a*m+b (mod 26) 由题目可知 明文前两个字为 if，相应的密文为ed,即有： E(i)=e ： 48a+b (mod 26) E(f)=d ： 35a+b (mod 26) 由上述两式，可求得 a=9，b=10。,习题,因此，解密变换为 m=D(c)9-1(c-10) (mod 26) 密文对应的数字表示为： c=4 3 18 6 8 2 10 23 7 20 10 11 25 21 4 16 25 21 10 23 22 10 25 20 10 21 2 20 7 则明文为 c=9-1(c-10) (mod 26)

4、=8 5 24 14 20 2 0 13 17 4 0 3 19 7 8 18 19 7 0 13 10 0 19 4 0 7 2 4 17 = ifyoucanreadthisthankateahcer,习题,3.设多表代换密码中,加密为： 明文为：PLEASE SEND 解密变换：,习题,解：将明文分组： 将明文分组带入加密变换： 可得密文：NQXBBTWBDCJJ 解密时，先将密文分组，再将密文分组带入解密变换： 可证得明文,习题,4. 设多表代换密码 中，A是 22 矩阵，B 是 0 矩阵，又知明文“dont”被加密为“elni”，求矩阵A。,解：设矩阵 ， dont=(3,14,13

5、,19) elni=(4,11,13,8) 解得：,第二章 流密码,知识点,流密码：利用密钥k产生密钥流，明文与密钥流顺次对应加密 线性反馈移位寄存器：产生密钥流,图2.1 GF(2)上的n级反馈移位寄存器,习题,1. 3 级 线 性 反 馈 移 位 寄 存 器 在 c3=1 时 可 有 4 种 线 性 反 馈 函 数 ， 设 其 初 始 状 态 为(a1,a2,a3)=(1,0,1)，求各线性反馈函数的输出序列及周期。,解：设反馈函数为 f(a1,a2,a3) = a1c2a2c1a3 当 c1=0，c2=0 时，f(a1,a2,a3) = a1，输出序列为 101101，周期为 3。 当

6、c1=0，c2=1 时，f(a1,a2,a3) = a1a2，输出序列如下 10111001011100，周期为 7。 当 c1=1，c2=0 时，f(a1,a2,a3) = a1a3，输出序列为 10100111010011，周期为 7。 当 c1=1，c2=1 时，f(a1,a2,a3) = a1a2a3，输出序列为 10101010，周期为 2。,习题,2设n级线性反馈移位寄存器的特征多项式为 ，初始状态为 ，证明输出序列的周期等于 的阶。,定义2.2 设p(x)是GF(2)上的多项式，使p(x)|(xp-1)的最小p称为p(x)的周期或阶。 定理2.3 若序列ai的特征多项式p(x)定

7、义在GF(2)上，p是p(x)的周期，则ai的周期r | p。,习题,习题,3.设 n=4,n=f(a1,a2,a3,a4)=a1a41a2a3，初始状态为(a1,a2,a3,a4)=(1,1,0,1)，求此非线性反馈移位寄存器的输出序列及周期。,解：列出该非线性反馈移位寄存器 的状态列表和输出列（如右图）： 输出序列为 11011 11011 ， 周期为 5。,习题,6.已知流密码的密文串1010110110和相应的明文串0100010001，而且还已知密钥流是使用3级线性反馈移位寄存器产生的，试破译该密码系统。,解：由已知可得相应的密钥流序列为10101101100100010001 =1

8、110100111，又因为是3级线性反馈移位寄存器，可得以下方程：,将值代入得:,习题,由此可得密钥流的递推关系为：,第三章 分组密码体制,习题,2. 证明 DES 的解密变换是加密变换的逆。,明文分组、密钥 加密阶段：初始置换、16轮变换、逆初始置换,每轮迭代的结构和Feistel结构一样：,习题,习题,3. 在 DES 的 ECB 模式中，如果在密文分组中有一个错误，解密后仅相应的明文分组受到影响。然而在 CBC 模式中，将有错误传播。例如在图 3-11 中 C1 中的一个错误明显地将影响到 P1和 P2 的结果。 (1) P2 后的分组是否受到影响? (2) 设加密前的明文分组 P1 中

9、有 1 比特的错误，问这一错误将在多少个密文分组中传播? 对接收者产生什么影响?,ECB模式：每个明文组独立地以同一密钥加密 CBC模式：加密算法的输入是当前明文组与前一密文组的异或,习题,习题,4. 在 8 比特 CFB 模式中，如果在密文字符中出现 1 比特的错误，问该错误能传播多远。,CFB模式：每次只处理输入的j比特，将上一次的密文用作加密算法的输入以产生伪随机输出，该输出再与当前明文异或以产生当前密文。,习题,习题,5.在实现 IDEA 时，最困难的部分是模 216+1 乘法运算。以下关系给出了实现模乘法的一种有效方法，其中 a 和 b 是两个 n 比特的非 0 整数。,， ，,注意

10、：(ab mod 2n)相当于 ab 的 n 个有效最低位，(ab div 2n)是 ab 右移 n 位。,IDEA：明文、分组、密钥、8轮迭代（不是传统的feistel）、输出变换,习题,习题,习题,第四章 公钥密码,习题,1.证明以下关系： (1) (2) (3),（2）由 ，则存在整数k使a=b+kn，则b=a+(-k)n,解：（1）设 ，由题意得 ，且存在整数 ，使得 可得 即 证得,习题,2.证明以下关系： (1) (2),习题,3. 用 Fermat 定理求 3201 mod 11,Fermat定理：若p是素数，a是正整数且gcd(a, p)=1，则ap-11 mod p。,解：

11、p=11，a=3，gcd（3,11）=1 由 Fermat 定理，可知 3101 mod 11，则(310)k 1 mod 11 所以 3201 mod 11= (310)203 mod 11 = ( (310)20 mod 11)(3 mod 11) mod 11 = 3。,习题,4. 用推广的 Euclid 算法求 67 mod 119 的逆元。,因此，,Euclid算法（辗转相除法） 推广的Euclid（P97） 解：,习题,5. 求 gcd(4655, 12075) 。,解： 12075 = 24655 + 2765 4655 = 12765 + 1890 2765 = 11890 +

12、 875 1890 = 2875 + 140 875 = 6140 + 35 140 = 435+0 所以 gcd(4655, 12075)=35。,习题,6.求下列同余方程组,（中国剩余定理）,习题,10. 设通信双方使用 RSA 加密体制，接收方的公钥是(e,n)=(5,35)，接收到的密文是 C=10，求明文 M,解： (n)=35=5*7 (n)= (5)*(7)=( = ( 5-1)*(7-1)=24 因为d*e1mod (n)， 解得d=5 M=cdmodn=105mod35=5,RSA？密钥产生、加密、解密,习题,13. 在 ElGamal 加密体制中，设素数 p=71，本原根 g=7， (1)如果接收方 B 的公开钥是 yB=3，发送方 A 选择的随机整数 k=2，求明文 M=30 所对应的密 文。 (2)如果 A 选择另一个随机整数 k，使得明文 M=30 加密后的密文是 C=(59, C2)，求 C2。,Elgamal：y,p,g,x；密文对,解：(1) C1gk mod p = 72 mod 71 = 49， C2yBk M mod p = (3230) mod 71= 57 密文为 C=(C1, C2)=(49, 57)。 (2)由 C1 7k mod 71 = 59 ，解得 k=3 。 所以 C2 = (3k