方阵的行列式

1、P24-1,1.3 方阵的行列式,二阶行列式的定义,n 阶行列式的定义,行列式的性质,行列式的计算,*拉普拉斯（Laplace）定理,P24-2,一、二阶行列式的定义,1.Def.: 设矩阵,，则方阵 A 的行列式,，且,记为 detA, 或,P24-3,划去 A 中元 素aij 所在的行、所在的列的元素，A 中剩下的,1. 余子式和代数余子式,设 A = ( aij ) 是n 阶矩阵，,的元素按照原来的排列顺序所组成的 n 1 阶矩,阵的行列式，称为元素 aij 的余子式， 记作 Mij .,令 Aij = ( - 1 )i + j Mij,称 Aij 为元素 aij 的代数余子式 ( i,

2、 j = 1, , n ),二、 n 阶行列式的定义,P24-4,2.Def.: n 阶矩阵 A = ( aij ) 的行列式,(简称为 n 阶行列式 ),ai1Ai1+ ai2Ai2 + + ainAin =,式中 Ai1 , Ai2 , , Ain 是 A 的第 i 行各元素的 代数余子式。,二、 n 阶行列式的定义,（该定义也称为 按第 i 行展开）,，且,注:(1)行列式是一个数，而 n 阶矩阵是一个数表,P24-5,2.Def.: n 阶矩阵 A = ( aij ) 的行列式,(简称为 n 阶行列式 ),ai1Ai1+ ai2Ai2 + + ainAin =,二、 n 阶行列式的定义

3、,（该定义也称为 按第 i 行展开）,，且,注:(1)行列式是一个数，而 n 阶矩阵是一个数表,a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj =,(2) 还可以按第 j 列展开）,P24-6,二、 n 阶行列式的定义,注:(1)行列式是一个数，而 n 阶矩阵是一个数表,a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj =,(2) 还可以按第 j 列展开）,(3) 三阶行列式独有的对角线展开法,P24-7,二、 n 阶行列式的定义,(3) 三阶行列式独有的对角线展开法,例 1 设,，求 detA,P24-8,二、 n 阶行列式的定义,a1jA1j+ a2jA2j + + anjAnj,(

4、3) 三阶行列式独有的对角线展开法,ai1Ai1+ ai2Ai2 + + ainAin,特例：对角形行列式,P24-9,性质 1,| AT | = | A |,该性质表明，在行列式中，行与列的地位是相同的,行列式有关行的性质对列也成立,性质 2 交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号,三、行列式性质,推论,若行列式中有两行 ( 列 ) 的元素对应相等，则 该行列式等于0,用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k 乘以该行列式,性质3,该性质 3 也可以叙述为：行列式某行(列)的公因子可,因子可以提到行列式外面,P24-10,性质 1,| AT | = | A |,性质 2 交换行列式的某两

5、行(列)，行列式的值变号,推论,若行列式中有两行 ( 列 ) 的元素对应相等，则 该行列式等于0,用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k 乘以该行列式,性质3,该性质 3 也可以叙述为：行列式某行(列)的公因子可,因子可以提到行列式外面,若行列式中某两行(列)的元素对应成比例， 则该行列式等于0,推论2,若行列式中某一行(列)的元素全为0，则该 行列式等于0,推论1,P24-11,性质 1,| AT | = | A |,性质 2 交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号,用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k 乘以该行列式,性质3,若行列式的某一行(列)的所有元素都是两项 之和，则该行

6、列式等于两个行列式之和,性质4,一行(列)的k倍加到另一行(列) ，行列式的 值不变,性质5,P24-12,性质 1,| AT | = | A |,性质 2 交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号,用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k 乘以该行列式,性质3,若行列式的某一行(列)的所有元素都是两项 之和，则该行列式等于两个行列式之和,性质4,一行(列)的k倍加到另一行(列) ，行列式的 值不变,性质5,例3 计算行列式,4,P24-13,性质 2 交换行列式的某两行(列)，行列式的值变号,用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k 乘以该行列式,性质3,若行列式的某一行(列)的所有元素

7、都是两项 之和，则该行列式等于两个行列式之和,性质4,一行(列)的k倍加到另一行(列) ，行列式的 值不变,性质5,性质6,行列式中某一行(列)的所有元素与另一行(列) 对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即,P24-14,性质6,行列式中某一行(列)的所有元素与另一行(列) 对应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即,定理 : 对于n 阶行列式，有,P24-15,四、行列式的计算,例4 计算行列式,P24-16,四、行列式的计算,例4 计算行列式,P24-17,四、行列式的计算,例4 计算行列式,P24-18,四、行列式的计算,例4 计算行列式,(4) 已知,求,P24-19,四、行列式的计

8、算,例2 计算行列式,P24-20,四、行列式的计算,例2 计算行列式,P24-21,1. Def.: 若 k 阶子式 M 在 A 中所在的行和列的标号分,别为 i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk , 则在 M 的余子式 N,前添加符号,后，所得到的 n k 阶行列式，称为 k 阶子式 M 的,代数余子式.,子式 M 的代数余子式记为 B，即,五、拉普拉斯定理,P24-22,组成的所有 k 阶子式 Mi （i = 1, 2, , t）与它们,即,五、拉普拉斯定理,在 中任意选定 k 行( 1 k n )，由这 k行元素,的代数余子式 Bi ( i = 1, 2, , t )乘积之和等于 ,例 利用拉普拉斯定理， 计算 4 阶行列式,P24-23,组成的所有 k 阶子式 Mi （i = 1, 2, , t）与它们,即,五、拉普拉斯定理,在