《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布

1、.第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量XB(2, p), YB(3, p), 若P(X 1) =, 则P(Y 1) = _.解. , 2. 已知随机变量X只能取1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为, 则c = _.解. 3. 用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率: P(X a) = _. P(X = a) = _. P(X a) = _. P(x1 X x2) = _.解. P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a)P(X a) = 1F(a) P(x1 X x2) = F(x2)F(x1)4. 设k在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实

2、根的概率为_.解. k的分布密度为 P有实根 = P = Pk 1或k 2 =5. 已知(k = 1, 2, 3), X与Y独立, 则a = _, b = _, 联合概率分布_, Z = X + Y的概率分布为_.解. . (X, Y)的联合分布为 YX1 2 3 123ab Z = X + Y2 1 0 1 2 P24a 66a 251a 126a 72a ab = 216a, 6. 已知(X, Y)联合密度为 , 则c = _, Y的边缘概率密度_.解. 所以 当 时 所以 7. 设平面区域D由曲线围成, 二维随机变量(X, Y)在D上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X的边缘密度在x =

3、 2处的值为_.解. D的面积 = . 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: 下面求X的边沿密度:当x e2时 当1 x e2时 , 所以.8. 若X1, X2, , Xn是正态总体N(m, s2)的一组简单随机样本, 则服从_.解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布. , 所以 9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出, (X, Y)(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (2, 3) P a b且X与Y相互独立, 则a = _, b = _.解. YX1 2 3121/6 1/9 1/18 1/3 a b 两式相除得, 解得 , .10. 设

4、(X, Y)的联合分布律为 YX2 1 0 1 3 0 0 则 i. Z = X + Y的分布律 _. ii. V = XY的分布律_. iii. U= X2 + Y2的分布律_.解. X + Y3 2 1 3/2 1/2 1 3 P1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 XY1 0 1 3/2 5/2 3 5 P3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12 X2 + Y215/4 3 11/4 2 1 5 7 P2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数

5、(A) , (B) (C) , (D) 解. (A)不满足F(+) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. 是随机变量X的概率分布, 则l, c 一定满足(A) l 0 (B) c 0 (C) c l 0 (D) c 0, 且 l 0解. 因为, 所以c 0. 而k为偶数, 所以l可以为负. 所以(B)是答案.3. XN(1, 1), 概率密度为j(x), 则(A) (B)(C) (D) 解. 因为E(X) = m = 1, 所以. (C)是答案.4. X, Y相互独立, 且都服从区间0,

6、 1上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X2 (D) XY解. X , Y . 所以(X, Y) .所以(A)是答案.5. 设函数 则(A) F(x)是随机变量X的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) = max (B) = max(C) = (D) 都不是解. .(C)是答案.7

7、. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) = (B) = (C) = min (D) = 111解. (D)是答案.8. 设X的密度函数为, 而 则Y = 2X的概率密度是(A) (B) (C) (D) 解. (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为 , 则的分布密度是(A) (B) (C) (D) 解. 是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z的密度:当z 0时当z 0时

8、= , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X和 Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) PX + Y 0 = 1/2 (B) PX + Y 1 = 1/2 (C) PXY 0 = 1/2 (D) PXY 1 = 1/2解. 因为X和 Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X和 Y相互独立, 所以 X + Y N(1, 2), XY N(1, 2)于是PX + Y 1 = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X服从指数分布, 则Y = minX, 2的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数

9、 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数: 当y 2时 当0 y 2时 当y 0时 于是 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X的分布密度.解. 假设X表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前i1次不中, 第i次命中) = , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = . 于是分布律为 X1 2 3 4

10、 5 p0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设Ai表示第i次取出正品(i = 1, 2, 3, )i. 每次取出的产品不放回X1 2 3 4 p ii. 每次抽取后将原产品放回X1 2 k p , (k = 1, 2, )iii. 每次抽取后总以一个正品放回X1 2 3 4 p 3. 随机变量X的密度为 ,

11、 求: i. 常数c; ii. X落在内的概率.解. 4. 随机变量X分布密度为i. , ii. 求i., ii的分布函数F(x).解. i. 当x 1时 当1 x 1时 当x 1时 所以 ii. 当x 0时 当0 x 1时 当1 x 2时 当2 x时 所以 5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数 , x +试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率; ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为, x 0时当 F(x) = 0当 = 当 x 9p时 所以 密度 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的01分布在X = 0, X = 1下, 关于Y的条件分布分别为表1、表2所示 表1 表2 Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0) P(Y|X = 1) 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y 1时, 关于X的条件分布.解. X的分布律为X0 1p0.4 0.6(X, Y)的联合分布为 YX 1 2 3010.1 0.2 0.10.3 0.1 0.2 所以Y的分布律为Y1 2 3p0.4 0.3 0.3所以 X|Y 10 1p0.5 0.59. 设随机变量X与Y相互独立, 并在区间0, 9上服从均匀分布