寿险精算利息基础

1、第二部分 利息基础知识,一.利息的度量 二.确定年金 三.等值方程,一.利息的度量,1.基本概念 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值 的增 值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值就 越大。同时，等额的货币在不同时间，由于受通货 膨胀的影响，其实际价值也不同。因此，借入或出 让资金都有相应的代价或报酬。 利息：利息是借入资本需要支付的使用代价，或者 是出让资本使用权得到的报酬。利息的计算与累积 函数、计息方式、投资期长短有有关。,本金：开始投资滋生利息的款项。 终值（累积值）：本金经过一定时期后形成 的总金额称为终值，也称为累积值。 累积函数a(t)：0时刻数量为1的本金在t时刻 的累积

2、值（终值），a(0)=1，a(t)可连续或间 断，a(t)单调递增，也可单调递减，但我们总 希望它单调递增以保证存在正的利息。t表示 1元本金投资使用的时间长度。时间长度可以,用不同的单位来度量，如分钟、小时、日、 周、月、季、三个月、半年、一年等。用来 度量时间的单位称为“度量期”或“期”，其中最 常用的期是年。 总额函数A(t): 一定额度（K个单位）的本金 在t时刻的累积值称为总额函数，它是本金与 利息之和，A(0)就是本金。以I(t)表示t时刻的 利息, 则 I(t)=A(t)-A(0).,A(t)与a(t)的关系：A(t)=A(0)a(t)。 我们称累积函数a(t)的倒数1/a(t)

3、为t期贴现因 子或贴现函数,记为v(t).把1期贴现因子1/a(1) 简称贴现因子，记为v. t期贴现因子是为了使在t期期末的累积值为1 而在开始时投入的本金金额. 即：A(0)=1/a(t) 从而，A(t)=A(0)a(t)=1/a(t)a(t)=1.,我们把为了在t期期末得到某个累积值而在开 始时投入的本金金额称为该累积值的现值。 如：1/a(t)是在t期期末累积值1的现值，在t期 期末累积值A(t)的现值是A(t)1/a(t)。 在某种意义上，累积与贴现是相反的过程。 a(t)为1单位本金在t期期末的累积值；而 1/a(t)是t期期末1单位终值的现值。,把从投资日起第n个度量期得到的利息

4、金额记 为 In,In=A(n)-A(n-1),n大于等于1. In为一 个时间区间上所得利息的量, A(n)为在一特定 时刻的累积量。 实际利率：某一度量期的实际利率是指该度 量期内得到的利息金额与此度量期开始时投 资的本金金额之比，通常用字母i来表示。,对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，第n个度量期的实 际利率in=In/A(n-1)=A(n)-A(n-1)/A(n-1)； 例1 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的金额为1020元，第二年末他存折上的金额为1050元，问：第一年和第二年的实际利率分别是多少？,解:显然 A(0)=1000，A

5、(1)=1020, A(2)=1050，因此， I1=A(1)-A(0)=20，I2=A(2)-A(1)=30 i1=20/1000=2%, i2=30/1020=2.941%. 故第一年的实际利率2%，第2年的实际利率 为2.941%。 2.单利和复利,前面讨论的实际利率是针对某一个度量期而 言的，若投资期为多个或非整数个度量期， 那么如何进行利息的度量呢？最重要的度量 方式有单利和复利两种。 考虑投资一单位本金。 （1）如果其在t时刻的累积值为a(t)=1+it，则 该笔投资以每期单利i计息，称这样产生的利 息为单利；,（2）如果其在t时刻的累积值为a(t)=(1+i)t， 则称该笔投资以

6、每期复利i计息，这样产生的 利息为复利。 由上述定义可知： （1）若以每期单利i计息,则在1元本金的投资 期间，每一度量期产生的利息均为i。但这并 不意味着其实际利率为i。实际上，对n=1， 第n期的实际利率为,显然， i_n 关于n单调递减。常数的单利意味着递 减的实际利率。 （2）若以每期复利i计息 。则在投资期间的不同度 量期将产生不同的利息。即，,I_n关于n单调递增。而对于每期实际利率， 有i_n=a(n)-a(n-1)/a(n-1)=I_n/a(n-1)=i. 常数的复利意味着实际利率为常数 。 单利只在本金上计息，而复利是利上生利的 计息方式。 例 2 某银行以单利计息，年息为2

7、%，某人 存入5000元，问5年末的累积值是多少？ 解：A(5)=5000a(5)=5000*(1+5*2%)=5500.,例 3 上例中若银行以复利计息，其它条件不 变，问5年末的累积值是多少？ 解：A(5)=5000*a(5)=5000*(1+2%)5=5520.4. 即5年末的累积值为5520.4元。 注意：在单利和复利下，也可用各期的实际 利率计算累计函数和总额函数。设第t期的实 际利率为i_t, 则在单利下，,A(n)=A(0)(1+i_1+i_2+i_n); a(n)= 1+i_1+i_2+i_n. 在复利下， A(n)=A(0)(1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n); a

8、(n)= (1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n). 例4 以10000元本金进行5年投资，前2年的利 率为5%，后3年的利率为6%。以单利和复利 计算5年后的累积资金。,解：在单利下，有 A(5)=10000*(1+2*5%+3*6%)=12800(元)。 在复利下，有 A(5)=10000*(1+5%)2*(1+6%)3=13130.95 （元）。 3. 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息 金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来 表示实际贴现率。,可以看出，实际贴现率d与实际利率i的定义十 分类似。事实上，它们都是一个比例，而且 都是利息除以投资金额。只

9、不过实际利率i对 应的投资金额是在期初实际付出的资金金 额，即本金；而实际贴现率d对应的投资金额 是期末投资者可收回的资金金额。 由定义可知，实际利率反映了单位货币在单 位时间内的利息额，而实际贴现率反映了单,位货币在单位时间内的贴现额。贴现额是指 将应该在将来某时期支付的金额提前到现在 来支付时，在支付额中应扣除的一部分金 额，即扣除额。它相当于资金投资在期初的 预付利息。（贴现和利息的区别在于分析的 出发点不同，利息是在本金基础上的增值， 贴现是在累积值基础上的减少值，相当于利 率在每一复利计算期的起点时刻被计入）。,类似于实际利率，也可以定义任意度量期的 实际贴现率，令d_n为从投资日算

10、起第n个时 期的实际贴现率，根据定义，有,I_n为利息金额。一般而言，d_n也可能随不 同度量期而变化。然而，在复利情况下，若 实际利率为常数，则实际贴现率也是常数。 设每期实际利率为i,则,例 5 某人到银行存入1000元，第一年末他存 折上的金额为1050元，第二年末他存折上的 金额为1100元，问：第一年和第二年的实际 贴现率分别是多少？ 解：A(0)=1000,A(1)=1050,A(2)=1100, d_1=A(1)-A(0)/A(1)=50/1050=4.762%, d_2=A(2)-A(1)/A(2)=50/1100=4.545%,实际利率和实际贴现率都是用来度量利息 的，若某人

11、以实际贴现率d借款1，则实际上 的本金为1-d，而利息（贴现）金额为d，若 这笔业务的实际利率为i，则按实际利率的定 义，得 i=d/(1-d),这表明，与实际贴现率d等 价的实际利率为d/(1-d)。同时，由上等式可 以求得d=i/(1+i)，即与实际利率i等价的实际 贴现率为i/(1+i).,贴现率d与贴现因子v之间也存在着重要关 系。由于v=1/a(1)=1/(1+i)，从而d=i/(1+i)=iv 对于这个式子我们可以这样理解：以贴现率d 投资1赚得的（已在期初支付）利息是d,如果 该笔业务以利率度量，且等价的实际利率为 i,也就是说，这笔业务如果投资1，将在期末 赚得利息i，而i在期

12、初的现值为iv，这个值显 然应该等于d。,此外，还可得关系式：,总之，等价的利率i、贴现率d和贴现因子（折 现因子）v之间关系如下：,例6 已知某项投资在一年中能得到的利息金 额为336元，而等价的贴现金额为300元，求 本金额。 解： 设本金为A(0). 假如他以贴现额300元投 资A(0),则其实际本金为A(0)-300, 则实际利率 为i=300/(A(0)-300), 同时，由题设A(0)*i=336 于是，得， 300/(A(0)-300) =336/A(0),可解出A(0)=2800(元)。,4.名义利率和名义贴现率 前面讨论了实际利率和实际贴现率，“实际”一 词的主要含义在于，利

13、息为每个度量期支付 一次，或在期初，或在期末，视具体情况而 定。然而，实际中往往有很多在一个度量期 中利息支付不止一次或多个度量期才支付一 次的情形。这时，我们称相应的一个度量期 的利率和贴现率为“名义”的。例如，银行的,存款年利率为3%，但假如规定一年中可以结 算4次利息，则实际年终累积值肯定会超过年 利率下的累积值。这时，这个年利率3%就是 名义上的利率，即名义利率。再如，银行存 款年利率4%，但至少3.5年才可结算利息， 这时，该年利率也是名义利率。我们用 表 示每一度量期支付m次利息的名义利率，这 里的m可以不是整数也可以小于1。,所谓名义利率 是指每1/m个度量期支付利 息一次，而在

14、每1/m个度量期的实际利率 为 。由此可知，与 等价的实际利率I 之间的关系：,同样的，我们还可以定义名义贴现率 ， 它是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每 1/m个度量期的实际贴现率为 。 类似的，我们也可以推导出名义利率与名义 贴现之间的关系：,值得注意的是关于利率的描述，因为实务中 有关利率的术语不统一， 而且有些术语存在 多重含义。我们这里称i(m)为每年计息m次 的年名义利率（各计息期长度相同）；d(m) 为每年计息m次的年名义贴现率，如i(2)=6% 表示每年计息2次的年名义利率为6%，也即 每半年的实际利率为3%。而i(1/2)=6%表示 每两年计息一次的年名义利率为6%。,

15、例7 （1）求与实际利率8%等价的每年计息2 次的年名义利率以及每年计息4次的年贴现率 （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为 8%，求等价的实际利率。 解：（1）,例8 求1万元按每年计息4次的年名义利率6% 投资3年的累积值。 解：,5.利息力（利息强度）,前面定义的各种利息度量方式都是用来在规 定的时间区间内的利息的。实际利率和实际 贴现率度量的是一个度量期内的利息，而名 义利率和名义贴现率则用来度量在1/m个度量 期内的利息。 在很多情况下，我们还希望能度量在每一时 间点上的利息， 也就是在无穷小时间区间上 的利息。这种对利息在各个时间点上的度量,称为利息力或利息强度。这相当于度量当

16、m 趋于正无穷大时的1/m度量期内的极限利息。 即 考虑投资一笔资金，设在时刻t的资金金额由 总额函数A(t)给出，这笔资金的变化完全由于 利息的原因，即本金既不增加也不撤回。 定义,式中， 是该投资额在时刻t的利息力 （利息强度），即它是利息在点（时刻t）处 的一种度量，是t时每一单位资金的变化率, 或说是资金的瞬时利率。将定义式变形：,用r代替t， 然后将上式两端在0t 上积分，得 从而， 另外，由定义式，还可得,上式两端在0n上积分，可得 此式解释如下：A(n)-A(0)为度量期内获得的 利息。微分表达式 则看成 利息力为 的情况下资金A(t)在t时刻获得的 利息，将此表达式在0n上积分

17、，即得n各度 量期内获得的利息总额。,例 如果 =0.01t (0=t=2),确定投资1000元 在第1年末的累计值和第2年内的利息金额。 解：,理论上，利息强度可以随时间变量的变化而 变化。但是，实际上它经常保持为常数或在 各个度量期上保持为常数。如果利息力在某 时间区间上为常数，那么该时间区间上的实 际利率也为常数。事实上，若在n-1n之间 为常数，则有,由后一等式，可得 在复利下，也可直接利用利息力的定义求得 上式：,于是，我们得到利息力、利率、贴现因子之 间的常用关系式如下：,二.确定年金 所谓的年金是指按照相等时间间隔支付的一系列款项。住房按揭还款、购物分期付款及保险业中的养老金给付

18、、分期交付保费等，都属于年金的形式。年金的最初形式是以1年为时间间隔支付的一系列款项，随着年金在实际生活中的运用以及理论研究的不断深入和扩展，时间间隔突破了以1年为期的限制，变得可长可短理论上甚至可以是连续付款，没有时间间隔。,2.1 期末（付）年金,在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。假设一笔年金，付款期限为 期，每期期末付款额为1，每期利率为 ，各期付款如图2.1.1所示。 图2.1.1,（付款额）,（时间）,付款期从0开始直到 。时间1上方的付款额1为第一期付款额，可以看出，这一付款发生在首付款期 的期末。时间2上方的付款额1发生在第二付款期 的期末，依次类推，个付款期内，都在期末付

19、款1。所有付款在时间0时的现值之和用符号 表示，所有付款在时间 时的积累值之和用符号 表示。 将每期期末的付款都按利率 折现到时间0，再求和，算出 的值，即首期付款值1在0时刻的现值为 ，第二期付款值1在0时刻的现值为 ， ，,第 期付款值 在0时刻的现值为 ，则有 求和，可得,将每期期末的付款都按利率 积累到时间 ，求和，就可计算出 的值，即第 期期末付款值1在时刻 时的积累值为1，第 期期末付款值1在时刻 时的积累值为 ， ，第一期期末付款值1在时刻 时的积累值为 ， 为各积累值之和，有,简化上式，可得简式如下： 式 可以写作,式 有明显的经济意义：公式左侧表示在时刻0进行投资，投资本金为

20、1，公式右侧表示投资的回收方式。在时刻0投资额为1，则每期期末都可获得利息 ， 期利息的现值之和为 ，到 期期末，即时刻 时，即投资本金1收回，折现到时刻0时现值为 。在利率为 时，投资额与投资回报本利和的现值是相等的。因而，式 左右两端相等。如图 所示。,图 2.1.2 图中，时刻0下方的1为投资本金；时间轴上方的数字表示投资回收额，各期期末可得利息 ，在 期期末还可收回本金1。 各期利息及本金在时刻0的现值分别为,（每年得到的利息）,（时间),所以 式 可以写作 式 也有明显的经济意义:将1单位本金投资 期,每期按复利 计算,在 期期末,投资积累值即本利和为 ,这是等式左边项的含义。等式右

21、边项的含义是投资本金为1，每期期末产生利息 而每期所产生在利息又以利率 再投资,这样到 期期末各积累值之和为 ,这部分是所生利息之,积累值,再加上投资本金,即为全部本利和.等式左右两边是一种投资结果的两种计算方法,实质上是相等的.如图 所示. 与 之间有明显的关系,式 两端同乘以 ,可得 等式右边即为式 的表达式,因而有,(到n期末积累值),(每期利息),(投资本金),1为本金,图2.1.3,式 也可由 以及式 导出.该式可解释为,各期期末投资本金为1的年金积累值有两种算法.一种是各期期末投资本金为1,直接积累到 期期末,求和即为 ,如公式左端所示.一种是先求出各期期末投资本金为1在年金现值,

22、即为 ,作为时刻0时的一次投资,以复利 计算,求出 期期末的积累值即 ,如右端所示.两种计算结果相等.,与 的另一种关系为 式 的数学推导如下:,此公式的经济意义为,设每期期末投资本金为 ,投资 期的本利和现值为1,则 .而其积累值相当于在时刻0投资本金为1,则 期期末本利和为 ,由式 可知本利积累值的又一种表达式,即 ,这与每期期末投资 的 期积累值是等价的,即 由此可得,因此 通常 , 符号中不必标出计算所依据的利率,在一个问题中涉及多个利率时,为避免引起混淆,可写作 , 的形式,如 等. 计算年利率为 的条件下,每年年末投资 元,投资 年的现值及积累值. 解 年金现值为:,例2.1.1,

23、(元),年金积累值为: 某银行客户想通过零存整取方式在1年后可得 元,在月复利为 的情况下,问每月需存入多少钱才能达到其目的. 解 设每月需存入 元,有,(元),例2.1.2,(元),客户每月需存入 元, 年后可取得10000元. 甲在银行存入20000元,计划4年支取完 ,每半年支取一次,每半年计息一次的年名义利率为 .试计算每次的支取额度. 解 由于年名义利率为 ,则半年实际利率为 . 设 为每次支取额度,有,例2.1.3,(元),甲每次支取额度为2909.51元. 已知年实际利率为8,乙向银行贷款10 000元 ,期限为5年,计算下面三种还款方式中利息所占的额度. 贷款的本金及利息积累值

24、在第5年末一次还清. 每年末支付贷款利息,第5年年末归还本金. 贷款,每年均衡偿还(即采用年金方式).,例2.1.4,解 方式 中,还款本利和为 其中利息额为: 方式 中,每年支付利息为 5年共支付利息 方式 中,每期偿还额为,(元),(元),(元),(元),5年还款 其中,利息额为,(元),(元),(元),2.2 期初（付）年金,上一节介绍了期末付年金,与之相对应,在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金.假设一个 期年金,每期期初付款额为1,每期利率为 ,各期付款如图 所示. 图2.1.2 付款期从0时起,每期期初付款,直到第 期,各期,(付款额),(时间),付款在时间0的现值依次为:

25、各现值和即为期初付年金现值,记为 ,对应于式 ,有 求和,得 相应地,各期付款在第 期期末的积累值记为 ,且有,式 与 相比,分子不同,差别在于式 分母为 ,而式 分母为 .期末付年金公式中 是利息在每期期末支付的度量标准,见式 的解释. 期初付年金公式中 是利息在每期期初支付的度量,标准如下式: 即 式 表明期初投资额为1,且每期期初获得利息为 ,共 期,所有利息在0时刻的现值之和为 为 时刻 初收回本金1在0时刻的现值.如图2.2.2所示.,(投资回收),(期初投资额),(各期回收0时刻现值， 1为投资本金),图2.2.2,类似地,有 很明显地, 与 及 与 之间存在着一定的联系,由式 推

26、导可得,同理,由式 可得 由式 及式 ,可得,同理,由式 以及 ,可得 式 以及 的关系如图 所示.,图2.2.3,(给付额),(时间),图中将时刻 的付款值看作以时刻0为起点,就是期末付 期年金,各期付款在时刻0的现值就是 ;若以时刻1为起点,就是期初付 期年金,各付款现值之和为 , 再向前贴现一期或 向后积累一期,二者即相等,如式 所示,同理可解释式 .若以时刻0为起点,每期期末付1,共付 期,即时刻 不付款,则各期付款的现值为 ,而这时假设在时刻0多1单位付款,则全部付款的现值为 . 及 都是以时刻0为起点的年金现值,区别是 少,一个时刻0时的单位付款额1,而这一付款的现值为1,因而有式

27、 . 在例2.1.2中,若存款该为每月月初进行, 其他条件不变,计算每月需存入的款项. 解 由题设知,每月存入的款项构成期初付年金,设每月月初存款额为 ,有,例2.2.1,(元),客户每月月初需存入 元,才可以在1年后获10000元. 例2.2.1中, 是直接计算的,也可以通过 计算,结果相同.,2.3 任意时刻的年金值,前两节对时刻0的年金现值及时刻 的年金积累值进行了计算(包括期末付年金即期初付年金).不论在理论上还是在实务中,都会遇到要求计算任意时刻年金值 的问题( 时为年金现值, 时为年金终值 ),如延期年金的现值.所谓延期年金现值,就是以当前时刻为0时刻点,在0时刻以后若干时期后开始

28、按期支付的年金.相当于支付前向后推移若干期间,而计算现值的时刻不变.一般而言,有三种时刻的年金值需要计算(1) 首期付款前某时刻的年金现值.(2) 最后一期付款后某时刻的年金积累值;,(3) 付款期间某时刻的年金当前值.这里假定各计算年金现值时刻都是整数时刻,即距各付款时刻的距离为付款期间的整数倍.这些时刻的年金现值或积累值都可以通过计算每次付款在该时刻的现值或积累值的方法来进行,但较为复杂,应该通过已有的公式,寻找较为简便的方法. 下面通过一个例子(见图2.3.1)说明这三种时刻的年金值(现值或积累值).,图中,付款次数 ,首次付款发生在时刻 ,末次付款发生在时刻 ,则时刻0时的年金现值就是

29、延期年金现值,相当于第(1)种;时刻10时的年金积累值相当于第(2)种;时刻4时的年金当前值相当于第(3)种.另外这5次付款在时刻0时的年金现值是一个5期的期末付款额为1的年金现值即 ;在时刻1的年金现,1,1,1,1,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,（时间）,(给付额),图2.3.1,值是 ,在时刻5的年金积累值为 ,在时刻6的年金积累值为 . 2.3.1 在首期付款前某时刻的年金现值 如时刻0时的年金现值,以 表示.在图2.3.1中,可以通过时刻1或2的年金现值折现来计算,即 或 也可通过年金现值间加减的方法(即不通过年金的折现)来计算.假设时刻1有1单位付款,则0时刻包

30、含这一付款的年金现值为 ,而这一付款在0时刻的年,金现值为 ,这样,已知的5次付款在时刻0时的年金现值为 ;另外,设是时刻0还有1单位的付款,则0时刻包含这两个假设付款的年金现值为 ,而这两个付款的年金现值为 ,因此 根据年金折现法及年金加减的方法计算出的同一时刻的年金现值应该是相等的,即有 及 将上式一般化,有,及 2.3.2 在最后一期付款后某时刻的年金积累值 如在时刻10时的年金积累值,以 表示.在这种情况下, 相当于将时刻6的期末付5期年金积累值视为一次性投资,再经过4期积累,所得的本利和为 也可视为时刻7时的期初付5期年金的积累值,再经过3期复利积累所得的本利和.即 根据式 ,说明上

31、式与通过期末付款法 计算结果相同. 另外,时刻10时的年金积累值也可由两个年金的 加减计算,不通过年金再积累.假设在时刻7 时刻10 各有一个单位付款,则这几个付款在时刻10时的年金 积累值为 ,包括这几个付款已知的5个付款在时刻10,时的年金积累值为 ,因此 该值也可通过假设在时刻7 时刻9各有1单位付款,则 可按期初付年金积累值算法得 上面的两个结果与通过年金积累值再积累的结 果是等价的,因此有 及,将上面两式一般化,有 及 2.3.3 付款期间某时刻的年金当前值 如在时刻4时的年金当前值以 表示.这种情形 下可以通过计算所有付款在时刻1或时刻2时年金当 前值经过3期或2期的积累所得的本利

32、和获得.即有 或,也可通过计算所有付款在时刻6或时刻7时的年金 积累经过2期或3期折现的现值获得 或 同样时刻4的年金当前值也可通过单纯的年金现 值或积累值之间的加减算得,而不通过现值的积累或 积累值的折现.该时刻的年金当前值可以视为3期期末 付年金积累值与2期期末年金现值之和,即,或2期期初付年金积累值与3期期初付年金值之和,即 我们可以看出,关于时刻4的年金当前值的各种算 法是等价的.将上面的范例一般化,假定付款期限为 , 其中第 次付款时所有付款的当前值 及,2.4 永续年金,前面所讲述的年金都是假定期限为 , 为有限数,付款次数为有限次( 是整数).付款次数没有限制,永远持续的年金称为

33、永续年金.永续年金在经济领域中也有应用,如公司股票中不能赎回的优先股,其固定红利的给付就是永续年金的形式.又如某基金会的利息从一某种事业,则每期利息的支取会永远持续下去,也是一种永续年金的形式. 期末付永续年金的现值记为 ,则有,也可通过求 在 时的极限值获得,即 式 可以解释为在利率为 时,首期期初投资 ,且不收回本金,则每期期末可获得数额为 的利息,一直持续下去. 相应的期初付永续年金记为 ,则有,永续年金的最终积累值不存在,因为给付没有终点时刻,且无穷的均衡给付导致积累值变为无穷大. 对式 略作变换,有 ,而当 时, 可以看做两个永续年金的组合,如,即 为0时刻起,每期期末付款额为1的永

34、续年金与延付 期的期末永续年金的差. 将式 略作变换,有 此式可通过下面人经济学行为解释;某人投资 购买永续年金,投资利率为 ,则每年年末可获得数额为1的利息,在 年年末已获得的利息在时刻0的现值为 .该投资人想收回投资,则收回的投资额为 时起的永续年金现值 ,即投资本金,然后折现到0,时刻为 . 某人去世后,保险公司将支付 元的保险金,其三个受益人经协商,决定按永续年金方式领取该笔款项,受益人A领取前8年的年金,受益人B领取以后10年的年金,然后由受益人C领取以后的所有年金.所有的年金领取都在年初发生.保险公司的预定利率为 .计算A,B,C各自所领取的保险金份额. 解 每年可领取的年金数额为

35、,例2.4.1,(元),A的份额为 B的份额为 C的份额为 个人所得的保险金份额之和为100000元,若A,B,C计划领取期末付年金,则没年支付额恰好为6500元 .三人领取份额之和仍为100000元.,(元),(元),(元),2.5 连续年金,付款频率无限大(即连续付款)的年金叫连续年金,这是付款频率大于计息频率的特例.虽然这种年金在实务中是不存在的,但它在年金的理论分析以及其他方面如精算数学中的应用极为广泛. 连续付款 个计息期,每个计息期的付款额之和为1的年金现值记为 ,则 式中, 为时刻 到时刻0的折现因子; 为 时刻的付,款额; 为时刻 的付款额在时刻0的折现值.这些连续付款的现值之

36、和即 的积分值为其年金现值,简化式 .有 连续年金的积累值记为 ,有,通过积分变换 ,得 在式 中,以积分上限 为变量,对其进行微分,并且在结果中以 替换 ,则有,式 中等式左边表示 的变化率,等式右边则解释了这种变化的构成.即以连续的方式在每个计息期存款1单位, 时刻的年金积累值为 , 的变化率为 .这一变化率由两部分组成,一部分是每个计息期连续存入的1单位存款;另一部分是 时刻的积累值 所获得的利息 . 以 的形式表示 , . 解 根据已知,例2.5.1,代入式 及式 ,有 有两个连续还款模型A,B.A每期还款额为2，还款期限为20年,B每期还款额为3，还款期限为10年.求使A,B模型等效

37、的 . 解 根据式 ,有,例2.5.1,而由 可得 ,显然是不可是本题的解. 由 可得 因此 时,A.B模型等效.,三 等值方程,1.基本概念 在债务偿还中基本的问题是借 出资本要连本带息归还借出方，遵循的原则 是：借出的资本在时刻0（本金）时的现值应 与偿还的资本在时刻0时的现值相等，亦即， 借出的资本在债务到期时的终值应与偿还资 本在债务到期时的终值相等，这即是等值方 程。,2. 等值方程在债务偿还中的应用 2.1 分期偿还 分期偿还是指借款人按一定的周期分期清偿 贷款，每次偿还当期应支付的利息和部分本 金。这里需要计算每次需要偿还的总金额、 每次偿还金额中包含的本金和利息金额、一 定时期

38、尚未偿还的借款本金余额等。,（1）等额分期偿还 等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期 内每次偿还相等金额的还款方式。设贷款本 金为B_0,还款期限为n年， 每年还款一次并 在还款年度末进行，年实际利率为I, 作为每 次偿还金额R满足等值方程：,在每期偿还的金额R中， 既包括当期应偿还 的利息，也包括部分本金。偿还的利息等于 期初未偿还本金余额与当期实际利率的乘 积。未偿还本金余额就是计算日尚未偿还的 借款本金。 用B_k(k=1,2,n)表示第k期末的 未偿还本金余额，也就是第k次还款后需要再 以后偿还的剩余还款额。这样，借款期初未 偿还本金余额为B_0, 经过n期还款，还清全,部借款，即B

39、_n=0. 在中间任何点，未偿还本 金余额可以采取“过去法”和“将来法”计算。 在过去法下，未偿还本金余额等于借款本金 扣减过去已偿还本金的差额。设每期期初的 本金余额分别为B_0,B_1,B_n,则每期的利 息分别为iB_0,iB_1,iB_n,各期偿还的本金 额为R-iB_0,R-iB_1,R-iB_n,则各期末未偿 还的本金余额为：,第一期末：B_1=B_0-(R-iB_0)=B_0(1+i)-R, 第二期末：B_2=B_1-(R-iB_1)=B_1(1+i)-R =B_0(1+i)2-Rs_2, .以此类推，得第k期末未偿还本 金余额为： B_k=B_0(1+i)k Rs_k， 由此可

40、知，第k期 末未偿还本金余额等于原始本金在k期末的累 积值 B_0(1+i)k与过去所有已支付的款项R,在k期末的累积值Rs_k的差额. 将来法下，未偿还本金余额是将来需要偿还 的总金额在计算时点的现值，即 可证，两种方法计算的未偿还本金余额是相 等的。,证明：,在每期未偿还本金余额的基础上，容易计算 每期需支付的利息额：,令第k期偿还的本金为P_k,则 可将上述结果归纳成表格“等额分期偿还表”：,从表中可以看出，每期偿还的本金金额是一 个等比递增数列，意味着借款人在初期偿还 的本金较少，而在后期偿还的本金较多，相 应地，由于每期支付的总金额R是固定的，借 款人支付的利息金额是逐期递减的。同时， 每期偿还的本金金额之和等于原始本金。 例 设甲向乙借款20000元，期限5年，年实际,利率为6%，甲在每年末以等额分期方式偿还 贷款。试计算每年末应偿还的金额、各年末 的未偿