定积分的概念和性质

1、定积分的概念和性质,设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0（即X轴）及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.,1.曲边梯形的面积,一、定积分问题举例,观察与思考： 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?,怎样求曲边梯形的面积？,称为区间的一个分法,对每个小曲边梯形均作上述的近似,2.变速直线运动的路程,分析：,（1）分割,（2）取近似,(3)求和,（4）取极限,1. 定积分的定义,(i1, 2, n),作和,记Dxi=xi-xi1 (i1, , n),个分点: ax0x1x2

2、 x2 xi-1 xi xn-1 xn = b,由于 xi-1 xi ， xi = xi - xi-1 b ，同样可给出定积分,即可，,根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：,(1) 曲边梯形面积 A 是曲边函数 f (x) 在区间a, b上的定积分，,即,(2) 变速直线运动的路程 s 是速度函数 v (x) 在时间间隔 T1,T2 上的定积分，,即,解 把区间0, 1分成n等份, 分点为和小区间长度为,例1,（1）当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示由曲线曲边梯形的面积.,（2）当f(x)0时, f(x)在a, b上的定积分表示曲边梯形面积的负值.,三、定积分的几

3、何意义,A=A1+A2+A3,例2、用定积分表示下列图中阴影部分的面积,例3、 用定积分表示由 所围平面图形的面积。,解：平面图形如右图所示,例4 用定积分表示由 所围平面图形的面积。,1,o,解：平面图形如右图所示,A2,由图可知,因为,所以,解 函数 y1x在区间0, 1上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积.,例5,四、定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质 1 （1）两个函数和的定积分等于它们定积分的和，即,证,根据定积分的定义，,有,性质 1 （1）可推广到有限多个函数代数和的情况，即,证明,性质1 （2）被积函数的常数因子可以提到积分号

4、外 面，即,性质 2 如果在区间 a, b 上 f (x) 1 ，那么,性质3 （积分对区间的可加性） 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b，则,性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分.,当c在区间a,b 之外时，上面表达式也成立.,利用定积分的几何意义，可分别求出,解,解,解,性质 5 如果在区间 a, b 上有 f (x) g (x)，那么,证 由性质 1 与定积分的定义，知,移项，得,推论 由性质 5 可得,例 比较下列各对积分值的大小：,解 (1) 根据幂函数的性质，在 0, 1 上，有,由性质 4 ，得,(2) 令 f (x) = x

5、- ln(1 + x)，,f (x),所以，,f (x) f (0) = x - ln(1 + x)|x = 0 = 0，,从而有 x ln(1 + x)，,由性质 4 ，得,由,在区间 0, 1 上,性质 5 (估值定理) 如果存在两个数 M，m，,使函数 f (x) 在闭区间 a, b有 m f (x) M，,那么,解,解:,令 f (x) = 0，,得驻点 x = 0.,比较驻点 x = 0，区间端点 x = 1 的函数值，,f (0) = e0 = 1，,根据估值定理得,例 、估计定积分 的值。,最大值 M = 1，,估值定理,= f (x) (b - a),证 因为 b a 0，由估值定理得,由闭区间上连续函数的介值定理知道，,于是得,当 b a 时，,上式仍成立 .,估值定理,在a, b 上至少存在一个点 x ，使,该性质的几何解释是