随机变量数字特征习题课

1、第12讲：随机变量的数值特征练习课教学目的：掌握随机变量的数值特征，理解切比雪夫不等式和大数定律。教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质和计算，熟悉常见分布的数学期望和方差。教学难点：随机变量函数的数学期望。教学时间：2小时教学过程：一、关键知识点的复习1.随机变量的数学期望对于离散随机变量如果是这样，就假设这个级数是绝对收敛的，否则就没有数学期望。对于连续随机变量假设广义积分绝对收敛，否则没有数学期望。2.随机变量函数的数学期望，其中它是实函数。对于离散随机变量对于连续随机变量假设所涉及的无穷级数是绝对收敛的，所涉及的广义积分是绝对收敛的。3.二维随机变量函数的数学期望，它是二元

2、实函数。对于离散随机变量对于连续随机变量假设所涉及的无穷级数是绝对收敛的，所涉及的广义积分是绝对收敛的。4.数学期望的本质(假设所有涉及的数学期望都存在)如果他们彼此独立，那么。如果他们彼此独立，那么。5.这里假设随机变量的方差存在。6.差异的本质如果他们彼此独立，那么。如果它们是独立和不变的，那么。7.随机变量的阶原点矩随机变量的阶中心矩很容易知道。8.随机变量和的协方差如果是这样的话，据说是无关紧要的。如果随机变量和是相互独立的，那么它们就互不相关，反之亦然。9.随机变量和之间的相关系数10.切比雪夫不等式：如果随机变量的数学期望和方差存在，它是任意的号码是利用切比雪夫不等式可以证明切比雪

3、夫定理，进而推导出伯努利定理。后两个定理是常用的大数定律。二、典型实例分析1.已知随机变量的概率分布是-2010.30.40.3拜托。可以通过替换关键点2、顺序和公式来执行分析。解决办法注意，计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：一种是先计算随机变量的概率分布或概率密度，然后根据数学期望的定义进行计算；一是直接引入两个要点中列出的公式。后一种方法通常更简单。2.设置二维随机变量的概率密度，拜托。分析问题中的前五项可根据第3点中列出的公式计算，后两项可根据第8点和第9点计算。解决办法又因此根据对称性，请注意，二维随机变量的许多计算可以归因于计算二维随机变量的函数的数学期望，所以第3点列出的

4、公式应灵活应用。3.填空(1)如果已知，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(2)随机变量相互独立，然后_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。(3)如果它是独立的和平均分配的，则_ _ _ _ _ _ _ _ _。(4)如果随机变量的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计。在第8点，分析被公式解(1)代替；从已知公式中获取、并使用方差性质求解(2)；对于(3)，随机变量的概率分布可以得到并求解，或者全部服从“0-1”分布并替换相应的公式；对于(4)，引入了切比雪夫不等式。解决办法(1)(2)(3)求解一个，解决方案2(4)注：填空主要用于复

5、习概念和熟悉各种计算公式，这些通常需要较少的计算。4.一台设备由三部分组成，每一部分在设备运行中需要调整的概率分别为0.1、0.2和0.3。假设每个部分彼此独立，可以表示需要同时调整的部分的数量，并且可以获得数学期望和方差。首先，新的随机变量被引入到an中注：对于应用问题，大量的计算都是为了计算概率，这就要求掌握以前学过的各种计算概率的方法。6.让随机变量服从分布，并计算其概率密度，其中它是一个常数。分析由定义和计算中涉及的函数决定。解决办法又因此.注意分布也是一个常见的分布，例如，指数分布是一个分布，这是非常统计有用的分布就是分布。7.位于该区域并服从均匀分布。分析假设面积为0，当面积服从均

6、匀分布时，结合概率密度，根据关键点3进行计算。解决办法注意二维随机变量服从均匀分布也是常见的。它可以自然地推广到一维随机变量的均匀分布，其联合概率密度的书写也是相似的。8.计算下列问题(1)设定并相互独立。(2)让和彼此独立，它们的数学期望和方差都是已知值分析是根据第4、5和6点中的相关公式计算的。解决方案(1)(2)注意：要从已知值中导出未知值，通常需要掌握相关的公式。在使用一个公式时，我们应该注意它的成立条件，其中独立性是非常重要的。关于独立性，有以下重要结论：如果它是一个连续函数，那么它是相互独立的。在本主题中，当和相互独立时，也是相互独立的。这里。9.假设二维随机变量的概率密度，问：(1)和相互独立吗？(2)是否相关？根据是否正确回答(1)；根据是否正确回答(2)。解(1)的边际概率密度为,因为，和不是相互独立的。(2)，(使用奇数函数属性)，,因此，它与。三。摘要随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计特性，但在实践中有时很难找出随机变量的分布函数、概率分布和概率密度。许多实际问题只需要知道随机变量的一些特征数。这说明掌握特征数的概念、计算和相