2010-2019北京高考数学(文)真题分类 导数的计算与 几何意义

1、2010-2019 北京高考数学（文）真题分类 导数的计算与 几何意义 2x 1.（2019 全国文 13）曲线y 3(x x)e在点(0,0)处的切线方程为_ 2.（2019 全国文 10）曲线y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为 Ax y1 0 C2x y21 0 x B2x y21 0 Dx y 1 0 3.（2019 全国三文 7）已知曲线y ae xln x在点处的切线方程为y=2x+b，则 （，1ae） Aa=e，b=-1Ba=e，b=1Ca=e ，b=1 -1Da=e ，b1-1 4.（2019 天津文 11）曲线y cosx x 在点0,1处的切线方程为_. 2

2、5.（2019 江苏 11）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的 切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点A的坐标是. 2010-2018 年 一、选择题 1(2018 全国卷)设函数f (x) x3(a 1)x2 ax若f (x)为奇函数，则曲线y f (x)在点(0,0)处的切线方程为 Ay 2xB y x x Cy 2xD y x 2（2017 山东）若函数e f (x)(e=271828，是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增，则称函数 f (x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是 x2 Af (x) 2Bf (x) xCf (

3、x) 3Df (x) cos x x 3 （2016 年山东）若函数y f (x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y f (x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是 Ay sinxBy lnxCy exDy x3 lnx,0 x 1 4（2016 年四川）设直线l1，l2分别是函数 f (x) ，图象上点P 1 ，P 2 处的切线，l1与l2垂直 lnx,x 1 相交于点P，且l1，l2分别与 y 轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是 A(0,1) B(0,2) C (0,+) D(1,+ ) 1 1 / 1515 5（2013 浙江）已知函数y

4、 f (x)的图像是下列四个图像之一， 且其导函数y f x的图像如右图所示，则该函数的图像是 6（2014 新课标）设曲线y axln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y 2x，则a= A0 B1 C2 D3 7(2011 重庆)曲线y x 3x在点（1，2）处的切线方程为 Ay 3x1By 3x3Cy 3x5Dy 2x 8（2011 江西）曲线y e在点A(0,1)处的切线斜率为（） A1 B2 C e D x 22 1 e 9（2011 山东）曲线y x 11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 A-9 B-3 C9 D15 2 10（2011 湖南）曲线y sin x1 在

5、点M( ,0)处的切线的斜率为（ ） sin xcosx24 A 1122 B C D 2222 3 11（2010 新课标）曲线y x 2x1在点(1,0)处的切线方程为 Ay x1 By x1 Cy 2x2 Dy 2x2 12（2010 辽宁）已知点P在曲线y 4 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 xe 1 A0, 33 D,) )B ,) C(, 4 22444 二、填空题 13(2018 全国卷)曲线y 2ln x在点(1,0)处的切线方程为_ 2 2 / 1515 14(2018 天津)已知函数f(x)exlnx， f (x)为f(x)的导函数，则f (1) 的值为_

6、 15（2017 新课标）曲线y x2 1 在点(1,2)处的切线方程为_ x 16（2017 天津）已知aR R，设函数f(x)axlnx的图象在点(1, f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为 17（2016 年全国 III 卷）已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x) e 的切线方程式_ 18（2015 新课标 1）已知函数f(x) axx 1的图像在点(1, f(1) 的处的切线过点(2,7)，则a 19（2015 陕西）函数y xe在其极值点处的切线方程为_ 20（2015 天津）已知函数f(x)axlnx，x 0, ，其中a为实数，f (x)为f(x)的导函数，若f 1 3，

7、则a的值为 21（2015 新课标 2）已知曲线y xlnx在点( 1, 1)处的切线与曲线yax(a2)x 1相切，则a 22（2014 江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2 的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是 23（2014 江西）若曲线y xlnx上点P处的切线平行于直线2xy 10,则点P的坐标是_ 24（2014 安徽）若直线l与曲线C满足下列两个条件： b (a，b为常数)过点P(2, 5)，且该曲线在点P处 x 2 x 3 x 1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处 (i)直线l在点P x 0 ,y 0 处与曲线C相切；(ii )曲线C在P附近位于直线l的两侧，

8、则称直线l在点P处“切过” 曲线C下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号) 直线l:y0在点P 0, 0处“切过”曲线C：y x3 直线l:x1在点P 1, 0 处“切过”曲线C：y (x 1)2 直线l:yx在点P 0, 0处“切过”曲线C：ysinx 直线l:y x在点P 0, 0 处“切过”曲线C：y tanx 直线l:y x 1在点P 1, 0 处“切过”曲线C：y lnx 25（2013 江西）若曲线y x1（R）在点(1,2) 处的切线经过坐标原点，则= 26（2012 新课标）曲线y x(3lnx 1)在点(1,1) 处的切线方程为_ 3 3 /1515 三、解答题 27（2

9、017 山东）已知函数f x 1 3 1 2x ax ,aR R 32 ()当a 2时，求曲线y f x在点 3, f3 处的切线方程； ()设函数gx f xxacosxsinx ，讨论gx的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值 28（2017 北京）已知函数f (x) e cos x x （）求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程； x （）求函数 f (x)在区间0,上的最大值和最小值 2 29（2016 年北京）设函数f x x ax bxc. 32 （I）求曲线y f x.在点 0, f0 处的切线方程； （II）设a b4，若函数f x有三个不同零点，求 c 的取

10、值范围； （III）求证：a 3b0是f x有三个不同零点的必要而不充分条件.2 x2 30（2015 山东）设函数f (x) (xa)ln x，g(x) x ，已知曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切线与直线 e 2x y 0平行 （）求a的值； （）是否存在自然数k，使的方程f (x) g(x)在(k,k 1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不 存在，请说明理由； （）设函数m(x) minf (x),g(x)（minp,q表示p, q中的较小值），求m(x)的最大值 31(2014 新课标 1)设函数f x alnx 1a 2x bxa 1，曲线y f (x)在点(1,f

11、 (1)处的切线斜率为 0 2 （）求b； （）若存在x01，使得f (x0) 2 a ，求a的取值范围 a1 32（2013 北京）已知函数f (x) x xsin xcos x 4 4 / 1515 （1）若曲线y f (x)在点(a, f (a)处与直线y b相切，求a与b的值 （2）若曲线y f (x)与直线y b有两个不同的交点，求b的取值范围 5 5 / 1515 2010-2019 北京高考数学（文）真题分类汇编专题三 导数的计算与导数的几何意义参考答案 2019 年 x3 x2 x）ex，所以y 3e（x2 3x 1） 1.解析解析因为y （， 3 x2 x）ex在点所以当x

12、0时，y 3，所以y （处的切线斜率k 3，（0， 0） 又y0 0所以切线方程为y 0 3x0，即y 3x 2.解析解析由y=2sinx+cosx，得y 2cos xsin x，所以 y x 2cos sin=-2， 所以曲线y=2sinx+cosx在点(,1)处的切线方程为 y1 2(x)， 即2x y21 0 故选 C xxy ae xlnxy ae lnx1， 3.3.解析解析的导数为 xy ae xlnx 在点 (1,ae) 处的切线方程为 y 2xb ，又函数 可得ae01 2，解得 a e ， 又切点为 (1,1) ，可得1 2b，即b 1. 故选 D 1 4.解析解析由题意，可

13、知y sin x 111 .因为 y sin0 ， 2x 022 所以曲线y cosx x1 在点0,1处的切线方程y1 x，即x 2y 2 0 22 11 ，所以y|xx 0 ， x 0 x 1 (x x 0 )，因为切线经过点(e,1)， x 0 5.解析解析设A(x 0 ,lnx 0 )，由y lnx，得y 则该曲线在点A处的切线方程为y lnx0 所以1lnx0 ee 1，即lnx 0 ，则x 0 e x 0 x 0 2010-2018 年 1D【解析】通解因为函数f (x) x (a 1)x ax为奇年函数，所以f (x) f (x)， 2 所以(x) (a1)(x) a(x) x

14、(a1)x ax，所以2(a1)x 0， 3232 32 6 6 / 1515 因为xR R，所以a 1，所以f (x) x x，所以f (x) 3x 1，所以f (0) 1，所以曲线y f (x)在点 32 (0,0) 处的切线方程为y x故选 D 优解一因为函数f (x) x (a 1)x ax为奇函数，所以f (1) f (1) 0，所以 32 1a1a(1a1a) 0，解得a 1，所以f (x) x3 x， 2 所以f (x) 3x 1，所以f (0) 1，所以曲线y f (x)在点(0,0)处的切线方程为y x故选 D 优解二易知f (x) x (a 1)x ax xx (a 1)x

15、 a，因为f (x)为奇函数，所以函数 322 g(x) x2(a1)xa为偶函数，所以a1 0，解得a 1，所以 f (x) x3 x，所以f (x) 3x21，所以f (0) 1，所以曲线y f (x)在点(0,0)处的切线方程为y x故 选 D x 2A【解析】对于选项 A，f (x) 2 11ee ( )x， 则exf (x) ex( )x ( )x，1，exf (x)在 R R 上单调 2222 xx2x2xx2 递增，f (x) 2具有 M 性质对于选项 B，f (x) x，e f (x) e x，e f (x) e (x 2x)，令 ex(x22x) 0，得x 0或x 2；令ex

16、(x22x) 0，得2 x 0，函数exf (x)在(,2)和 1 (0,)上单调递增，在(2,0)上单调递减，f (x) x2不具有 M 性质对于选项 C，f (x) 3x ( )x， 3 则e f (x) e ( ) ( )， xx xx 1 3 x e 3 x ee 1，y ( )x在 R R 上单调递减，f (x) 3x不具有 M 性质对于选项 33 D，f (x) cos x，e f (x) e cos x， 则e cos x e (cos xsin x)0在 R R 上不恒成立，故e f (x) e cos x在 R R 上不是单调递增的，所以 xxxx f (x) cos x不具

17、有 M 性质 3A【解析】设两个切点分别为(x1, y1)，(x2, y2)，选项 A 中，y cosx，cosx1cosx2 1，当 x 1 0,x 2 时满足，故 A 正确；函数y ln x, y ex, y x3的导数值均非负，不符合题意，故选A. 4A【解析】设P 1 x 1 ,lnx 1 , P 2 x 2 , lnx 2 （不妨设x 1 1, 0 x 2 1），则由导数的几何意义易得切线l 1 , l 2 的斜率分别为k1 11 , k 2 . 由已知得 x 1 x 2 k 1k2 1,x 1x2 1,x 2 11 .切线l 1 的方程分别为y ln x1 x x 1 ， x 1

18、x 1 切线l2的方程为y ln x2 1 1 x x 2 ，即y ln x 1 x 1 x x 2 x 1 7 7 / 1515 分别令x 0得A0, 1lnx 1 , B0,1 lnx 1 . 又l 1 与l 2 的交点为 2x 1 1 x 1 2 P(,ln x 1 )x 1 1， 1 x 1 1 x 1 2 S PAB 2x 1 1 x 1 21 | y A y B | x P |1，0 S PAB 1，故选 A 2221 x 1 1 x 1 5B【解析】由导函数图像可知函数的函数值在 1,1上大于零，所以原函数递增，且导函数值在 1,0递增， 即原函数在1,1上切线的斜率递增，导函数

19、的函数值在0,1递减，即原函数在0,1上切线的斜率递减， 所以选 B 6D【解析】y a 1 ，由题意得y| x0 2，即a 3 x1 2 7A【解析】y 3x 6x切线斜率为 3，则过（1,2）的切线方程为y2 3(x1)，即y 3x1，故选 A. 8A【解析】y e，x 0，e 1 9C【解析】y 3x，切点为P(1,12)，所以切线的斜率为 3， 故切线方程为3x y 9 0，令x 0得 2 x0 y 9 10B【解析】y cosx(sin xcosx)sin x(cosxsin x)1 ，所以 (sin xcosx)2(sin xcosx)2 y 11 。 2 2x 4 (sin 4

20、cos 4 ) 231 2 1，由点斜式可得切线方程为A x1 11A【解析】点(1,0)处的切线斜率为k，k y 4ex43 1 12D【解析】因为y x ，即 tan1，所以 (e 1)2ex2ex4 13y 2x2【解析】由题意知，y 为y0 2(x1)，即y 2x2 2 ，所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k y x x1 2，故所求切线方程 14e【解析】 由题意得f (x) e lnxe xx 1 ，则f (1) e x 8 8 / 1515 15y x1【解析】y 2x 1 ，又 y 1，所以切线方程为y2 1(x1)，即y x1 x2x 1 1 ，则切线的斜率为f (1) a1

21、，切线方程为： x 161【解析】f (1) a，切点为(1,a)，f (x) a ya (a1)(x1)，令x 0得出y 1，l在y轴的截距为1 17y 2x【解析】当x 0时，x 0，则f (x) ex1 x又f (x)为偶函数，所以 ex f (x) f (x) x，所以当x 0时，f (x) ex11，则曲线y f (x)在点(1，2)处的切线的斜率 e 为f (1) 2，所以切线方程为y 2 2(x 1)，即y 2x 2 181【解析】f (x) 3ax 1，f (1) 3a1，即切线斜率k 3a1， 又f (1) a2，切点为（1，a2），切线过（2,7）， a27 3a1， 12

22、 解得a 1 19y 11 x 【解析】y (1 x)e，极值点为(1, )，切线的斜率k y 0，因此切线的方程 eex 1 1 e 为y 203【解析】因为 f x a1lnx，所以 f 1 a 3 218【解析】y 1 1 ， y 2，y xln x在点(1,1)处的切线方程为y1 2(x1)， xx 1 y 2x1，又切线与曲线y ax2(a2)x1相切，当a 0时，y 2x1与y 2x1平行，故 11 a 0y 2ax(a2)，令2axa2 2得x ，代入y 2x1，得y 2，点(,2) 22 在y ax (a2)x1的图象上，故2 a( ) (a2)( )1，a 8 2 1 2 2

23、 1 2 223【解析】由题意可得5 4a bbb7 又f (x) 2ax 2 ，过点P(2,5)的切线的斜率4a ， 2x42 由解得a 1,b 2，所以ab 3 23(e,e)【解析】由题意得y lnx x 1 1lnx，直线2x y1 0的斜率为2，设P(m,n)，则 x 1lnm 2，解得m e，所以n elne e，所以点P(e,e) 9 9 / 1515 2 24【解析】对于，y 3x , y| x0 0，所以l : y 0是曲线C : y x在点P(0,0)处的切线，画 3 图可知曲线C : y x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，因为y 2(x 1),y| x1

24、 0， 所以l : x 1不是曲线C：y (x1)在点P1,0处的切线，错误；对于，y cos x, y| x0 1，在 2 3 点P0,0处的切线为l : y x，画图可知曲线C：y sin x在点P0,0附近位于直线l的两侧，正确；对 于，y 11 y | 1，在点P0,0处的切线为l : y x，画图可知曲线C：y tanx在 ， x0 22cos xcos 0 1 ， x 点P0,0附近位于直线l的两侧，正确；对于y y| x1 1，在点P1,0处的切线为l : y x1，令h(x) x1ln x(x 0)， 可得h(x) 1 1x1 ，所以h(x)min h(1) 0， xx 故x1

25、ln x，可知曲线C：y ln x在点P1,0附近位于直线l的下侧，错误 252【解析】y x1，则k ，故切线方程y x过点(1,2)解得 2 26y 4x3【解析】y 3ln x4，切线斜率为 4，则切线方程为：4x y3 0. 27【解析】（）由题意f (x) x ax， 所以，当a 2时，f (3) 0，f (x) x 2x， 所以f (3) 3， 因此，曲线y f (x)在点(3, f (3)处的切线方程是y 3(x3)， 即3x y9 0 （）因为g(x) f (x)(xa)cos xsin x 所以g(x) f (x)cosx(xa)sin xcosx， 2 2 x(xa)(xa

26、)sin x (xa)(xsin x)， 令h(x) xsin x，则h(x) 1cosx 0，所以h(x)在R R上单调递增， 因此h(0) 0，所以，当x 0时，h(x) 0；当x 0时h(x) 0 （1） 当a 0时，g(x) (xa)(xsin x)， 当x(,a)时，xa 0，g(x) 0，g(x)单调递增； 当x(a,0)时，xa 0，g(x) 0，g(x)单调递减； 1010 / 1515 当x(0,)时，xa 0，g(x) 0，g(x)单调递增 所以，当x a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a) 1 3a sin a， 6 当x 0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)

27、a （2） 当a 0时，g(x) x(xsin x)， 当x(,)时，g(x)0，g(x)单调递增； 所以，g(x)在(,)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值 （3） 当a 0时，g(x) (xa)(xsin x)， 当x(,0)时，xa 0，g(x) 0，g(x)单调递增； 当x(0,a)时，xa 0，g(x) 0，g(x)单调递减； 当x(a,)时，xa 0，g(x) 0，g(x)单调递增 所以，当x 0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0) a； 当x a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a) 综上所述： 当a 0时，函数g(x)在(,a)和(0,)上单调递增，在(a,0)上单调

28、递减，函数既有极大值，又有极小 值，极大值是g(a) 1 3a sin a 6 1 3a sin a，极小值是g(0) a 6 当a 0时，函数g(x)在(,)上单调递增，无极值； 当a 0时，函数g(x)在(,0)和(a,)上单调递增，在(0,a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小 值，极大值是g(0) a，极小值是g(a) x 1 3a sin a 6 x 28【解析】（）因为f (x) e cos x x，所以f (x) e (cos xsin x)1, f (0) 0 又因为 f (0) 1，所以曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y 1 （）设h(x) e (co

29、s xsin x)1，x0, x 2 ，则 h(x) ex(cos xsin xsin xcos x) 2exsin x 当x(0, )时，h(x) 0， 2 所以h(x)在区间0, 上单调递减 1111 / 1515 2 所以对任意x(0, 有h(x) h(0) 0，即 f (x) 0 2 所以函数 f (x)在区间0,上单调递减 2 所以当x 2 时， f (x)有最小值f ( ) e2cos 22 2 2 ， 0 当x 0时， f (x)有最大值f (0) e cos00 1 29【解析】（I）由f x x ax bxc ，得 f x3x 2axb 322 因为f 0c ， f 0b ，

30、 所以曲线y f x在点 0, f0 处的切线方程为y bxc （II）当a b4时，f x x 4x 4xc ， 32 所以 f x3x 8x4 2 令 f x0，得3x 8x4 0，解得x 2或x 2 2 3 fx与 f x在区间,上的情况如下： x ,2 2 2 2, 3 2 3 2 , 3 f x fx 所以，当c0且c 0 c 0 c 32 27 2 32 0时，存在x 1 4,2，x22, ， 327 2 x3,0 ，使得 fx 1 fx 2 fx 3 0 3 由f x的单调性知，当且仅当c0, 32 32 时，函数 fx x 4x 4xc有三个不同零点 27 22 （III）当

31、4a 12b 0时， f x3x 2axb 0，x,， 此时函数f x在区间,上单调递增，所以 fx不可能有三个不同零点 当 4a 12b 0时， f x3x 2axb只有一个零点，记作x 0 22 1212 / 1515 当x,x0时， f x0， fx在区间,x 0 上单调递增； 当xx0,时， f x0， fx在区间x 0,上单调递增 所以f x不可能有三个不同零点 综上所述，若函数f x有三个不同零点，则必有 4a 12b 0 2 故a 3b 0是f x有三个不同零点的必要条件 2 当a b4，c 0时，a 3b 0，f x x3 4x2 4x xx 2只有两个不同零点，所以a 3b

32、0不 22 2 是f x有三个不同零点的充分条件 因此a 3b 0是f x有三个不同零点的必要而不充分条件 2 30 【解析】 （）由题意知，曲线y = f (x)在点(1,f (1)处的切线斜率为2，所以f (1) 2， 又f (x) lnx a 1,所以a 1 x （）k 1时，方程f (x) g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x2 设h(x) f (x) g(x) (x1)ln x x , e 当x(0,1时，h(x) 0， 又h(2) 3ln 2 44 ln8 11 0, e2e2 所以存在x0(1,2)，使h(x0) 0 因为h(x) ln x 1x(x2)1 x(1,2)1,h(x) 1 0， 所以当时， xexe 当x(2,)时，h(x) 0，所以当x(1,)时，h(x)单调递增 所以k 1时，方程f (x) g(x)在(k,k 1)内存在唯一的根 （）由（）知，方程f (x) g(x)在(1,2)内存在唯一的根x 0 ，且x(0,x 0 )时，f (x) g(x)， (x1)ln x,x(0,x 0 ) x(x 0 ,)时，f (x) g(x)，所以m(x) x 2 x ,x(x 0 ,) e 当x(0,x0时，若x(0,1，m(x) 0 1313 /