2019年高考数学(理)真题和模拟题分项汇编14 坐标系与参数方程(解析版)

1、专题 14坐标系与参数方程 x 13t, 1【2019 年高考北京卷理数】已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），则点（1，0）到直线 l y 24t 的距离是 A 1 5 B 2 5 C 4 5 D 6 5 【答案】D 【解析】 由题意， 可将直线l化为普通方程： 所以点（1，0）到直线l的距离d x1y 2 1 3 ， 即4x 34 6 ，故选 D 5 2 0 y 3 y2 0 ， 即4x |402| 4232 【名师点睛】 本题考查直线参数方程与普通方程的转化， 点到直线的距离， 属于容易题， 注重基础知识、 基本运算能力的考查 1t2 x ， 21t 2【2019 年高考全国卷理数】

2、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）以 y 4t 1t2 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 2cos3sin11 0 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 y2 【答案】（1）x 1(x 1)；l的直角坐标方程为2x 3y 11 0；（2）7 4 2 1t4t2 y 1t 21，且x 【解析】（1）因为11，所以C的直角坐标方程为 2 2 21t2 21t 1t y2 x 1(x 1) 4 2 2 2 2 2 l的直角坐标方

3、程为2x 3y 11 0 （2）由（1）可设C的参数方程为 x cos, （为参数， ） y 2sin 4cos 11 |2cos2 3sin11|3 C上的点到l的距离为 77 当 2 时，4cos 11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为 7 33 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最 值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求 解问题 3 O 为极点， 【2019 年高考全国卷理数】 在极坐标系中，点M(0,0)(0 0)在曲线C : 4sin 上， 直线 l 过点A(4,0)且与O

4、M垂直，垂足为 P （1）当 0 = 时，求 0 及 l 的极坐标方程； 3 （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 【答案】（1） 0 2 3，l 的极坐标方程为cos 2； 3 （2） 4cos, , 4 2 【解析】（1）因为M 0 , 0 在C上，当 0 由已知得|OP|OA|cos 时， 0 4sin 2 3 33 2 3 |OP | 2， 3 设Q(,)为l上除P的任意一点在RtOPQ中，cos 经检验，点P(2,)在曲线cos 3 2上 3 所以，l的极坐标方程为cos 2 3 （2）设P(,)，在RtOAP中，|OP |OA|cos

5、4cos,即 4cos 因为P在线段OM上，且AP OM，故的取值范围是, 4 2 所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos, , 4 2 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型 4【2019 年高考全国卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，A(2,0)，B( 2, )，C( 2, 4 )，D(2,)， 4 弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1, )，(1,)，曲线M1是弧AB，曲线M 2 是弧BC， 曲线M 3 是弧CD （1）分别写出M1，M 2 ，M 3 的极坐标方程； （2）曲线M由M1，M 2 ，M 3 构成，若点P在 M 上，且

6、|OP | 2 3，求 P 的极坐标 【答案】（1）M1的极坐标方程为 2cos 0 ，M 2 的极坐标方程为 4 2sin （2） 3, 4 3 3 2cos M ，的极坐标方程为 3 4 4 2 5 3,3,3, 或或或 6 3 3 6 【解析】（1）由题设可得，弧 AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为 2cos， 2sin， 2cos 所以M1的极坐标方程为 2cos0 3 M 2sin ，的极坐标方程为 2 ，M 3 444 的极坐标方程为 2cos 3 4 （2）设P(,)，由题设及（1）知 ，则2cos 3，解得 ； 46 32 若，则2sin 3，解得 或； 4433 若0

7、若 35 ，则2cos 3，解得 46 2 5 或或或3,3,3, 6 3 3 6 综上，P的极坐标为3, 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题 5【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点A3, ,B2, ，直线l的方程为 4 2 sin 3 4 （1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离 【答案】（1）5；（2）2 【解析】（1）设极点为O在 OAB中，A（3， ），B（2，）， 42 ) 5 24 由余弦定理，得AB=32( 2)2232cos( （2）因为直线l的方程为sin( ) 3， 4 则直线l过点(3 2, )，

8、倾斜角为 2 3 4 3 ) 2 42 又B( 2, )，所以点B到直线l的距离为(3 2 2)sin( 2 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力 6【重庆西南大学附属中学校2019 届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参 x 5 10cos (为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲数方程为 y 10sin 线C2的极坐标方程为 4cos （1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程； （2）若直线l的极坐标方程为sin( ) 2 2，直线l与y轴的交点为M，与曲线C 1 相交于A,B 4 两点，求 M

9、A MB 的值 【答案】（1）cos 5 ；（2）9 2 2 22 【解析】（1）曲线C1的普通方程为：(x5) y 10， 曲线C2的普通方程为：x y 4x，即(x2) y 4， 由两圆心的距离d 3( 10 2, 10 2)，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6x215，即x 所以直线的极坐标方程为cos 2222 5 2 5 2 （2）直线l的直角坐标方程：x y 4，则与 y 轴的交点为M(0,4)， 2 x t 2 22 直线l的参数方程为，带入曲线C1(x5) y 10得t29 2t 31 0 y 4 2 t 2 设A,B两点的参数为t1，t2， 所以t 1 t 2 9 2

10、，t 1t2 31，所以t 1 ，t2同号 所以MA MB t1 t2 t 1 t 2 9 2 【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题 7【山东省郓城一中等学校2019 届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数 x 3cos 方程为（ 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M y sin 的极坐标为2 2, 3 sin l，直线 的极坐标方程为 2 2 0 44 （1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程； （2）若 N 是曲线 C 上的动点，P 为线段 MN 的中点，求点

11、P 到直线 l 的距离的最大值 x27 2 【答案】（1）x y 4 0， y21；（2） 32 【解析】（1）因为直线 l 的极坐标方程为sin 2 2 0， 4 即 sincos40由 xcos，ysin， 可得直线 l 的直角坐标方程为 xy40 x 3cos 将曲线 C 的参数方程，消去参数 a， y sin x2 得曲线 C 的普通方程为 y21 3 （2）设 N（3cos ，sin），0，2） 点 M 的极坐标（2 2， 则P 3 ），化为直角坐标为（2，2） 4 3 1 cos1, sin1 22 所以点 P 到直线 l 的距离 d 31 cossin6 22 2 sin 6 3

12、7 2， 22 所以当 5 7 2 时，点 M 到直线 l 的距离的最大值为 6 2 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考 查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 8【河南省周口市 20182019 学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的 x 4 参数方程为 y 3 2 2 t, 2 （t为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 2 t 2 212 的极坐标方程为（3sin） （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）若直线l与

13、曲线C交于A，B两点，且设定点P，求 （21 ， ） PB PA PA PB 的值 x2y286 1；（2） 【答案】（1）l普通方程为x y 1 0，C 直角坐标方程为 437 【解析】（1）由直线l的参数方程消去t，得普通方程为x y 1 0 2（3sin2） 12等价于322sin212， 3 x2 y2） y212， 将 x y ，sin y代入上式，得曲线C的直角坐标方程为（ 222 x2y2 1 即 43 x 2 （2）点P在直线x y 1 0上，所以直线l的参数方程可以写为 （21 ， ） y 1 x2y2 1，得7t220 2t 8 0 将上式代入 43 设A，B对应的参数分别

14、为t1，t2，则t1t2 2 t， 2 （t为参数）， 2 t 2 20 28 ，t 1t2 ， 77 2 2PA|2 PB |2（PA PB）2 PA PB（t 1 t 2 ）2 t 1 t 2 所以 PAPBPA PBt 1 t 2 PA PB PBPA |t 1 t 2 | 2 t 1 t 2 （ t 1 t 2 2 20 2 2 8 ）2 77 86 8 7 7 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握 直线参数方程中参数的几何意义 9 【河南省郑州市第一中学2019 届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的

15、 正半轴为极轴已知点 P 的直角坐标为，点 M 的极坐标为若直线 l 过点 P，且倾斜角为 （，1 5）（4，） 2 ，圆 C 以 M 为圆心、4 为半径 3 （1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； （2）试判定直线 l 和圆 C 的位置关系 1x 1 t 2 【答案】（1）（t为参数）， 8sin；（2）直线l与圆C相离 y 5 3 t 2 1 x 1tx 1cost 23 【解析】（1）直线l的参数方程（t为参数）， y 5sin t y 5 3 t 3 2 M 点的直角坐标为（0，4），圆 C 的半径为 4， （y 4）16，将 圆 C 的方程为x 22 22 x cos

16、代入， y sin 2 得圆 C 的极坐标方程为 cos(sin4) 16，即 8sin； （2）直线l的普通方程为3x y 53 0， 圆心 M 到l的距离为d 直线l与圆 C 相离 453 2 93 4， 2 【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题 2 x mt 2 10【全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学】 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 y 2 t 2 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为 2cos232sin2 48，其左焦点F 在直线l上 （1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求FA

17、FB的值； （2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值 【答案】（1）4 3；（2）32 3 【解析】（1）将 x cos 代入 2cos232sin248， y sin x2y2 1， 得 x 3y 48，即 4816 22 因为 c2481632，所以 F 的坐标为（4 2，0）， 又因为 F 在直线 l 上，所以m 4 2 2 x 4 2 t 2 把直线 l 的参数方程代入 x23y248， y 2 t 2 2 化简得 t 4t80，所以 t1t24，t1t28， 所以FA FB t1t2 （t 1 t 2）4t1t2 1648 4 3 2 x2y2 1， （2） 由椭圆 C 的方程可设椭圆

18、C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为 （4 3cos， 4816 4sin ）（0 ）， 2 所以内接矩形的面积S 8 3cos8sin 32 3sin2， 当 时，面积 S 取得最大值32 3 4 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 x cos ，而极坐标方程转化为直 y sin 2 x2 y2 2，cos ，角坐标方程的关键是利用公式， 后者也可以把极坐标方程变形， 尽量产生 y tan x sin以便转化 另一方面， 当动点在圆锥曲线运动变化时， 我们可以用一个参数来表示动点坐标， 从而利用一元函数求与动点有关的最值问题 11【河北衡水金卷 2019 届高三 12

19、 月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为 x 1tcos, （t 为参数，0 ），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度 y 1tsin 单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2 （1）当a 4 21sin 时，写出直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； 6 （2）已知点P11 ， ，设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 PA PB的取值范围 x2y2 1 1；（2） ， 1 【答案】（1）x 3y 13 0， 42 2 【解析】（1）当a 时，直线 的参数方程为l 6 3 x 1tcos, x 1t， 6 2 y 1tsiny 1

20、1 t 6 2 消去参数 t 得x 3y 13 0 由曲线 C 的极坐标方程为2 222 4 2 2 ，得 sin 4， 21sin 22 x2y2 1； 将x y ，及y sin代入得x 2y 4，即 42 （2）由直线l的参数方程为 x 1tcos, （t为参数，0 ）， y 1tsin 可知直线l是过点 P（1，1）且倾斜角为的直线， x2y2 1，所以易知点 P（1，1）在椭圆 C 内， 又由（1）知曲线 C 为椭圆 42 x 1tcos, x2y2 1中，整理得 将代入 42 y 1tsin 1sint 2222sincost 1 0， 设 A，B 两点对应的参数分别为t1，t2，

21、则t 1 t 2 1 ， 21sin 1 ， 1sin2 2 所以PA PB t 1 t 2 因为0 ，所以sin 所以PA PB t1t2 01 ， ， 1 1 ， 1， 1sin2 2 1 1 所以PA PB的取值范围为， 2 【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P（x0，y0），倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 x x 0 tcos （t 为参数）若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为t1，t2， y y0 tsin 线段 AB 的中点为 M， 点 M 所对应的参数为t0， 则以下结论在解题中经常用到： （1）t 0 t 1 t 2； （2） 2 PM

22、 t 0 t 1 t 2；（3）ABt 2t1 ；（4）PAPBt1t2 2 12【河南省信阳高级中学2018 2019 学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy中，以O为 极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2sin 2acos；直（a 0） 2 x 2t 2 线l的参数方程为（t为参数）直线l与曲线C分别交于M，N两点 y 2 t 2 （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若点P的极坐标为2， PM PN 5 2，求a的值 【答案】 （1） 曲线C的直角坐标方程为：xay 1 a21， 直线l的普通方程为y x2 （2）a 2 【解析

23、】（1）由 2sin2acosa 0，得 2sin2acosa 0， 2 22 所以曲线C的直角坐标方程为x y 2y 2ax， 即xay 1 a21，直线l的普通方程为y x2 22 22 2 x 2t, 2 22 （2）将直线l的参数方程代入x y 2y 2ax并化简、整理， y 2 t 2 得t 3 2 2a t 4a4 0因为直线l与曲线C交于M，N两点 所以 3 2 2a 2 2 44a 4 0，解得a 1 由根与系数的关系，得t1t23 2 2a，t 1t2 4a4 因为点P的直角坐标为2， 0，在直线l上所以PM PN t1t2 3 2 2a 5 2， 解得a 2，此时满足a 0

24、且a 1，故a 2 22 【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如cos sin1等三角恒等式）消去参 数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式 x 2 y22 x cos 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化， 这类问题一般我们可以先把曲, y y sin tan x 线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题 13 【河南省豫南九校 （中原名校） 2017 届高三下学期质量考评八数学】 己知直线l的参数方程为 2 x 1t y 32t （t 为参数） ， 曲线 C 的极坐标方程为sin16cos 0， 直线l与曲线 C 交于 A、 B 两

25、点， 点P （ 13 ， ） （1）求直线l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）求 11 的值 PAPB 2 【答案】（1）y 2x1，y 16x；（2） 8 10 35 【解析】（1）直线 l 的参数方程为 x 1t （t 为参数）， y 32t 消去参数，可得直线 l 的普通方程y 2x1， 曲线 C 的极坐标方程为sin 16cos 0，即 sin 16cos 0， 曲线 C 的直角坐标方程为y 16x， 2 222 5 x 1t 5 （2）直线的参数方程改写为（t 为参数）， y 3 2 5 t 5 代入y 16x， t 2 4 5 2 4 535 t 7 0，t 1 t 2

26、 5，t 1t2 ， 54 t t118 10 12 PAPBt 1t2 35 x cos 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式y sin ，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标 x2 y22 的相互转化 14【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 x t x 22cos （t 为参数），曲线C的参数方程是（为参数），以O为极点，x轴的非 y t 1y 2sin 负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）已知射线OP：1（其中0 ）与曲线C交于O，P两点，射线OQ： 2 与直 22 线l交于Q点，若OPQ

27、的面积为 1，求的值和弦长OP 【答案】（1）cossin1 0， 4cos；（2） ， OP 2 2 4 【解析】（1）直线l的普通方程为x y 1 0，极坐标方程为cossin1 0， （x2） y 4，极坐标方程为 4cos 曲线C的普通方程为 （2）依题意，OP 4cos，（0，） 22 2 OQ 1 sin（） cos（） 22 1 ， sincos 12cos OP OQ 1， 2cossin tan1， （0，）OP 2 2 24 S OPQ 【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标 方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学

28、生的运算能力和转化能力，属于基础题型 15 【四川省成都市第七中学2019 届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标 tt x e e 方程为（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标 tt y e e 系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为sin （1）求曲线C的极坐标方程； （2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标 【答案】（1）cos2 4 2 2 3 （2）2 2， 46 4 【解析】（1）消去参数t，得曲线C的直角坐标方程x y 4x 2 22 将x cos，y sin代入x y 4，得2cos2sin2 4 所以曲线C的极坐

29、标方程为cos2 4 2 22 4 4 2 （2）将l与C的极坐标方程联立，消去得4sin 2cos2 3 展开得3cos22 3sincossin2 2 cos2sin2 因为cos 0，所以3tan2 3tan1 0 于是方程的解为tan 2 3 ，即 36 代入sin 2可得 2 2，所以点P的极坐标为2 2， 6 3 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联 立求交点的问题，考查计算能力 16【黑龙江省大庆市第一中学2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy x 2tx中，以坐标原点O为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 l的参数方程为 （t y 2t 2 为参数），曲线C的极坐标方程为cos8sin （1）求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求 MN 2 【答案】（1）曲线C方程为x 8y，表示焦点坐标为0,2，对称轴为 y