甘肃省武威六中高中数学论文《妙构函数巧用单调性解题举例》理（通用）

1、妙构函数巧用单调性解题举例关键词：妙构函数，巧用单调性，证题，求最值，求范围有些数学习题，所给的并不是函数，如果按常规来做，有一定的难度，而且过程复杂，这时分析所给题的特点，若能换个角度,构造一个函数，可能会起到事半功倍之功效，不仅能使学生感受到数学的美妙以及构造法的神奇，而且更能激发起学生探索的意识和创新欲望，突破思维的常规，使思路更简捷、明快。下面就妙构函数f()=(a0)的形式，巧用f()在(0,上为减函数，在,)为增函数这一单调性在证明、求最值、求范围等问题的应用，举例供大家参考。一、构造函数巧证题例1.已知aR，求证a证明：设=a则构造函数f()=aR =a4 即4,)又f()在1,

2、)上为增函数。f()在4,）上仍为增函数。当=4时,f()有最小值 即f()min=4=4,)时 f()故aR时 a例2.设a、b为正数，求证成立的充要条件是：对于任意实数1，恒有ab;分析：只要证不等式对任意的1恒成立的充要条件是不等式成立。证明：设f()=a+(1)，即构造了一个函数f()1 -10 又a0f()=a=a1=a(-1)a12a1=(+1)2f()min=(+1)2对任意1有a+b成立的充要条件是f()minb(+1)2b 又b0+1故成立的充要条件是由以上两例可知，利用不等式不便解决或者无法解决的问题，一般回到函数方法来解决，效果比较好。二、构造函数巧求最值例3.已知0，求

3、3的最小值解：设3t,则构造函数f(t)=t+0,t3即t3,)f(t)在1,)上仍为增函数f(t)在3,)上为增函数当t=3时,f(t)min=故=0时 3的最小值是例4.在ABC中，D是BC边上一点，ADBC，垂足为D，且ADBCa，求的最大值。解：设，则构造函数f()=当D与C重合时，即AC与AD重合。a=bC= 即当D与B重合时，即AB与AD重合a=c b= 即由题意可知f()在（0,1上为减函数，在1，）为增函数当时，f()为减函数只有时，f()max =当1，时，f()为增函数只有时，f()max =的最大值为通过上两例，可以明显看出，如果直接应用均值不等式求最值时，则不满足条件。

4、如若注意到所求的是（a0）的形式的最值，从而妙构函数f()（a0）进而联想函数y=x+的单调性,就可以是问题迎刃而解。三、构造函数巧求范围例5.已知f()=loga(+1),点P是函数y=f()图象上的任意点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g()，当a1且0,1）时总有2f()+g()m恒成立。解：由题意可知，函数y=f()的图象与函数y=g()的图象关于原点对称y=f()关于原点对称的函数为y=f()y=f()loga(1)即g()loga(1)由2f()+g()m得 mloga对a1且0,1)恒成立设F（）loga则mF()min设t=1-,则构造函数H(t)=t+-40,1），即0101F()min=0,即m0故m的取值范围是m0此例的解法体现了等价转化的数学思想，两次转化最终化为函数f()（a0）的形式，再利用它的单调性就实现了化难为易从而解决问题的目的。综上所述，优美、自然的构造法常常是建立在学生已有的知识基础之上的，它生成于认知结