第五章晶体中电子能带理论

1、第五章 晶体中电子能带理论一、 填空体1. 晶体中电子的能量为E（k），则电子的平均速度为 ，电子的准动量为： 。2. 晶体中电子的能量为E（k），则电子的平均速度为 ，电子的准动量为： 。3.晶体电子受到的外力为 。4. 晶体电子的倒有效质量张量为 。5. 在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足：或 。6. 能带理论的基本假设主要有 单电子近似、 绝热近似、周期场近似二、基本概念1. 布里渊区 在倒格空间中，选取一倒格点为原点，将原点与其它倒格点连线的垂直平分面的连线所组成的区域称为布里渊区。2. 第一布里渊区或简约布里渊区 包含原点的最小布里渊区。3. 等能面 在波矢空间中，电子的能量

2、等于定值的曲面称为等能面。4. 空穴 半导体的近满带中未被电子占据的量子太成为空穴。5.绝热近似答：近似认为在原子核运动的每一瞬间，电子的运动都快到足以调整其状态到原子核瞬时分布情况下的本征态，即认为电子是在准静态的核构成的势场中运动，从而可以把电子的运动和核的运动分开试论。6.平均场近似答：在多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其他电子产生的平均场中运动的考虑。8.周期场近似答：假定所有离子产生的势场和其他电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。9.近自由电子近似答：用一个平均场来代替电子和电子之间的相互作用，即在电子体系的哈密顿量中忽略电子和电子之间的相互作

3、用项，而增加一个稳定的平均场作为近似。10.紧束缚近似答：如果电子受原子核束缚较强，且原子之间的相互作用因原子间距较大等原因而较弱，此时，晶体中的电子就不像弱束缚情况的近自由电子，而更接近束缚在各孤立原子附近的电子，称为紧束缚近似。11.布洛赫波答：周期性场中单电子波函数应该是一个调幅平面波：，晶体周期性场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波。12.满带答：一个能带的所有状态都被电子占据称为满带。13.禁带答：能带之间存在一些相当大的能量间隙，在这些能量区间，不存在薛定谔方程的本证解，称为禁带。14.导带答：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，

4、后者可以起导电作用，称为导带。15.有效质量答：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，晶体电子的倒有效质量张量为 三、简答题1. 能带理论的基本假设答：能带理论的基本假设有以下三个方面1） 只考虑电子体系的运动，离子实固定在格点上；2） 单电子近似，假定每一个电子都处于一个相同的势场V(r)中运动；3） 把价电子与芯电子分开，将芯电子与原子核看成是一个原子实，考虑电子运动时只考虑价电子的运动。4） 周期场近似2. 写出布洛赫定理的数学形式答：当电子在一个周期势场中运动时，电子的波函数满足其中是正格矢。3. 从能带论的观点来看，半导体、绝缘体能带的差别为：答：从能带论的观点来看，半导

5、体、绝缘体能带的差别为：价带和导带之间的禁带宽度大小不同。半导体的禁带内有杂质能级。4. 布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？ 答：布洛赫电子论作了3条基本假设，即绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。5. 周期场对能带形成是必要条件吗？答：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一

6、个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。6. 一个能带有个准连续能级的物理原因是什么？答：这是由于晶体中含有的总原胞数通常都是很大的，所以的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级7. 禁带形成的原因如何？ 答：对于在倒格矢中垂面及其附近的波矢，即布里渊区界面附近的波矢，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。8. 近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚

7、模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。9. 布洛赫电子的费米面与哪些因素有关？确定费米面有何重要性？解：布洛赫电子的费米面与晶体的种类及其电子数目有关。由于晶体的很多物理过程

8、主要是由费米面附近的电子行为决定的，如导电、导热等，所以确定费米面对研究晶体的物理性质及预测晶体的物理行为都有很重要的作用。10. 试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。准经典运动的基本公式有：晶体电子的准动量为 ；晶体电子的速度为 ；晶体电子受到的外力为 晶体电子的倒有效质量张量为 ；在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足： 11. 试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系

9、起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。当满带顶附近有空状态时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷和具有正质量、速度的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。12. 试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者可以起导电作用，称为导带。在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子

10、，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。四、证明计算1. 用紧束缚方法处理简立方晶体，已知晶格常数为a，求1) s态电子的能带； 2）画出第一布里渊区111方向的能带曲线；3）求出带底和带顶电子的有效质量。解：1）用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带表示式为 Rn是最近邻格矢对简立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0），则6个最近邻格点的坐标为（a，0，0） （0，a，0） （0，0，a）将上述 6组坐标代入能带的表示式，得2）在 1

11、11 方向上 且第一布里渊区边界在 kx=ky=kz=/a于是能带化成 3)由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当 k =(0,0,0)时，Es取最小值，即是能带底，电子有效质量为同理可得当k=（/a，/a，/a）时，Es取最大值，即能带顶，此时电子的有效质量为：同理可得2. 已知一维晶格中电子的能带可写成式中a是晶格常数，m是电子的质量，求1）能带宽度； 2）电子的平均速度； 3）在带顶和带底的电子的有效质量。解：1）能带宽度 由于其能带可写成为则当 时 时 能带宽度 2）电子的平均速度为 3）在带顶（）电子的有效质量为 在带底（）电子的有效质量 3. 一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫

12、定理。若晶格常数为，电子的波函数为（1）；（2）；（3）（其中为某个确定的函数）。试求电子在这些状态的波矢。解：布洛赫函数可写成，其中，或写成（1）故 显然有 故的波矢是。（2）所以 显然有 故的波矢。（3）故 故的波矢为0。要说明的是，上述所确定的波矢并不是唯一的，这些值加上任一倒格矢都是所需的解。因为空间中相差任一倒格矢的两个值所描述的状态是一样的。4. 已知电子在周期场中的势能为其中：，为常数。（1）画出势能曲线，并求出其平均值；（2）用近自由电子模型求出此晶体的第1及第2个禁带宽度。解：（1）该周期场的势能曲线如下所示：UO其势能平均值为：（2）根据近自由电子模型，此晶体的第1及第2个

13、禁带宽度为 其中和表示周期场的展开成傅立叶级数的第一和第二个傅立叶系数。于是有故此晶体的第1及第2个禁带宽度为 5. 平面正六角形晶格（见图），六角形2个对边的间距是，其基矢为 ； 试求： 图5.30 （1）倒格子基矢；（2）画出此晶体的第一、二、三布里渊区；（3）计算第一、二、三布里渊区的体积多大？解：（1）由题意可取，那么根据倒格子基矢的定义有 （2）此晶体的第一、二、三布里渊区如下图所示图5.2 平面正六边形晶格的布里渊区示意图（3）由于各个布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞的体积，所以第一、二、三布里渊区的体积为 6. 证明：应用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的

14、相互作用，其s态电子的能带为。式中：为能带底部的能量；为交叠积分。并求能带的宽度及能带顶部和底部电子的有效质量。解：设s态的原子能级为，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可求得该一维单原子链的s态电子能量为 上式中， （其中表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。为某格点的原子势场）由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为和，由此可知一维单原子链的s态电子能量可化为： 上式中由此可知，当时，即能带底的能量为；当，即能带顶的能量为于是可证得一维单原子链的s态电子能量为 并且还可得能带宽度为由此还可求得有

15、效质量于是可求得能带顶部的电子有效质量能带底部的电子有效质量7. 设二维正三角形晶格中原子间距为，试根据紧束缚近似的结果，求出能带的表达式，并求出相应的电子速度和有效质量的各个分量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时，根据紧束缚近似可得该晶格由原子s态的形成的能带表达式为 （1）上式中， （其中表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。为某格点的原子势场）在此二维晶格中，取原点为参考点，则其六个近邻格点坐标值为（，0） （，0） （，），（，） （，） （ ，）把近邻格式代入（1）式，并考虑到s态波函数的球对称性可得： （2）上式中表示原点所处格点与任一最近邻格点的波函数的重叠积分的负值

16、，并有。由此可知相应的电子速度为 选取，轴沿张量主轴方向，则有，而 8. 用紧束缚方法处理面心立方的s态电子，若只计及最近邻相互作用，试导出其能带为并求能带底部电子的有效质量。解：当只计及最近邻格点的相互作用时，用紧束缚近似方法处理晶体的s态电子，其能带的表达式可写为 上式中， （其中表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和；为最近邻格点的原子势场；为最近邻格点的位矢）。对面心立方晶格，取原点为参考点，则其最近邻的12个格点的位矢坐标值为（，0），（，0），（，0），（，0）（，0，），（，0，），（，0，），（，0，）（0，），（0，），（0，），（0，）将上述的12套坐标值代入上述的

17、的表达式，可得 由于，所以当时，有最小值，即为能带底部。选取，轴沿张量主轴方向，则有，而在能带底部有 9.证明：对于能带中的电子，状态和状态的速度大小相等，方向 相反，即并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。证明：态的电子速度为 (1)于是 (2)因为能量是波矢的偶函数，即，因此代入(2)式，有对比(1)式，即得电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。因为，电子占有状态和-状态的几率相同。而由知道，这两个状态的电子电流互相抵消，因此，无外场时，晶体中总电流为零。10. 试证明：如只计及最近邻的相互作用，用紧束缚方法导出的简单立方晶体中的s态电子的能带为并求能带的宽度。证明：若只计及最近邻

18、的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中的s态电子所得结果是式中和分别是参考原子及其最近邻的位矢。在简单立方晶格中，有6个最近邻。如选取，即以参考原子为坐标原点，则这6个最近邻的坐标是:这里a是晶格常数。对于s态电子，交迭积分对各个最近邻都相等，令，则得在能带底处，对应的能量有最小值：在能带顶处，对应的能量有最大值：因此，能带的宽度为11. 试证明：晶格中的布洛赫电子的平均速度 证明：布洛赫电子的波函数是 (1)式中函数具有晶格的周期性。从薛定谔方程 (2)可得电子的能量 (3)(3)式中为体积元，积分对整个晶体进行；为晶格电子的哈密顿函数。将(3)式两边对波矢求导；并使用(1)和(2)式代入化简：(4)合并(4)式中的第1,3两项，得到合并(4)式中的第2,4两项，并注意到