山东省济宁市梁山一中高中数学《3.3.2均匀随机数的产生》教案设计 新人教A版必修3（通用）

1、3.3.2统一随机数的生成全球设计教学分析在这一节中，在学生已经掌握几何概率的基础上，他们将学习另一种解决几何概率问题的方法。这门课的教学对全面系统地理解和掌握概率知识，培养学生自觉动手动脑的习惯，进一步形成学生的辩证思维有很好的效果。通过本节示例的模拟测试，我们知道如何通过计算机模拟测试来解决概率问题，并认识到使用计算机生成随机数可以生成大量的随机数并自动统计测试结果。同时，我们可以在短时间内多次重复测试，对测试结果的随机性和规律性有更深的理解。三维目标1.通过模拟实验，我们可以感知用数字解决问题的方法，理解均匀随机数的概念。掌握使用计算器(计算机)生成均匀随机数的方法；有意识地养成动手动脑

2、的好习惯。2.将使用统一的随机数来解决与概率相关的具体问题。理解随机模拟的基本思想是通过频率来估计概率。养成勤奋严谨的学习习惯，培养逻辑思维能力和探索创新能力。重点和难点教学重点：掌握0，1和a，b上均匀随机数的生成，学会使用适当的随机模拟方法来估计几何概率。教学难点：用计算器或计算机生成均匀随机数，并将其应用于概率的实际应用。课程表1个课时教学过程导入新课想法1在经典概率中，我们可以用(整数值)随机数来模拟经典概率问题，那么在几何概率中，我们可以用随机数来模拟实验吗？如果可以，我们如何生成随机数？如何用随机数模拟几何概率实验？本节将引出主题：均匀随机数的生成。想法2复习题：(1)什么是几何概

3、率？(2)几何概率的概率公式是什么？(3)几何概率的特征是什么？在本课中，我们将继续学习以下内容，生成统一随机数。推广新课程探索新知识审问(1)请陈述经典概率的概念、特征和概率计算公式？(2)请说明几何概率的概念、特征和概率计算公式？(3)给出一个经典概率问题。除了用概率公式计算概率外，我们还可以用什么方法来获得概率呢？我们能对几何概率有同样的处理吗？(4)根据整数随机数的生成，请用计算器模拟0，1上均匀随机数的生成。(5)请使用计算机模拟，根据整数随机数的生成，在0，1上生成均匀随机数。(6)在a，b上生成一致随机数。活动：学生回顾他们所学的内容，并互相交流。在老师的指导下，他们通过类比以前

4、的实验逐一给出答案，老师及时提示和指导他们。讨论结果：(1)在测试中，如果A.测试中可能的基本事件数量有限；(有限性)B.每个基本事件的概率是相等的。(等概率)我们称具有这两个特征的概率模型为经典概率模型，简称经典概率。计算任何事件概率的经典概率公式是：P(A)=。(2)对于随机实验，我们将每个基本事件理解为从特定的几何区域中随机取一个点，并且该区域中的每个点都具有相同的被取的机会，而随机事件的发生被理解为仅取上述区域中特定区域中的一个点。这里的区域可以是线段、平面图形、三维图形等。用这种方法处理随机实验被称为几何概率。几何概率的基本特征；A.测试中有无数可能的结果(基本事件);B.每个基本事

5、件都同样有可能发生。几何概率的概率公式：P(A)=。(3)我们可以用计算机或计算器模拟实验产生的整数值随机数，从而近似获得事件发生的概率实验的结果是区间0，1中的任何实数，任何实数出现的可能性都是相等的。因此，由上述方法产生的0和1之间的均匀随机数可以用于随机模拟。(5)答：选择A1网格，键入=RAND()，然后按回车键，该网格中的数字是在0，1之间随机生成的均匀随机数。B.选择A1，按下Ctrl-C快捷键，选择a2-a50，B1-b50，按下Ctrl-V快捷键，则a2-a50，B1-b50中的数字都是0，1之间的均匀随机数。(6)在a，b上生成均匀随机数：使用计算器或计算机在0，1上生成均匀

6、随机数X=RAND，然后，利用展开和平移变换，X=X*(b-a) a可以得到a，b上的均匀随机数。实验结果是a，b中的任何实数，这同样是可能的。用这种方法，我们可以用计算机或计算器产生的均匀随机数通过随机模拟来估计事件的概率。应用示例想法1例1:假设你的家人订阅了一份报纸，发件人可能会在早上6: 30到7: 30之间把它送到你家，而你的父亲会在早上7: 00到8: 00之间离开家去工作。问你的父亲在离家前拿到报纸的可能性有多大(称为事件a)。活动：用计算机生成随机数来模拟实验，我们可以用计算机生成0到1之间的均匀随机数，用计算机生成B为0-1的均匀随机数，然后发送者报告回家的时间是B 6.5，

7、用计算机生成A为0-1的均匀随机数，那么父亲离开家的时间是A 7，如果A 7B 6.5，也就是当A B-0.5，事件E=父亲解决方案1: 1。选择A1网格，键入=RAND()，然后按回车键，该网格中的数字是在0，1之间随机生成的均匀随机数。2.选择A1网格，按下Ctrl+C快捷键，选择A2-A50，B1-B50快捷键，则A2-A50，B1-B50中的数字都是0，1之间的均匀随机数。A栏中的数字加7表示父亲离家的时间，B栏中的数字加6.5表示报纸到达的时间。这样，我们做了50个随机数。3.如果A 7B 6.5，即A-B-0.5，这意味着父亲可以在离家前拿到报纸。4.选择D1框，然后键入“=A1-

8、B1”；选择D1，按Ctrl+C，选择D2-d50，然后按Ctrl+v .5.选择E1，输入频率函数=频率(D1: D50，-0.5)，然后按回车键。这个数字是D列中小于-0.5的数字，也就是说，父亲在离家前不能得到报纸的频率。6.选择F1框，键入“=1-E1/50”，然后按回车键。这个数字表明了父亲在离家前50次测试中得到报纸的频率。解决方案2:横坐标X代表报纸的递送时间，纵坐标Y代表父亲离开家的时间，并建立一个平面直角坐标系。父亲离家前可以拿到报纸的事件组成区域如下：因为随机测试同样有可能落在正方形区域的任何一点上，所以它满足几何概率条件。根据问题的含义，只要点落在阴影部分，就意味着父亲可

9、以在离开家之前拿到报纸，也就是说，事件A发生了，所以P(A)=。例2在下图所示的正方形中随机撒一把豆子，通过计算机随机模拟来估计圆周率的值。解决方案1:随机撒一把豆子。每颗豆子落在正方形的任何一点都是可能的。落在每个区域的豆子数量大约与这个区域的面积成正比，也就是说。假设正方形的边长是2，那么。因为落在每个区域的豆子的数量是可以计算的，4，通过这种方法，可以得到的近似值。解决方案2: (1)用计算机生成两组0，1的均匀随机数A1=兰德()和B1=兰德()。(2)经过平移和扩展后，a=(a1-0.5)*2，b=(b1-0.5)*2。(3)计算落入圆x2 y2=1的点(a，b)的数量N1，并计算=

10、(N表示落入正方形的点(a，b)的数量)。备注：可以发现，随着测试次数的增加，圆周率近似值的精度会越来越高，不规则图形的面积可以用几何概率和随机模拟的方法近似计算。示例3使用随机模拟方法计算下图中阴影部分(由y=1和y=x2包围的部分)的面积。分析：教师和学生一起讨论，在坐标系中画一个矩形(被x=1，x=-1，y=1和y=-1包围的部分)，根据落在阴影部分的“豆子”的数量与落在矩形中的“豆子”的数量之比，通过模拟得到阴影面积与矩形面积之比。解决方法：(1)用计算机生成两组均匀随机数a1=RAND()，b=RAND()。(2)平移和展开变换，a=(a1-0.5)*2。(3)计算落在阴影中的N1样

11、本点数(即满足00)，用几何概率公式计算阴影部分的面积。例如，经过1 000次实验，即N=1 000，模拟结果在N1=698，所以S =1.396。(n表示落入矩形的点(a，b)的数量)。想法2例1:取一根3米长的绳子，拉直后在任何位置剪断。两片的长度不小于1米的概率是多少？分析：如果绳索在任何位置被切断，从切断位置到终点的距离可以取0，3中的任何一个数字，并且同样可以得到每个实数。因此，在任何位置切割绳索的所有结果(基本事件)都对应于0，3中的均匀随机数，其中1，2中的随机数表示切割位置和终点之间的距离在1，2中解决方案1: (1)使用计算器或计算机生成一组从0到1的统一随机数a1=RAND

12、。(2)膨胀和收缩后，a=a13。(3)计算1，2中随机数的N1数和0，3中随机数的n数。(4)计算频率fn(A)=概率P(A)的近似值。解决方案2:制作一个带指针的圆盘，将圆周分成三等份，并标出刻度0，3(其中3和0重合)。转动圆盘以记录1，2中指针的时间N1(表明切断绳索的位置在1，2的范围内)和总测试时间n，则fn(A)是概率P(A)的近似值。备注：使用随机数模拟的关键是将实际问题中的事件A和基本事件对应的区域转化为随机数的范围。解决方案2使用转盘生成随机数。这种方法可以用手操作，但是费时费力，而且测试的次数不能太多；解决方案1:使用计算机生成随机数可以生成大量的随机数，自动统计测试结果

13、，并在短时间内重复测试多次，从而对测试结果的随机性和规律性有更深的理解。例2:由曲线y=、x=1、x=2和y=0包围的图形面积通过随机模拟方法计算。活动：在直角坐标系中画一个正方形(被x=1，x=2，y=0，y=1包围的部分)，通过随机模拟得到其面积的近似值。解决方法：(1)用计算器或计算机产生两组从0到1的随机数，A1=RAND，B=RAND(2)进行翻译转换：a=a11(其中a和b分别是随机点的横坐标和纵坐标)(3)计算N1落入阴影的点数，用几何概率公式计算阴影面积。例如，在1 000次实验之后，即，N=1 000，模拟结果在N1=689。So=0.689，即S0.689。备注：模拟计算的

14、步骤：(1)结构图(图)；(2)模拟投射点，计算投射点落入阴影部分的频率；(3)使用P(A)=计算相应的数量。变体训练本文从一条12厘米长的线段AB上取一个点m，以线段AM为边做一个正方形，得到这个正方形的面积在36平方厘米和81平方厘米之间的概率。分析：正方形的面积只与边长有关。这个问题可以转化为在一个12厘米长的线段AB上取一个点m，并且找到AM长度在6厘米和9厘米之间的概率。解决方法：(1)计算机生成一组0，1内的均匀随机数a1=RAND。(2)经过伸缩变换，a=a112，得到了0，12中的一致随机数。(3)计算6，9中测试总数n和随机数N1数。(4)计算频率。如果事件A=面积在36 c

15、m2和81 cm2之间=长度在6 cm和9 cm之间，则P(A)的近似值为fn(A)=。知识培训有一个半径为5的圆。现在扔一枚半径为1的硬币到圆上。如果没有考虑硬币完全落在圆圈之外，试着找出硬币完全落在圆圈之内的概率。解决方法：根据问题的含义，如右图所示，由于没有考虑硬币完全落在圆的外面，硬币的中心均匀分布在半径为6的圆O中，只有当中心落在与圆O同心的半径为4的圆中时，硬币才能完全落在圆中。写“硬币完全落入圆圈”作为事件A，然后P(A)=。答：一枚硬币完全落入一个圆圈的概率是。扩展和升级如右图所示，迎角=60，迎角=2，迎角=5，并在线段OB的任何一点取一个点C。试着找出：(1)AOC是一个钝

16、角三角形的概率；(2)AOC为锐角三角形的概率。解决方案：如图所示，从平面几何知识来看：当ADOB，od=1；当OAAE，OE=4，BE=1。(1)当且仅当点c位于线段OD或BE上时，AOC是一个钝角三角形，将“AOC是一个钝角三角形”写为事件M，则P(M)=0.4。也就是说，AOC是钝角三角形的概率是0.4。(2) AOC是一个锐角三角形，当且仅当点C在线段DE上，将“AOC是一个锐角三角形”写为事件N，然后P(N)=0.6。也就是说，AOC是一个锐角三角形的概率是0.6。班级总结均匀随机数在日常生活中被广泛使用。我们可以用计算器或计算机生成统一的随机数来模拟随机实验。具体的方法是建立一个与一些有趣的量(