第十章弯曲强度和刚度..ppt

1、1,1 用截面法作梁的内力图,2 梁的应力与强度条件,3梁的变形,第九章 梁的平面弯曲,2,第九章 梁的平面弯曲,承受弯曲作用的杆，称为梁。,轴向拉压内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。,杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：,扭转 内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴),弯曲 内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁),概述,返回主目录,3,梁的分类,平面问题，梁受三个约束，都是静定梁。,平面弯曲,梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。,梁的横截面,都有对称轴,集中力，集中力偶，分布载荷,返回主

2、目录,4,截面法求内力的步骤：,求约束反力,9.1 用截面法作梁的内力图,返回主目录,5,例1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。,解：1）求约束力。 画受力图。,由平衡方程得： FAx=0; FAy=F; MA=Fl,2）求截面内力。 截面x处内力按正向假设，,在0xl内，有平衡方程： SFy=FAy-FS=0 SMC(F )=MA+M-FAyx=0 得到： FS=F； M=-F(l-x),3) 画内力图。,悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。,6,例2 求外伸梁AB的内力。,解：1）求约束反力： 受力如图。,截面法求内力( 取坐标如图) 0xa:,FN=0; FS=-F; M=-Fx,7,例2 求外

3、伸梁的内力。,ax2a:,2a x3a:,2) 截面法求内力 0xa: FN=0; FS=-F; M=-Fx,FN=-F；FS=3F-F=2F,M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a),FN=-F； FS=3F-F-3F=-F,M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a) =F(3a-x),8,内力方程： 截面法给出的描述 内力与截面位置关系。,3) 画内力图：,内力图： 按内力方程绘出 各截面内力的图。,9,作梁的内力图的 一般步骤,求约束反力,受力图,10,1）承受弯曲作用的杆，称为梁。,2）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内。,3）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图一般步骤：,必须掌握,

4、小 结,11,概念回顾:,1.平面弯曲,梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。,9.2 梁的应力与强度,返回主目录,12,概念回顾:,2.纯弯曲,纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。,梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。,一般情况,简单特例,13,9.2 梁的应力与强度,问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?,讨论平面纯弯曲梁。,横截面上只有弯矩。,弯矩分布在横截面上，,只能是正应力。,z,14,讨论矩形截面纯弯曲梁。,1. 弯曲变形实验现象,AA、BB仍保持直线，但相对地转过一角度d。,aa 缩短，bb伸长，变为弧形，但仍与AA、BB线正交。,2.

5、 弯曲的基本假设平面假设,梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。,9.2.1 弯曲变形几何分析,返回主目录,15,3. 推论：,若梁由纵向纤维组成，则其变形是伸长或缩短。 凹部纤维aa 缩短，凸部bb纤维伸长，总有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为中性层。,2. 弯曲的基本假设平面假设,梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。,有中性层存在,中性层(面),中性层与横截面的交线称为中性轴。,16,横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性轴的距离y成正比。,中性轴以上，s为负，是压应力，纤维缩短。,中性轴以下， s为正，是拉应力，纤维伸长。,到中性轴距离相同各处

6、，应力相等。,smax压,smax拉,17,截面对z 轴的惯性矩 I 的计算：,z,矩形截面：,取微面积如图 dA=bdy,圆形截面：,取微面积如图。,由对称性知：,18,结论： s=My/Iz,19,按绝对值计算应力s 的大小，依据弯曲后的拉压情况判断正负。,弯曲正应力公式：,横截面有对称轴的平面弯曲。 载荷作用在纵向对称面内； 梁的高跨比 h/L 0.25；,9.3 平面弯曲的最大正应力及强度条件,返回主目录,20,最大弯曲正应力:,梁的弯曲强度条件：,处处均应满足强度条件。,若材料拉压性能不同，则,21,例9.9 空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm， B=60mm，h=80mm，b

7、=30mm，若=120MPa， 试校核梁的强度。,解：1）作FS、M图。,3）强度校核:,22,例9.10 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知F=15kN，a=0.8m，=10MPa。设计截面尺寸。,解：1. 求支反力：,2. 作FS、M图。,4. 强度条件： ,解得：b0.147m150mm,23,b,h/b=3/2,h/b=1,Wz=b3/6,重量:,87%,100%,115%,b=147 h=220.5mm,b=h=193mm,截面设计应尽可能使 材料远离中性轴。,24,9.3.5 矩形截面梁的弯曲剪应力,25,矩形截面梁的弯曲剪应力为：,弯曲梁中有剪应力。,t是y的函数，呈

8、抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.5倍。,26,讨论二、矩形截面梁AB受力如图。 s=150MPa，t=60MPa， 若取h/b=2，试设计其尺寸。,解：1.求反力，作FQ、M图。,2. 按弯曲正 应力设计：,2. 按弯曲剪 应力设计：,一般按正应力设计，再校核剪切强度。,27,1. 梁横截面上的正应力s呈线性 分布，其大小为 s =My/Iz 正负由弯曲后的拉压情况判断。,2. 中性轴过截面形心，该处正应力s 等于零。,3. 梁的弯曲强度条件：,4. 矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.5倍。,小 结,28,杆的拉压,9.4.1

9、梁的挠度和转角,梁在xy平面内弯曲。,挠曲线：弯曲后梁的轴线。,伸长或缩短 DL,轴的扭转,单位扭转角 q,挠度y：梁弯曲后各截面形心的垂直位移，y=y(x)。,转角q：各截面转过的角度(角位移)，q=q(x)。 即 x处挠曲线的切线与x轴的夹角。,9.4 梁的变形,返回主目录,29,再讨论: 线性叠加方法,在线弹性小变形条件下， s=Ee， 变形与载荷间有线性关系。,图(a)=图(b)+图(c),若要求图(a)中的yC、qB，有： yC=yC1+yC2 ; qB=qB1+qB2 即可由已知简单情况的解，用叠加方法求复杂载荷情况下的变形。,30,已有结果：,31,已有结果：,32,情况一：,返

10、回主目录,33,除保证梁的强度条件外，还可能要求变形不能超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件： ； y、q分别为构件的许用挠度和许用转角。 一般主要是控制挠度。,9.4.4 梁的刚度条件,返回主目录,34,例9.14中矩形截面梁h/b=2。若q=10kN/m ，L=3m，E=200GPa，s=120MPa，y=L/250，试设计截面。,解: 1. 求支承反力,FA=qL=30kN， MA=-qL2/2=45kN.m,35,3. 按刚度条件设计,自由端(B处)的挠度最大：,刚度条件为：,即：,有：b=max 8.25，8.92 9cm， h=18cm。,得到：,36,讨论：如何提高梁的强度和刚度,强度条件:,刚度条件:,措施： 降低 Mmax 提高Wz、Iz,加复梁,载荷均布,悬臂梁,降低 Mmax：,增加支点,37,提高Wz、Iz：,截面设计应尽可能使材料远离中性轴z。,拉压性能不同时，截面上下缘应同时达到许用应力。,讨论：如何提高梁的强度和刚度,EI是抗弯刚度，提高E，当然可以增加刚度、减少变形。但钢材E相差不大。,返回主目录,38,1）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内， 变形后梁的轴线仍在该平面内。（讨论直梁）,2）梁的内力有剪力、弯矩。作内