叶中豪平面几何讲座

1、1、 一道有趣的新编题设D、E、F是ABC的内切圆的切点，O、I分别是其外心和内心， 在DI、EI、FI的延长线上分别截取IAIBICR（外接圆半径）。 求证：AABBCCOI；且直线AA、BB、CC共点于外接圆 上一点P，P关于ABC的Simson线恰垂直于OI。 2、 大家来讨论一下中等数学高248号问题怎么解决本题结论优美，是Fuhrmann圆的推广。（当P点取垂心时即得到Fuhrmann圆） 呵呵，没有必要Menelaus定理，有如下巧证： 如图，自A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，围成DEF。取DEF的内心I。 易见A1在以PD为直径的圆上，且因A1是BC弧中点，故D、I、A1

2、共线。得PA1I90。 同理PB1IPC1I90。故A1、B1、C1、P、I五点共圆。证毕 评注： 近代欧氏几何学第7章207定理（曼海姆）： “如图，设DEF是ABC的内接三角形，DEF关于ABC的Miquel点为M。 设任意三条共点直线AP、BP、CP交相应的Miquel圆于A1、B1、C1，则A1、B1、C1、M、P五点共圆。” 取P为ABC的内心，并改换DEF作为立足点，即可得到原题。3、 垂极点研究已知ABC和任意直线x，自A、B、C作x的垂线，垂足分别为A、B、C； 再自A、B、C分别作对边BC、CA、AB的垂线，那么这三条垂线一定共点。 这一结论用平方差原理不难论证，它属于两个三

3、角形正交的一种退化情形。（其中退化三角形就是ABC） 所共点X，可称为ABC关于直线x的“垂极点”（orthopole），见近代欧氏几何学406。 垂极点在近代欧氏几何里是个相对重要的概念，曾被Neuberg、Soons、Gallatly等人广泛研究。它与Simson线甚至费尔巴哈定理都有深刻联系，如： 性质1 倘若一条直线x与ABC的外接圆相交，则其垂极点正是两个交点处Simson线的交点。 性质2 若直线经过外心，则其垂极点在ABC的九点圆上。 4、 我于多年前也曾对垂极点作过一番考察，得到它的一些有趣属性，有机会再详作介绍。 如： 外接圆切线的垂极点，一定位于由Simson线的包络所形成

4、的Steiner三叶内摆线上。 正由这一性质，就可以在几何画板中方便地作出轨迹型的Steiner三叶内摆线了： 另外还有一个奇妙结论，先介绍于此。 考虑直线x绕着定点P旋转，这时其垂极点的轨迹总是一个椭圆。有意思的是：这个椭圆始终与上述Steiner三叶内摆线保持相切！ 当旋转中心选为外心时，椭圆退化为圆即ABC的九点圆，这相当于上面的性质2； （注：这也就表明，过外心的每条直线，相应于九点圆上某点。这是考察Feuerbach定理的一个有效视角。） 当旋转中心位于ABC的外接圆上时，椭圆退化成这点对应的Simson线上的一条线段。我曾将此改编成一道习题，它与梁绍鸿初等数学复习及研究（平面几何）

5、复习题三第53题比较类似。 由于有了垂极点的协助，画Steiner三叶内摆线及其切线就易如弹灰。这里我又改进了上次传过的一个gsp文件：“Steiner三叶内摆线的切线”，在连续性上已有所改观，现重新传至公共邮箱，欢迎大家一试。（注：在第3页面） 当直线平移时，其垂极点的轨迹显然是一条垂直于它的直线。 倘若将平移视作绕“无穷远点”的旋转，则还易说明这条轨迹（注：理解为无穷大椭圆）刚好是Steiner三叶内摆线的切线。 一条直线并非总有资格作为Simson线，前提是它恰与Steiner三叶内摆线相切。 那么Simson线的垂极点又有什么特点呢？ 几何画板显示Simson线的垂极点全体为一条经过垂

6、心的三叶玫瑰形曲线，它恰好就是垂心H在Steiner三叶内摆线的动切线上射影的轨迹！ 对此，可总结出如下： 命题 某点所对应的Simson线之垂极点，恰是垂心在其对径点所对应的Simson线上的射影。 由垂极点倒过去确定直线（可相应称为其垂极线）的问题相当深刻，体现了Simson线的实质。 垂极点对应的垂极线至多有三条，至少有一条。这与共有几条Simson线经过该点这一问题相吻合。也就是说： 若点X位于Steiner三叶内摆线外部时，它对应唯一的一条垂极线； 当点X在Steiner三叶内摆线的边界上时，它对应于两条垂极线； 当X位于Steiner三叶内摆线内部时，它对应于三条垂极线。 可将后者

7、叙述成： 命题 若ABC外接圆上三点D、E、F的Simson线共点于X，则直线DE、EF、FD均以X点为其垂极点。 关于三条Simson线何时共点，矢野健太郎几何的有名定理有详细讨论： 由外接圆上满足波朗杰-藤下定理的三点作出所共点X相当容易；但反过来，想由X点作出通过它的Simson线，却非尺规所能；相应的，由垂极点逆向确定垂极线的问题，在几何画板中也几乎没有实现的指望。 Simson线的垂极点有一条十分接近Steiner定理的性质： 好像并不容易。看谁能给出简洁证法？有了这条性质，就可得到： 定理 完全四边形中，每条直线关于另三条直线所围成三角形的垂极点一定共线！ Simson线的垂极点有

8、一条十分接近Steiner定理的性质：好像并不容易。看谁能给出简洁证法？有了这条性质，就可得到：定理 完全四边形中，每条直线关于另三条直线所围成三角形的垂极点一定共线！ 所共的这条直线就是该完全四边形的垂心线。 还可进一步探索这条垂心线上12个点的分布规律， 其中M1、M2、M3、M4是Miquel点关于四条直线的轴对称点， H1、H2、H3、H4是四个三角形的垂心， X1、X2、X3、X4是每条直线关于另三条直线的垂极点。 昨天提到Simson线的垂极点全体形成一条经过垂心的三叶玫瑰形曲线。 由Carnot定理知，广义的Simson线还可以“带着角度跳舞”，即我曾在“数学发现之旅”中提到的斜

9、足线： /topic_show.jsp?id=&oldpage=1&thesisid=494&flag=topic1 本质上，任意直线都有资格作为斜足线，这时控制点P就是这条直线与三角形三边所形成的完全四边形的Miquel点。 让倾斜角度保持不变，而使P点沿着外接圆运动，观察到直线的垂极点轨迹仍是一条经过垂心的三叶玫瑰形曲线，而且也与Steiner三叶内摆线保持 相切。它是垂心H在上述三叶内摆线的动切线上射影的轨迹（下图中红色虚线）绕着H旋转然后再放大1/cos倍所得，两者是一种相似旋转关系。 对这一现象作深度加工，就可获得如下有趣结论： 如图，P和Q

10、是外接圆上两点，它们与外心O形成底角为的等腰三角形。作出P点转角为的斜足线x，则这条斜足线一定与Q点的Simson线相垂直。而且直线x的垂极点X恰好落在Q点的Simson线上，垂心H与X点的联线与Simson线的倾斜角等于90. 外接圆的同心圆切线之垂极点轨迹是长辐（或短辐）型的三叶内摆线，其本轮仍是过Steiner曲线三个尖点的“外接圆”，它的大小是原三角形九点圆的三倍，它的动轮大小与九点圆相等。 2002年月时（当时用的还是几何画板3.09版），我曾费尽心机构造出本轮和动轮的联动效果，使得垂极点恰好成为动轮上的相对固定点，这样就有力映证了上述垂极点的轨迹确是长辐（或短辐）三叶摆线。 遗憾的是，经过多次电脑重装，现已找不到当时的gsp文件了，只留下了几幅截图： 以下是引用老封的发言： iSimson线的垂极点有一条十分接近Steiner定理的性质： 又一性质 过外接圆上一点P作其Simson线的平行线， 则这条平行线关