常数项级数的概念和性质.ppt

1、a,1,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,第九章,a,2,常数项级数的概念和性质,二、常数项级数的概念,三、无穷级数的基本性质,四、级数收敛的必要条件,第一节,第九章,一、问题的提出,a,3,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,a,4,二、级数的概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,a,5,2. 级数的收敛与发散:,a,6,余项,a,7,解,a,8,收敛,发散,发散,发散,综上,a,9,解,已知级数为等比级数，,a,10,解,a,11,a,12,

2、例4.,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,a,13,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,a,14,解,a,15,a,16,性质3.,在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会,影响级数的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,17,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括弧,则

3、新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,因此必有,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,18,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,a,19,例6.判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,a,20,四、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,21,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,

4、事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则,但,矛盾!,所以假设不真 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,22,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,a,23,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加数列.,a,24,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,a,25,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,a,26,解,由图可知,a,27,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,a,28,证明,a,29,4.比较审敛法的极限形式:,a,30,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,a,31,a,32,解,原级数发散.,故原级数收敛.,a,33,证明,a,34,收敛,发散,a,35,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,a,36,a,37,解,a,38,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,a,39,级数收敛.,a,40,习惯塑造人生,从自己的经历谈什么事先做起来 教育就是养成习惯叶圣陶. 一个人不想做某事，可以找出千万条理由，下决心做一件事情时，有一条理由就足够了。 同