广东省揭阳市2020―2020学年度高三数学学业水平考试试题 理（通用）

1、FC BA ED 绝密启用前 广东省揭阳市广东省揭阳市 20202020 学年度高三学业水平考试数学理试题数学学年度高三学业水平考试数学理试题数学 试题试题( (理科理科) ) 本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时l20分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，

2、然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液，不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式：锥体的体积公式,其中是锥体的底面积，为锥体的高 1 3 VShSh 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1集合，则 2 |1,Ax yxxZ A B C DiA 2 iA 3 iA 4 iA 2已知倾斜角为的直线 与直线平行，则的值为l220 xytan2 A. B. C. D. 4 5 3 4 4 3 2 3 3已知是定义在上的奇函数，当时（为常数） ，则( )f xR0 x (

3、)3xf xmm 的值为 3 ( log 5)f A. 4 B. C.6 D. 46 4双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为 2 2 1 3 x y A. 1 B. C. D.223 5 “”是 “函数有零点”的2a ( )2xf xax A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6如图，已知 ABCDEF 是边长为 1 的正六边形，则的值为()BABCCF A. B. C. D. 3 4 3 2 3 2 3 2 7已知向量，且，若变量 x,y 满足约束条件 (,1),(2,)axzbyz ab 1 325 x yx xy ，则 z 的最大值为 A.1

4、 B.2 C.3 D.4 8已知函数,则不等式的解集为( )|1|()f xxxxR 1 ( ) 4 f x （第 6 题图） O B A C P 主 主 主 主 主 主 主 主 主 160/3 120/3 100/3 60/3 40/3 80/3 20/3 主 主 /主 主 pm2.5(主 主 /主 主 主 ) 0.1050.1000.0950.0900.0850.0800.0750.0700.0650 A. B. C. D. 12 (,) 2 1 ( ,) 2 12 12 (,) 22 12 (,) 2 二.填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （

5、一）必做题（913 题） 9. 设 i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数 的值为 . 1 ai i a 10设是等差数列的前项和，且，则= . n S n an 15 1,9aa 6 S 11近年来，随着以煤炭为主的能 源消耗大幅攀升、机动车保有量急 剧增加，我国许多大城市灰霾现象 频发，造成灰霾天气的“元凶”之一 是空气中的 pm2.5（直径小于等于 2.5 微米的颗粒物）.右图是某市某 月（按 30 天计）根据对“pm2.5” 24 小时平均浓度值测试的结果画成 的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24 小时平均浓度值不超过 0.075 毫克/立方米为 达标，那么该市当月有 天“p

6、m2.5”含量不达标 12甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程 中至少有 1 门相同的选法共有 种 （用数字作答） 13某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为 6，则该 几何体体积的最大值为 （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14(坐标系与参数方程选做题) 直线被圆 2 () 1 xt t yt 为参数 所截得的弦长为 . 35cos 1 5sin x y ()为参数, 0, 2 ) 15(几何证明选讲选做题)如图，从圆O外一点 P 引圆的切线 PC 和割线 PBA，已知 PC=2PB，,则的长为 3BC AC 三解答题：本大题共 6 小题，满

7、分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数( )sincos(),f xxx xR (1) 求函数的最小正周期；( )f x (2) 求函数的最大值和最小值；( )f x (3) 若，求的值 1 ( ),(0,) 42 f sincos （第 11 题图） （第 13 题图） （第 15 题图） 24 小时平均浓度 (毫克/立方米) F E D P 17. （本小题满分 12 分） 某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准81,2,85 ，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产A3 BB 该产品，且

8、该厂的产品都符合相应的执行标准. （1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：30 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数7 57 的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；35 （2）已知该厂生产一件该产品的利润 y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为： ，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率 1,35 2,57 4.7 y X 分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布

9、列和数学期望X 18. （本小题满分 14 分） 已知函数是的一个极值点. 32 1 ( )2, 3 f xxbxxa2x ( )f x （1）求函数的单调区间；( )f x （2）若当时，恒成立，求的取值范围.1,)x 2 2 ( ) 3 f xaa 19 （本小题满分 14 分） 如图边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E、 F 分别为 AB、BC 的中点，将BEF 剪去，将 AED、DCF 分别沿 DE、DF 折起，使 A、 C 两点重合于点 P 得一三棱锥如图示. （1）求证：;PDEF （2）求三棱锥的体积； PDEF （3）求 DE 与平面 PDF 所成角的正弦值 第 19 题

10、图 20 （本小题满分 14 分） 已知定点 A（-3,0） ，MN分别为 x 轴、y 轴上的动点（M、N不重合） ，且,点 PMNAN 在直线MN上，. 3 2 NPMP （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）设点 Q 是曲线上任一点，试探究在轨迹 C 上是否存在点 T？使 22 8150 xyx 得点 T 到点 Q 的距离最小，若存在，求出该最小距离和点 T 的坐标，若不存在，说明理由 21 （本小题满分 14 分） 已知， （，为常数） 1 1 3 x 2 1nnn xxxa nN a （1）若，求证：数列是等比数列； 1 4 a 1 lg() 2 n x （2）在（1）条件下，

11、求证：； 51 ( ), () 62 n n xnN （3）若，试问代数式的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明0a 2011 1 1 1 n n x 揭阳市 2020 学年度高中三年级学业水平考试 数学试题(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续 部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一

12、步应得的累加分数 四、只给整数分数 一选择题：BCBA ACCD 解析：1,，故选 B. 1,0,1A 2 1i 2依题意知：，从而,选 C. 1 tan 2 2 2tan4 tan2 1tan3 3由是定义在上的奇函数得，( )f xR(0)101fmm ,选 B. 3 log 5 33 ( log 5)(log 5)(31)ff 4 4双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，可得焦点到它的渐近线的距(2,0) 1 3 yx (1,1) y=-2x x=-1 3x+2y-5=0 y=x o y x 离为，选 A. |20| 1 3 1 5若，则函数必有零点，反之函数2a ( )2xf xax(

13、 )2xf xax 有零点，未必为 2.故选 A.a 6由余弦定理得, 1 |1 1 2 1 1 ()3 2 BF ,选 C. 3 ()13cos30 2 BABCCFBA BF 7 ，点的可行域如图示，ab 2()02xzyzzxy( , )x y 当直线过点（1,1）时，Z 取得最大值，选 C.2zxy max 2 13z 8在同一坐标系内作出函数和的图象如图，( )|1|f xx x 1 4 y 利用数形结合易得答案选 D. 二填空题：9. 1；10. 36；11. 27；12. 30；13. 14. ；15. .822 3 解析： 10易得. 6616 11,3()36aSaa 11该

14、市当月“pm2.5”含量不达标有 （天）; 801001601206020 () 0.005 3027 333333 12间接法.（种） ；直接法：分成两类：有一门相同的有种， 2222 4442 30CCC C 111 432 C C C 两门相同的有种，至少一门相同有（种） 2 4 C 1112 4324 30C C CC 13由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为，高为，则rh ，（当时“=”成立）或42623rhrh 2 Vr h 3 () 3 rrh rh =， 2 Vr h 2(3 2 )rr ，令得，当时，,当 2 2 (32 )26(1)Vrrrrr0V 1r (0,1)

15、r0V 时，故当时，有最大值，(1,)r0V 1r V max V 14把直线和圆的参数方程化为普通方程得，于是弦心, 01 yx 22 (3)(1)25xy 距弦长., 2 23 d 9 2 2582 2 l 15 ,PCBPACCPBAPC PBCPCA 1 2 3 2 PBBCBC AC PCACAC 三解题题： 16解：（1）-( )sincos2sin(), 4 f xxxxxR -2 分 函数的最小正周期-3( )f x2T 分 （2）函数的最大值和最小值分别为-5( )f x2,2 分 （3）由得 1 ( ) 4 f 1 sincos 4 ，-6 2 1 (sincos ) 16

16、 分 -7 115 1sin2,sin2 1616 分 -9 2 1531 (sincos )1sin21 1616 分 ，(0,) 2 sincos0 - 31 sincos 4 12 分 17解：（1）由样本数据知，30 件产品中等级系数有 6 件，即一等品有 6 件，二等品7 有 9 件，三等品有 15 件- -3 分 样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为- 6 0.2 30 0.2 4 分 二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；-5 9 0.3 30 0.3 分 三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为-6 15 0.5 30 0.5 分 （2

17、）的可能取值为：1,2,4X 用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由 （1） 可得,-8 分(1)0.5P X (2)0.3P X (4)0.2P X 可得的分布列如右：-10X 分 其数学期望(元) -1 0.52 0.34 0.21.9EX 12 分 18解：（1）且是的一个极值点 2 ( )22fxxbx2x ( )f x ，-(2)4420fb 3 2 b 2 分 -4 2 ( )32(1)(2)fxxxxx 分 由得或，函数的单调增区间为，；-( )0fx 2x 1x ( )f x(,1)(2,) 6 分 由得，函数的单调减区间为，-( )0fx 12x( )f x(1,2

18、) 8 分 （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增( )f x(1,2)(2,) X124 ()P X0.50.30.2 P D E F M F E D P 当时，函数取得最小值，=，-2x ( )f x min ( )(2)f xf 2 3 a 10 分 时，恒成立等价于-121,)x 2 2 ( ) 3 f xa 2 min 2 ( ),1,) 3 af xx 分 即。- 2 001aaa 14 分 19 （1）证明：依题意知图折前,ADAE CDCF ,-2 分,PDPE PFPD 平面-3 分PEPFPPD PEF 又平面 -EF PEFPDEF -4 分 (2)解法 1：依

19、题意知图中 AE=CF= PE= PF=，在BEF 中,-5 1 2 1 2 2 2 2 EFBE 分 在中，PEF 222 PEPFEFPEPF -7 分 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 PFPES PEF -8 分 1 3 P DEFD PEFPEF VVSPD 111 1 3824 【(2)解法 2：依题意知图中 AE=CF= PE= PF=， 1 2 1 2 在BEF 中,-5 分 2 2 2 EFBE 取 EF 的中点 M，连结 PM 则,-6 分PMEF 22 2 4 PMPEEM -7 分 11221 22248 PEF SEF PM -8 分】 1 3 P DEFD P

20、EFPEF VVSPD 111 1 3824 (3) 由（2）知 又 平面-10 分PFPE PEPDPEPDF 为 DE 与平面 PDF 所成的角，-PDE 11 分 在中，PDERt ,-12 22 15 1 42 DEPDPE 1 2 PE 分 B Q T y x o -14 分 5 5 2 5 2 1 sin DE PE PDE 20.解：（1）设点M、N的坐标分别为， （）点 P 的坐标为，( ,0),(0, )ab0,0ab( , )x y 则，(3, ),( ,)ANb NMab (, ),( ,)MPxa y NPx yb 由得，-（）-2 分MNAN 2 30ab 由得 -3

21、 3 2 NPMP 33 (), 22 xxayby 分 代入（）得-5 11 , 32 ax by 2 4yx 分 0,0ab0,0 xy 动点 P 的轨迹 C 的方程为（）-6 2 4yx0 x 分 （2）曲线即，是以 B（4,0）为圆心，以 1 为半径 22 8150 xyx 22 (4)1xy 的圆,设 T 为轨迹 C 上任意一点，连结 TB, 则-8| |TQQBTB| | 1TQTB 分 当最小时，最小.-9|TB|TQ 分 点 T 在轨迹 C 上，设点（） 2 (,) 4 m Tm0m -11 2 22 |(4) 4 m TBm 22 1 (8)12 16 m 分 当，即时，有最小值，- 2 8m 2 2m |TB min |2 3TB 12 分 当时， 2 8m 2 2 4 m 在轨迹 C 上是存在点 T，其坐标为，使得最小，.-(2, 2 2)|TQ min |2 31TQ 14 分 21证明：(1) ， 2 1 1 4 nnn xxx -1 22 1 111 () 242 nnnn xxxx 分 ，则 - 1 1 3 x 1 0 2 n x ) 2 1 lg(2) 2 1 lg(