四川省华文大教育联盟2020届高三数学第二次质量检测试题 文（含解析）（通用）

1、四川省华文大教育联盟2020年高三第二次质量检测数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别对集合和中关于的不等式进行求解，得到的范围，然后取交集，得到答案.【详解】集合中：，集合中：，解得所以故选D项.【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.若都是实数，且，则的值是A. 1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】对条件中的式子进行化简，根据复数相等，得到相应的的值，得到答案.【详解】，所以，解得，所以故选C项.【点睛】本

2、题考查复数的四则运算，属于简单题.3.国家统计局统计了我国近10年(2020年2020年)的GDP(GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图根据该折线统计图，下面说法错误的是A. 这10年中有3年的GDP增速在900以上B. 从2020年开始GDP的增速逐年下滑C. 这10年GDP仍保持6.5以上的中高速增长D. 2020年2020年GDP的增速相对于2020年2020年，波动性较小【答案】B【解析】【分析】利用折线统计图，逐一作出判断即可.【详解】由图可知，这10年中有3年GDP增速在900以上，则选项A正确；2020

3、年相比于2020年GDP的增速上升，则选项B错误；这10年GDP增速均超过6.5，则选项C正确；显然D正确.故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题4.已知向量，且向量满足，则A. 2B. 3C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据向量运算得到的坐标表示，然后利用向量垂直得到关于的方程，得到答案.【详解】由题意，因为，所以即，解得故选C项.【点睛】本题考查向量坐标的运算，向量垂直的转化，属于简单题.5.一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张

4、扑克牌花色不同的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将所有情况全部列出，然后找到符合要求的情况数量，根据古典概型的概率公式，得到结果.【详解】所有会出现的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），（黑1，梅1）共10种.其中符合花色不同的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（黑1，梅1），共7种根据古典概型的概率公式得故选B项.【点睛】本题考查通过列举法求古典概型的概率，属于简单题.6.已知双曲线的

5、左、右焦点分别为，过点作轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，线段的中点到原点的距离为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求出点的坐标，从而得到点的坐标，根据长度得到关于的方程，从而得到的值，得到渐近线方程.【详解】设双曲线的渐近线方程为，根据题意可知点坐标，为中点，所以可得，所以，所以，即所以双曲线的渐近线方程为故选A项.【点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题.7.在中，内角A，B，C满足 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件中的式子进行角化边，从而根据余弦定理得到的值，再由

6、二倍角公式得到的值.【详解】在中，由正弦定理，可得由余弦定理可得.所以.故选B项.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，二倍角公式，属于简单题.8.如下图，执行程序框图，若输出结果为140，则判断框内应填A. n7?B. n7?C. n6?D. n6?【答案】D【解析】【分析】根据框图的循环语句进行循环，然后当输出结果为140时，得到的值，从而得到判断框内填写的语句.【详解】根据框图循环可知；.此时，结合选项可知，选D项.【点睛】本题考查程序框图循环结构，根据输出结果填写判断语句.9.如下图，在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角的大小是A. 30B. 45C. 60D. 90【答

7、案】D【解析】【分析】连结，可得，由面得，可得平面，则，有，可得，即与所成的角的大小是，故选D项.【详解】连结正方体，面面，所以正方形中，面，所以面，而面所以又为中点，为中点，可得所以，即异面直线与所成的角的大小是.故选D项.【点睛】本题考查正方体内异面直线所成的角，通过线线垂直证明线面垂直，属于中档题.10.已知函数的最小正周期为，且，则A. 在内单调递减B. 在内单调递减C. 在内单调递增D. 在内单调递增【答案】B【解析】【分析】对进行化简，根据最小正周期为得到的值，再由为偶函数得到的值，然后对解析式进行化简，从而得到其单调区间，得到答案.【详解】因为最小正周期为，得因为，所以为偶函数，

8、所以，而，所以即根据四个选项，可知B项正确.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦型函数的性质，属于简单题.11.已知椭圆C的方程为，焦距为，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意表示出点坐标，然后代入椭圆方程，得到关于关系，求出离心率.【详解】设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则由，可知，即，解得，所以把点代入椭圆方程得到，整理得，即，因，所以可得故选A项.【点睛】本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题.12.已知函数满足：，当若不等式恒成立，则实数的取值范围是A.

9、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先画出图像，由恒成立，可求出斜率为的切线，然后求出的取值范围.【详解】由，可知函数图像关于直线对称，作出函数示意图，如图所示.显然，当时，由题意，切线斜率为所以，解得所以在切点的切线方程为，即，由恒成立，可得图像与的图像相切或恒在图像的上方，故所求的范围为故选A项.【点睛】本题考查分段函数图像，不等式恒成立问题，数形结合的数学思想，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数的最小值为2，则_.【答案】1【解析】【分析】对求导，得到的单调区间和最值，根据其最小值等于，得到的值.【详解】所以当时，单调递减；当时，单调递增

10、所以，所以.【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，属于简单题.14.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为_.【答案】6【解析】【分析】根据约束条件，画出可行域，然后将目标函数转化为斜截式，找到最优解，求出的最大值.【详解】根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数转化为，为斜率为的一簇平行线，其中为纵截距，所以当直线经过点时，取得最小值，即的最大值.解得即所以【点睛】本题考查通过线性规划求目标函数的最大值，属于简单题.15.已知_.【答案】【解析】【分析】利用，和，可得到的值，将进行转化，得到关于的式子，从而得到结果.【详解】 所以【点睛】本题考查根据已知角的三角函数值求其它角的三

11、角函数值，构造齐次式将弦化切，属于简单题.16.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PAB垂直于底面ABC，ABC与PAB都是边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据条件分别作过和中心且分别垂直于面的垂线，找到三棱锥外接球的球心，然后得到相应线段的长度，求出外接球的半径，再计算出外接球的表面积.【详解】如图，设和中心分别为点和点，过点和点分别作面和面的垂线，则两条垂线相交于点，则三棱锥和三棱锥都是正三棱锥，则，所以为三棱锥的外接球球心.设中点为，连接，和都是边长为的正三角形，则则，在直角中，故三棱锥的外接球的表面积为.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的半径，需要

12、通过条件寻找其外接球球心和半径，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.已知数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由和的关系式，得到和的递推关系式，从而得到的通项公式；（2）根据（1）中求得的通项，求出通项公式，然后分奇偶，分别求出其前项的和.【详解】（1）当时，.因为，所以，所以.因为，所以.两式相减，得，即 又因为，所以.所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.（2）由（1）可知故当为偶数时，当

13、为奇数时，所以【点睛】本题考查通过与的关系求通项公式，分奇偶求数列的前项和，属于中档题.18.光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：某位同学分别用两种模型：进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差等于)：经过计算得，(1)根据残差图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少(在计算回归系数时精确到0.01)附：归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【

14、答案】（1）选择模型；（2），19.16（兆瓦）【解析】【分析】（1）根据残差图判断出估计值和真实值比较接近的模型，得到答案.（2）根据（1）得到回归方程，然后根据表中数据计算出回归方程中各参数值，得到回归方程.【详解】（1）选择模型.理由如下：根据残差图可以看出，模型的估计值和真实值比较相近，模型的残差值相对较大一些，所以模型的拟合效果相对较好.（2）由（1）可知，关于的回归方程为，令，则.由所给数据可得.所以关于的回归方程为预测该地区2020年新增光伏装机量为（兆瓦）.【点睛】本题考查根据残差图判断拟合效果，根据表格数据求回归方程，属于中档题.19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面A

15、BCD，PD=DC=BC=2，AB/DC，AB=2CD，BCD=90(1)求证：ADPB；(2)求点C到平面PAB的距离【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点为，通过勾股定理证明，再得到平面，从而证明.（2）根据三棱锥等体积转化，以为底，为高，求出三棱锥的体积，再求出的面积，以为底，到平面的距离为高，从而得到到平面的距离.【详解】（1）如图，取中点为，连接因为所以四边形为正方形.所以所以.所以所以因为平面，平面，所以.又因为所以平面，而平面，所以（2）连接，设点到平面的距离为，则因为且所以平面，所以.在中即.所以.所以.所以，所以.所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查通过证

16、明线面垂直证明异面直线互相垂直，通过三棱锥等体积转化，求出点到面的距离，属于中档题.20.已知抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，不过原点的直线与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点(1)求抛物线C的方程；(2)证明：直线恒过定点；(3)若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线和圆M的方程【答案】（1）；（2）定点；（3），【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，将转化为抛物线上的点到准线的距离，从而求出，得到抛物线方程.（2）直线与抛物线联立，得到，然后利用以为直径的圆过坐标原点，即,代入，求出斜率与截距的关系，得到直线过的定点.（3）根据中点坐标，求出直线的斜率，得到直线方程，

17、再求出长度，即圆的半径，得到圆的方程.【详解】（1）抛物线，其准线为点在此抛物线上，点到准线的距离等于,即，得所求抛物线方程（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，易知.联立方程组得，从而可得方程由题意可知所以因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即，所以，所以.所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，易求得点坐标分别为，直线也过点.综合可知，直线恒过定点.（3）由题意可知直线斜率存在，设线段中点坐标为由（2）中所得，则所以，解得所以直线方程为.因为线段中点坐标为，即为圆的圆心坐标，设圆 .代入，得所以圆的方程为【点睛】本题考查抛物线定义，抛物线与直线的位置关系，以及设而不求

18、的方法解决直线过定点问题，属于中档题.21.已知函数(1)当时，求证：；(2)讨论函数在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【解析】【分析】（1）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于.（2）先利用导数得到的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下的零点情况.【详解】（1）当时，令，则.令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.所以是的极小值点，也是最小值点，即故当时，成立.（2） ，由，得.所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以是函数的极小值点，也是最小值点，即.当，即时，在上没有零点.当，即时，在上只有一个零点.当，即时，因为，所以在内只有一个零点；由（1）得，令，得，所以，于是在内有一个零点；因此，当时，在上有两个零点.综上，时，函数在上没有零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于难题.22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为 (t为参数)(1)求曲线C和直线普通方程