热力学统计物理课后习题答案

1、第八章 玻色统计和费米统计8.4求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足在弱简并情况下：与（8.2.4）式比较，可知 再由（8.2.8）式，得 8.10试根据热力学公式 及光子气体的热容量，求光子气体的熵。解：(8-4-10)式给出光子气体的内能为-（1）则可以得到光子气体的定容热容量为-（2）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有-（3）取积分路线为（0，V）至（T，V）的直线，即有-（4）其中已经取积分常量S0为零。8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象证明：发生玻色凝聚时0 ，因此临界温度Tc由下式决定： (1)对于一维和

2、二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有： 一维： 二维：分别代入（1）式可知，若Tc取非零有限值，则当0时积分均不收敛。 Tc0但由于此时不存在TPF -（1）其中PF是费米动量，即0K时电子的最大动量。因此电子的平均动量为-（2）因此电子的平均速率为-（3）8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n试求0 K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压解：考虑电子自旋有两种取向后，二维电子气体在 + d的能量范围内电子的量子态数为所以0K时电子的最大能量由下式确定：内能对于二维电子气体，VL2 所以 0K时的简并压8.22试根据热力学公式 及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。解：根

3、据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为-(1)根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有-(2)取积分路线为 （0，V） 至 （T，V）的直线，即有-(3)其中已取积分常量S0为零。8.23试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。解：根据式（8-1-13），自由电子气体巨配分函数的对数可表达为-(1)其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了变数变化be=x将上式的积分分为两段：-(2)在第一个积分中将对数函数改写为其中 。在第二个积分中作变数变换 ，（2）式可改写为-(3)其中-(4)在低温 的情形下， I1和I2

4、 可近似为-（5）于是-（6）根据费米统计中热力学量的统计表达式可得-（7）-（8）-（9）-（10）由于在低温下 ，作为第一级近似可以略去式（7）中的第二项而有即-（11）计及（7）式的第二项，可将（7）式改写为再将上式中第二项的 -a 用第一级近似代入，得-（12）或-（13）（13）式与（8-5-17）一致。 用式（7）除式（6），并将（12）式代入可将 lnX 表示为 ，T，m(0) 的函数 -(14) 代回式（8），（9），（10）即得-(15)-(16)-(17)8.24关于原子核半径R的经验公式给出 R = (1.310-5m)A1/3式中A是原子核所含核子数假设质子数和中子数相等，均为A2，试计算二者在核内的密度n如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的(0)以及核子在核内的平均动能核子质量M =1.6710-