《数据的离散程度》教学设计

1、第六章 数据的分析4数据的离散程度（第2课时）一、学情与教材分析1.学情分析学生已经有了初步的统计意识，在第一课时的学习中，学生已经接触了极差、方差与标准差的概念，并进行了简单的应用，但对这些概念的理解很单一，认为方差越小越好在以往的统计课程学习中，学生经历了大量的统计活动，感受到了数据收集和处理的必要性和作用课堂主要采用实验讨论、自主探索、合作交流等学习方式，学生有一定的活动基础，具备了一定的合作与交流的能力 2.教材分析本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章数据的分析第四节第2课时在学生对极差、方差、标准差等概念都有了一定的认识之后，学生对这些刻画数据离散程度的三个统计

2、量的认识上还存在一个误区，那就是认为方差或标准差越小越好因此，本节课安排了学生对一些实际问题的辨析，从而使学生对这三个统计量有一个更深刻的认识二、教学目标1.进一步了解极差、方差、标准差的求法；会用极差、方差、标准差对实际问题做出判断 2.经历对统计图中数据的读取与处理，发展学生初步的统计意识和数据处理能力根据极差、方差、标准差的大小对实际问题作出解释，培养学生解决问题能力3.通过解决现实情境中的问题，提高学生数学统计的素养，用数学的眼光看世界通过小组活动，培养学生的合作意识和交流能力 三、教学重难点教学重点：对极差、方差、标准差等概念都有了一定的认识之后，学生对这些刻画数据离散程度的三个统计

3、量的认识上还存在一个误区教学难点：本节课安排了学生对一些实际问题的辨析，从而使学生对这三个统计量有一个更深刻的认识四、教法建议总体思路是：具体的情境理解领悟解决实际问题五、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1：阅读课本p152-153，完成议一议中的问题任务2：一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？举例说明 2预习自测一、选择题1关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ）A这组数据的众数是6 B这组数据的中位数是1C这组数据的平均数是6 D这组数据的方差是10答案：A解析：数据由小到大排列为1，2，6，6，10，它的平均数为（1+2+

4、6+6+10）=5，数据的中位数为6，众数为6，数据的方差=（15）2+（25）2+（65）2+（65）2+（105）2=10.4故选A点拨：先把数据由小到大排列，然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的算术平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断2若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（ ）A1 B1.2 C0.9 D1.4答案：B 解析：数据10，9，a，12，9的平均数是10，（10+9+a+12+9）5=10，解得：a=10，这组数据的方差是（1010）2+（910）2+（1010）2+（1210）2+（910

5、）2=1.2故选B点拨：先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算即可二、填空题 3甲、乙、丙、丁四名射击运动员分别连续射靶10次，他们各自的平均成绩及其方差如表所示，如果选一名成绩好且发挥稳定的运动员参赛，则应选择的运动员是_甲乙丙丁平均成绩（环）8.68.48.67.6方差0.940.740.561.92答案：丙解析：=，从甲和丙中选择一人参加比赛，S甲2S丙2，选择丙参赛点拨：首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可4“植树节”时，九年级二班6个小组的植树棵数分别是5、7、3、x、6、4，已知这组数据的众数是5，则该组数据的方差为_答案： 解析：这组数据5、7、3

6、、x、6、4的众数是5，x=5，这组数据5、7、3、5、6、4的平均数是5，S2=（55）2+（75）2+（35）2+（55）2+（65）2+（45）2=点拨：根据众数、平均数、方差的定义进行计算即可 (或点击“随堂训练”，选择“数据的离散程度（2）预习自测”)（二）课堂设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结第一环节：知识回顾内容：（1）回顾：什么是极差、方差、标准差？方差的计算公式是什么？一组数据的方差与这组数据的波动有怎样的关系？（2）计算下列两组数据的方差与标准差：1，2，3，4，5； 103，10

7、2，98，101，99 目的： 复习极差、方差、标准差等概念及计算，巩固学生对刻画数据离散程度的三个统计量的认识 注意事项：复习的内容主要让中下等学生来回答和反馈信息，掌握上节课的教学效果，及时鼓励学生或校正偏差 第二环节：探究发现内容1：试一试： 如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题：（1）这一天A、B两地的平均气温分别是多少？（2）A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？（3）A、B两地的气候各有什么特点？ 目的：通过两地气温的变化的例子，培养学生从图表中读取信息、分析数据的能力，更准确地理解方差及其在现实生活中的应用 注意事项：由于读取的数据多且复杂，引导学生利用计算

8、器来高效完成 内容2：我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？ 我们通过实例来探讨 议一议：某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动会跳远比赛，该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下表：12345678910选手甲的成绩（cm）585596610598612597604600613601选手乙的成绩（cm）613618580574618593585590598624（1）他们的平均成绩分别是多少？（2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？（3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？（4）历届比赛表明，成绩达到596cm就

9、很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？（5）如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录，你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？目的：针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识，课本设计了一个现实生活中的例子，旨在消除学生的这种不正确的看法，从而认识到要针对具体情况来分析方差对于问题的影响，体会数据的波动是广泛而有特点的 注意事项：学生对两名运动员特点的回答呈多样性，如甲较稳定，乙有潜力等，对于第（4）（5）题的回答则有不同的意见，经大家分析后，再统一认识 内容3：做一做：（1）两人一组，在安静的环境中，一人估计1分钟的时间，另一人记下实际时间，将结果记录下来 （2）在吵闹的环境中，

10、再做一次这样的试验 （3）将全班的结果汇总起来，并分别计算安静状态和吵闹环境中估计结果的平均值和方差 （4）两种情况下的结果是否一致？说明理由 目的：实验的两种结果不一致，差别较大 力图让学生再次经历数据的收集和处理的过程，体会环境对个人心理状态的影响，同时培养学生的统计意识和估计能力 注意事项：本次实验的安静状态和吵闹环境可以在教室里营造，让学生亲自经历这两种环境下的统计过程而达到认识是很重要的 第三环节：知识运用内容：1. 甲、乙、丙三人的射击成绩如图所示：请回答：三人中，谁射击成绩更好，谁更稳定？你是怎么判断的？2.某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛（100米记

11、录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军） 该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表：12345678选手甲的成绩（秒）12.112.412.812.51312.612.412.2选手乙的成绩（秒）1211.912.81313.212.811.812.5根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？目的：通过学生的反馈练习，使教师及时了解学生对刻画数据离散程度的三个统计量极差、方差和标准差的理解掌握情况，以便教师及时对学生进行矫正注意事项：在正确计算出两位选手的方差后，并比较了两位选手的特点，由学生得出正确的结论，提高认识 第四环节：随堂检测

12、一、选择题1甲乙两人在跳远练习中，6次成绩分别为（单位：米）：甲：3.8 3.8 3.9 3.9 4.0 4.0； 乙：3.8 3.9 3.9 3.9 3.9 4.0则这次跳远练习中，甲乙两人成绩方差的大小关系是（）A BC= D无法确定答案：A 解析：甲的平均成绩为：（3.8+3.8+3.9+3.9+4.0+4.0）6=3.9，乙的平均成绩为：（3.8+3.9+3.9+3.9+3.9+4.0）6=3.9；甲的方差S甲2=（3.83.9）2+（3.83.9）2+（3.93.9）2+（3.93.9）2+（4.03.9）2+（4.03.9）2=，乙的方差S2=（3.83.9）2+（3.93.9）2

13、+（3.93.9）2+（3.93.9）2+（3.93.9）2+（4.03.9）2=，故甲，乙两人方差的大小关系是：S2甲S2乙故选A点拨：欲比较甲，乙两人方差的大小关系，分别计算两人的平均数和方差后比较即可2李老师为了了解学生暑期在家的阅读情况，随机调查了20名学生某一天的阅读小时数，具体情况统计如下：阅读时间（小时）22.533.54学生人数（名）12863则关于这20名学生阅读小时数的说法正确的是（）A众数是8 B中位数是3 C平均数是3 D方差是0.34答案：B 解析：A、由统计表得：众数为3，不是8，所以此选项不正确；B、随机调查了20名学生，所以中位数是第10个和第11个学生的阅读小

14、时数，都是3，故中位数是3，所以此选项正确；C、平均数=3.2，所以此选项不正确；D、S2=（23.35）2+2（2.53.35）2+8（33.35）2+6（3.53.35）2+3（43.35）2=0.2825，所以此选项不正确；故选B点拨：A、根据众数的定义找出出现次数最多的数；B、根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列，求出最中间的2个数的平均数，即可得出中位数C、根据加权平均数公式代入计算可得；D、根据方差公式计算即可二、填空题3数据80，82，85，89，100的标准差为_（小数点后保留一位）答案：7.1 解析：数据80，82，85，89，100的平均数是：=87.2，这组数据的标

15、准差是：s=7.1，故答案为：7.1点拨：根据题目中的数据，先求出这组数据的平均数，然后根据标准差的定义即可解答本题4数据x1，x2，x3，x4的平均数为，标准差为，那么各数据与之差的平方和为_答案：8 解析：数据x1，x2，x3，x4的平均数为，标准差为，（x1）2+（x2）2+（x3）2+（x4）2=2，（x1）2+（x2）2+（x3）2+（x4）2=8；故答案为：8点拨：根据数据x1，x2，x3，x4的平均数为，标准差为，得出（x1）2+（x2）2+（x3）2+（x4）2=2，再进行变形即可三、解答题5一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：ABCDE平均分

16、方差数学7172696870_2英语888294857685_（公式：方差s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2，其中是平均数）（1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=（说明：标准差为方差的算术平方根）从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？答案：见解析 解析：（1）数学成绩的平均分为：；英语成绩的标准差为：（8885）2+（8285）2+（9485）2+（8585）2+（7685）2=36；（2）A同学数学标准分为：，A同学英

17、语标准分为：，因为，所以，A同学在本次考试中，数学学科考得更好点拨：（1）由平均数的概念计算平均数，再根据方差的定义得出即可；（2）根据标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）成绩标准差，计算数学和英语的标准分，然后比较（或点击“随堂训练”，选择“数据的离散程度（2）随堂检测”）第五环节：课堂小结在本节课的学习中，你对方差的大小有什么新的认识？（学生交流，教师点拨，达成共识） 新认识：方差越小表示这组数据越稳定，但不是方差越小就表示这组数据越好，而是对具体的情况进行具体分析才能得出正确的结论 目的：发挥学生的主观能动性，提高学生统计的意识和分析数据的能力，学会用数学的眼光看世界 注意事

18、项：在发挥学生的主观能动性的同时，不要忽略教师的主导作用 布置作业：1.阅读课本P154“读一读”，并利用计算机Microsoft Office软件中的Excel表格求平均数、中位数、众数和标准差等 2.课本习题6.6的第1，2，3，4题 （三）课后作业基础型一、选择题1小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的（ ） A众数是6吨 B平均数是5吨 C中位数是5吨 D方差是答案：C 解析：这组数据的众数为6吨，平均数为5吨，中位数为5.5吨，方差为故选C点拨：根据众数、平均数、中位数和方差的定义计算各量，然后对各选项进行判断2甲乙两组数据如图所示，则下列结论中，正确的

19、是（ ） A甲乙两组数据的方差相等 B甲组数据的标准差较小C乙组数据的方差较大 D乙组数据的标准差较小答案： D解析：从图中可以看出：甲组数据的折线统计图起伏较大，所以甲组数据的方差较大，乙组数据的方差较小，进而可得乙组数据的标准差较小；故选D点拨：折线统计图即可表示各种数量的多少，又可反映出数量的增减变化趋势；图中折线越起伏的表示数据越不稳定，反之，表示数据越稳定，由此即可找出答案二、填空题3为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练，他们成绩的平均数及其方差s2如下表所示：甲乙丙丁10533104261042610729S21.11.11.

20、31.6如果选拔一名学生去参赛，应派_去答案：乙解析：=，从乙和丙中选择一人参加比赛，SS，选择乙参赛点拨：首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加4一组数据 x1，x2，xn 的方差为 9，数据 3x1，3x2，3xn 的方差为_，标准差为_答案：81，9 解析：一组数据 x1，x2，xn 的方差为 9，数据 3x1，3x2，3xn 的方差为932=81，标准差为=9点拨：根据题意和方差的性质求出新数据的方差，根据标准差是方差的算术平方根求出标准差三、解答题5甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：选手组数12345678910甲98908

21、798999192969896乙85918997969798969898（1）根据上表数据，完成下列分析表：平均数众数中位数方差极差甲94.59616.6512乙94.518.65（2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？答案：见解析解析：（1）根据众数、中位数和极差的概念填充表格如下所示：平均数众数中位数方差极差甲94.5989616.6512乙94.59896.518.6513（2）S甲2S乙2，甲的成绩比较稳定，选择甲选手参加比赛点拨：（1）分别根据众数、中位数和极差的概念填充表格即可；（2）根据方差即可确定选择哪位选手参加比赛 能力型一、选择题1一般具有统计功

22、能的计算器可以直接求出（ ）A平均数和标准差 B方差和标准差C众数和方差 D平均数和方差答案： A解析：根据计算器的功能可得答案为A点拨：根据科学记算器的功能回答2已知一组数据x1，x2，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，yn，其中yk=6xk+5（k=1，2，n），其标准差是S2，则正确的是（ ）AS2=6S1+5 BS2=6S1 CS2=S1 DS2=S1+5答案：B 解析：数据x1，x2，xn，其标准差为S1，数据y1，y2，yn，其中yk=6xk+5（k=1，2，n），其标准差是S2，第二组数据的标准差是第一组数据的6倍，S2=6S1 点拨：根据已知条件即可得到结论二、填空

23、题 3若10个数据的平均数是，平方和是10，则方差是_答案： 解析：方差S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2=x12+x22+xn22（x1+x2+xn）+n2=x12+x22+xn22n+n2=x12+x22+xn22=10（）2=点拨：根据方差的公式计算方差S2=x12+x22+xn22三、解答题4某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前四次单价变化的情况，绘制了如下统计表：A，B产品单价变化统计表 第一次第二次第三次第四次 A产品单价（元/件）65.26.55.9 B产品单价（元/件）3.5433.5并求得了A产品四次单价的平均数和方差：=5.9，sA2=

24、（65.9）2+（5.25.9）2+（6.55.9）2+（5.95.9）2=（1）B产品第四次的单价比第二次的单价减少了_%；（2）A产品四次单价的中位数是_；B产品四次单价的众数是_；（3）求B产品四次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小答案：见解析 解析：（1）B产品第四次的单价比第二次的单价减少了：100%=12.5%（2）把这组数从小到大排列为：5.2，5.9，6，6.5，最中间两个数的平均数是：=5.95，则A产品四次单价的中位数是5.95，B产品四次单价的众数是3.5（3）B产品四次的平均数是：（3.5+4+3+3.5）4=3.5，则B产品四次单价的方差是：（3.53.5）2+（

25、43.5）2+（33.5）2+（3.53.5）2=，因为B的方差比A的方差小，所以B的波动小点拨：（1）用第四次的单价减去第二次的单价，再除以第二次的单价即可得出答案；（2）根据中位数和众数的定义分别进行解答即可；（3）先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可探究型一、解答题1在“创建全国文明城市”演讲比赛中，学校根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示： 团体成绩 众数 平均数 方差 七年级_ 85.7 39.6 八年级_ 85.7 27.81根据如图和表提供的信息，解答下列问题：（1）请你把上边的表格填写完整（2）考虑平均数与方差，你认为几年

26、级的团体成绩更好些？（3）假设在每个年级的决赛选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？请说明理由 答案：见解析 解析：（1）填表如下： 团体成绩众数平均数方差 七年级8085.739.6 八年级8585.727.81（2）由于平均数一样，而八年级的方差小于七年级的方差，方差越小则其稳定性就越强，所以应该是八年级团体成绩更好些（3）七年级前三名总分：99+91+89=279（分），八年级前三名总分：97+88+88=273（分），故七年级实力更强些点拨：（1）众数即出现次数最多的那个数，通过读图得到，七年级有三人拿了80分，八年级有3人拿了85分，从而确定七、八年级的众数；（

27、2）根据方差的意义分析；（3）分别计算两个年级前三名的总分，得出较高的一个班级实力较强一些2王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： （1）根据图中提供的数据列出如下统计表：平均成绩（分）中位数（分）众数（分）方差（S2）王华 80 b 80 d张伟 a 85 c 260则a=_，b=_，c=_，d=_（2）将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的是_（3）现在要从这两个同学选一位去参加数学竞赛，你可以根据以上的数据给老师哪些建议？答案：见解析 解析：（1）王华10次成绩分别为：80，70，90，80，70，90，70，80，90，80；按大小顺序排列为：70，70，70，80，80，80，80，90，90，90；则中位数b=80；方差d=（8080）24+（7080）23+（9080）23=60；张伟的平均成绩a=80（分），90出现了3次，出现的次数最多，则众数c=90故答案为：80，80，90