04第四章 经典质点动力学

1、第四章,经典质点动力学,4-1 牛顿运动定律,一、牛顿第一定律（惯性定律）,孤立质点保持静止或作匀速直线运动。,数学形式：,惯性指质点所固有的、保持原有运动状态不变的特性。,二、牛顿第二定律（牛顿运动方程）,物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,数学形式：,说明：,（1）力的动力学效果是使物体产生加速度。,（2）牛顿第二定律中 和 的关系为瞬时矢量关系。,力的独立作用原理,如果在一个质点上同时作用着几个力，则这几个力各自产生自己的动力学效果而不互相影响。,物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物

2、体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。,三、牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）,当物体A以力 作用在物体B上时，物体B也必定同时以力 作用在物体A上，两力作用在同一直线上，大小相等，方向相反。,数学形式：,说明：,（1）作用力和反作用力总是成对出现，任何一方不能单独存在。并且同时产生，同时消失。,（2）作用力和反作用力分别作用于两个物体，因此不能平衡或抵消。,（3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。,质点的运动微分方程,1. 已知质点受力，可求出质点的运动规律,2. 已知质点运动，可求出质点的受力状况,一、万有引力 重力：,重力是物体所受地球引力的一个分力,二、弹性力：,物体发生

3、弹性变形后，内部产生企图恢复形变的力。,4-2 力学中常见的力,（k称为劲度系数）,弹簧的弹性力：,绳中张力：绳中任意横截面两侧互施的拉力。,若忽略绳的质量或加速度为零,三、摩擦力,（1）静摩擦力,当物体与接触面存在相对滑动趋势时，物体所受到接触面对它的阻力，其方向与相对滑动趋势方向相反。,最大静摩擦力：,为静摩擦系数,（2）动摩擦,当物体相对于接触面滑动时，物体所受到接触面对它的阻力，其方向与滑动方向相反。,为滑动摩擦系数,四、流体阻力,物体在流体内运动时，所受到的流体的阻力。,质点动力学基本运动方程,注意：FX等是合力在该坐标轴上投影（或分量）的代数和。,4-3 质点动力学方程组,1）确定

4、研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图）,解题的基本思路,2）取坐标系；,3）列方程（一般用分量式）；,4）利用其它的约束条件列补充方程；,5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.,设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，即 ， 为比例系数 . 抛体的质量为 、初速为 、抛射角为 .,解 取如图所示的 平面坐标系,例1 有空气阻力情况下的抛体运动。,解,例2 不可伸长的摆线长度为 ，一端固定在 点，一端与摆锤相连；摆锤质量为 ，可视为质点；系统在过 点的竖直平面内运动，试求单摆在小摆角情况下的运动学方程和摆线内的张力。,（1）如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴

5、间的摩擦力均不计.且 . 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力.,解 以地面为参考系,画受力图、选取坐标如图,例3 阿特伍德机,例4 如图所示（圆锥摆），长为 的细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为 的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角度 为多少？空气阻力不计.,解,越大， 也越大,例5 质量为 、长为 的柔软细绳，一端 系着放在光滑桌面上质量为 的物体，如图所示 . 在绳的另一端加如图所示的力 . 绳被拉紧时会略 有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计 . 现 设绳的长度不变，质量分布是均匀的 . 求：（1）绳 作

6、用在物体上的力；（2）绳上任意点的张力 .,其间张力 和 大小相等，方向相反,（1）,设想在点 将绳分为两段,解,（2）,1. 用水平力F 把一物体压靠在粗糙竖直墙面上保持静止。当F逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f 的大小（ ）。 A不为零，但保持不变 B随F 成正比的增大 C无法确定 D开始随F 增大，达到某一最大值后，就保持不变,2. 一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为 ，汽车轮胎与路面间的摩擦因数为 ，要使汽车不至于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ ）。 A. 不得小于 B.不得大于 C. 必须等于 D. 还应与汽车的质量有关,3. 如图所示，质量为m的物体用平行于斜面的细绳连结并

7、置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体恰脱离斜面时，它的加速度为（ ）。 A. B. C. D.,4. 物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中，则（ ）。 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 它受到的合外力不变，速率不断增加 C. 它受到的合外力大小变化，方向永远指向圆心 D.它的加速度方向永远指向圆心，速率保持不变,质量为m的物体放在水平桌面上，物体与桌面间的最大静摩擦系数为 ，求拉动该物体所需的最小的力是多少？,解,30o,如图：用一斜向上的力F 将重为G的木块压靠在墙上，如不论用多大的力，都无法使木块向上滑动，则木块与墙面的静摩擦因素满足：,(A) (B) (C) (

8、D),解,选（B）,30o,一、冲量 质点的动量定理,动量,冲量 力对时间的积分（矢量）,4-4 质点的动量定理和动量守恒定理,动量定理 在给定的时间内，合力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .,分量形式,若某一过程中，质点所受的合力恒为零，则在该过程中的质点的动量守恒，即动量为常矢量。,二、动量守恒定律,三、平均力（对质点受力情况作大致的描述）,动量定理常应用于碰撞问题,例 4-4-1 质量为 的质点， 秒时， 所受合力 ，求 时质点的速度。,例 4-4-2 圆锥摆（摆锤被限制在一水平面内做匀速率圆周运动），设摆锤质量为m，摆线长为l，摆线与竖直线夹角为 。试求摆锤在水平面内

9、转过半个圆周的过程中重力、绳拉力及向心力的冲量及绳的平均拉力。,例3一质量为0.05kg、速率为10ms-1的刚球,以与钢板法线呈45角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来 .设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 .,解 建立如图坐标系, 由动量定理得,方向沿 轴反向,例 4一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 .,解 以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统,建

10、立如图坐标,由质点系动量定理得,则,则,两边同乘以 则,又,一 、 质点对固定点的角动量定理和角动量守恒定律,4-5 质点的角动量定理和角动量守恒定理,1、质点对固定点的角动量定理,（1）意义：作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.,（2）对同一参考点而言.,（3）角动量定理在直角坐标系中的分量形式.,质点所受力对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量.,恒矢量,2、质点对固定点的角动量守恒定律,二、 质点对固定轴的角动量定理和角动量守恒定律,1、质点对固定轴的角动量定理,MZ:F对Z轴的力矩为力F对O点的力矩MO沿Z轴

11、方向的投影，,LZ: 质点对Z轴的角动量为对O点的角动量LO沿Z轴方向的投影，,2、质点对固定轴的角动量守恒定律,恒矢量,若在某一过程中，质点所受力对Z轴的力矩恒为零时，则在该过程中质点对Z轴的角动量守恒，即为常量.,例4-5-2 人造卫星近地点和远地点指卫星运动过程中距地心最近与最远点。我国发射的第一颗人造卫星近地点距地面高度 ，远地点距地面高度 ,地球半径 ，求卫星在近地点和远地点的速度之比。,例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与

12、圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.,解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,考虑到,得,由题设条件积分上式,4-6 质点的动能定理和机械能守恒定律,力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积 .,一 质点的动能定理,1 功,合力的功 = 分力的功的代数和,变力的功,2 质点的动能定理,合力对质点所作的功,等于质点动能的增量 .,动能,动能定理,例 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下 端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直线成 角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 .

13、 试求绳与竖直线成 角时小球的速率 .,解,由动能定理,得,万有引力作功,以 为参考系， 的位置矢量为 .,对 的万有引力为,由 点移动到 点时 作功为,二 万有引力、重力、弹性力作功的特点,重力作功,弹性力作功,保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置 .,1 保守力和非保守力,三 保守力和势能,非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）,物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .,2 势能,势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .,保守力的功,势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关 .,势能是状态函数,令,势能是属于系统的 .,

14、势能计算,功能原理,四 质点的功能原理和机械能守恒定律,机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变 .,例 1 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .),解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得,又,可得,由功能原理,代入已知数据有,例 2 质量为m 的滑块在水平地面上滑动。已知初速度为v0, 滑块与地面间的摩擦系数为 ，所受空气阻力与速度平方成正比（比例常数为b）。问经过多长距离后滑块停止运动。,4-7 总结与评述 综合应用,例4-7-1 水平轨道OA与半径为R的3/4圆周轨道相接，水平轨道一端固定一劲度系数为k的弹簧。将弹簧由自由伸张状态压缩l后在其自由端放置一质量为